Transcript 多變數函數與偏導數(Partial Derivative)

多變數函數與偏導數
(Partial Derivative)
本單元中將介紹多變數函數的定義，
並將導數的觀念推廣到多於一個變數
的函數。
1
定義 令 A 表 R2 空間(二維空間)之部份集合，
若對 A 中的每一有序數對 (x,y) 有唯
一的實數ｚ與之對應，則稱ｚ為點
(x,y) 在集合Ａ內之函數，記作
z = f(x,y)
稱之為二元函數。集合 A 稱為 f 的定
義域。f 的值域由所有的實數f(x,y) 所
組成，此點 (x,y) 在 A 中。
2
函數 y = f(x) 之定義域與值域在幾何上以
實數線上的點代表。對於二元函數，我們可以
用在 xy – 平面上的點代表定義域 A 而用實數
線上的點代表值域，稱 z – 軸，如圖 1 所示。
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例題1. 試求 z  f ( x, y )  1  x 2  y 2 之
定義域。
解：因 1－x2－y2≧0 ，故其定義域為
x2 ＋y2≦1。即以原點為圓心，以 1 為
半徑，在 xy – 平面上，x2 ＋y2 = 1 之
圓心上與其內部之所有點的集合。 f
之圖形如圖 2 所示。
4
5
一元函數 y = f(x) 的圖形為平面上的點 (x,f(x))
所形成的軌跡，而二元函數 z = f(x,y) 的圖形為三
度空間中點 (x,y,f(x,y)) 所成的曲面。
利用二元函數之定義，我們可推廣至三元函數，
令 D 表 R3空間(三維空間)之部分集合。若對D中
的每一有序三元(x,y,z)，有一唯一實數w與其對應，
則稱 w 為(x,y,z)在集合 D 內之函數，記作
w = f(x,y,z)
其中集合 D 稱為函數 f 之定義域，f (D) 稱為f之值
域。
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偏導數的定義
（Definition of Partial Derivative）
假定 f 是一個具有兩個變數 x 與 y 的函數。
如果令 固定在一常數，設為
y ，則
 y0
y
f ( x , y0 )
x
可視為單一變數
的函數。它在
的導數稱為
在
對應於
x  x0
f ( x0 , y 0 )
x 的偏導數（Partial derivative of f with
respect to x at ( x0 , y0 )且表示成 f x ( x0 , y0 ) 。
7
因此，
f ( x 0  x , y 0 )  f ( x 0 , y 0 )
f x ( x0 , y0 )  lim
x  0
x
同樣的方式， f 在 ( x0 , y0 ) 對應於 y 的偏導
數表示成 f y ( x0 , y0 )且得自
f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )  lim
y 0
y
倘若這些極限均存在。
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例1. 若 f ( x, y )  x y ，試利用偏導數之定
2
義 ，求 f X (1,1)與 f y (1,1) 之值。
解：
f (1  x,1)  f (1,1)
f x (1,1)  lim
x  0
x
(1  x ) 2 (1)  (1) 2 (1)
 lim
x  0
x
1  2 x  x 2  1
 lim
x  0
x
 lim ( 2  x )  2
x  0
9
f (1,1  y )  f (1,1)
f y (1,1)  lim
y  0
y
(1) (1  y )  (1) (1)
 lim
y  0
y
2
1
1  y  1
 lim
y  0
y
 lim 1  1
y  0
10
例1. 若 f ( x, y )  x y ，試利用偏導數之定
2
義 ，求 f X (1,1)與 f y (1,1) 之值。
解：
f (1  x,1)  f (1,1)
f x (1,1)  lim
x  0
x
(1  x ) 2 (1)  (1) 2 (1)
 lim
x  0
x
1  2 x  x 2  1
 lim
x  0
x
 lim ( 2  x )  2
x  0
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f (1,1  y )  f (1,1)
f y (1,1)  lim
y  0
y
(1) (1  y )  (1) (1)
 lim
y  0
y
2
1
1  y  1
 lim
y  0
y
 lim 1  1
y  0
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對二元函數作偏微分時，若於 f ( x, y )
中將 y 值固定，則 f 可視為單一變數 x 的
函數，即將 y 看成常數，然後直接對 x 微
分即可。同理，於 f ( x, y ) 中將 x 值固定，
則可將 x 視為常數，直接對 y 微分。因此，
偏微分的計算與一元函數求導數的方法相
y
同，只是分開對 或對
x 分別作微分就是
了！
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例1. 若 f ( x, y )  x y ，試利用偏導數之定
2
義 ，求 f X (1,1)與 f y (1,1) 之值。
解：
f (1  x,1)  f (1,1)
f x (1,1)  lim
x  0
x
(1  x ) 2 (1)  (1) 2 (1)
 lim
x  0
x
1  2 x  x 2  1
 lim
x  0
x
 lim ( 2  x )  2
x  0
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例2. 令 f ( x, y )  x 2 y  3 y 3。求 f x (1,2)
與 f y (1,2) 。
解：為求 f x ( x, y ) ，把 y 視為一常數然後對 x
微分，得 f x ( x, y )  2 xy  0
因此，
f x (1,2)  2  1  2  4
同樣的方式，把 x 視為一常數且對 y 微分，得
f y ( x, y )  x 2  9 y 2
也因此
f y (1,2)  12  9  22  37
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例4. 令 f ( x, y )  e
f ( x, y ) 。
f ( x, y )
，求
及
x
x2  2 y3
y
解：
f ( x, y )
 2
x2  2 y3
e
 (x  2 y3)
x
x
 2x  e
x2  2 y3
f ( x, y )
 2
x2  2 y3
e
 ( x  2 y3 )
y
y
 6y  e
2
x2  2 y3
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若 z  f ( x, y )，我們使用下面的替代符號：
z f ( x, y )
f x ( x, y ) 

x
x
z f ( x, y )
f y ( x, y ) 

y
y
z
f x ( x0 , y 0 ) 
x ( x0 , y0 )
z
f y ( x0 , y 0 ) 
y ( x0 , y0 )
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例4. 令 f ( x, y )  e
f ( x, y ) 。
f ( x, y )
，求
及
x
x2  2 y3
y
解：
f ( x, y )
 2
x2  2 y3
e
 (x  2 y3)
x
x
 2x  e
x2  2 y3
f ( x, y )
 2
x2  2 y3
e
 ( x  2 y3 )
y
y
 6y  e
2
x2  2 y3
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例3. 令 f ( x, y )  x 2  3xy  ln( x 2  y 2 ) ，求
)
f x ( x, y )及 f y ( x, y 。
解：若於 f ( x, y ) 中將 y 視為常數，然後對 x
微分，得
2x
f x ( x, y )  2 x  3 y  2
x  y2
同理，若將 x 視為常數，然後對 y 微
分，得
2y
f y ( x, y )  3x  2
x  y2
19
3xy
例5. 令 f ( x, y )  2
，求 f x (1,2)
2
x y
及 f y (1,2)
。
2
2
3
2
(
x

y
)(
3
y
)

3
xy
(
2
x
)
3
y

3
x
y
解： f x ( x, y ) 
 2
2
2 2
(x  y )
( x  y 2 )2
( x 2  y 2 )( 3x )  3xy (2 y ) 3x 3  3xy 2
f y ( x, y ) 
 2
2
2 2
(x  y )
( x  y 2 )2
因此， f x (1,2)  24  6  18
25
25
3  12  9
f y (1,2) 

25
25
20