Transcript Optymalizacja

Maksymalizacja
Optymalizacja y = f(x1, x2, . . . ,xn)
względem
gj (x1, x2, . . . ,xn) ≤ bj
or
= bj
j = 1, 2, . . ., m.
or
≥ bj
y = f(x1, x2, . . . ,xn) → f-cja celu
x1, x2, . . . ,xn → zmienne (n)
optymlaizacja → maks. lub min.
gi(x1, x2, . . . ,xn) → ograniczenia (m)
Pochodne - powtórzenie
• y=f(x): FOC:
dy
 f ' ( x)
dx
2
•
•
•
•
d y
 f ' ' ( x)
2
dx
SOC:
Stała:
y  f ( x)  a
b
Funkcja potęgowa: y  f ( x)  ax
Pochodna sumy:
y  f ( x)  g ( x)
dy
 f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
y  f ( x) g ( x)
dx
• Iloczyn:
• Iloraz:
f ' ( x)  0
f ' ( x)  baxb1
dy
 f ' ( x)  g ' ( x)
dx
f ( x)
y
g ( x)
• Reguła łańcucha:
dy f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)

dx
g ( x)2
y  f ( g ( x))
dy
 f ' ( g ( x)) g ' ( x)
dx
Maksymalizacja bez ograniczeń
•
Rozwiązanie:
• Warunki pierwszego rzędu (FOC): f’(x)=0
• Sprawdzić warunki drugiego rzędu (SOC): f’’(x)<0
• Lokalne a globalne ekstremum
Przykład
Profit = -40 + 140Q – 10Q2
Znajdź Q maksymalizujące zysk
Maksymalizacja-przykład
Profit = -40 + 140Q – 10Q2
Znajdź Q, które maksymalizuje zysk
dPROFIT
 140 – 20Q = 0
dQ
Q=7
d 2 PROFIT
- 20 < 0

dQ 2
Q* = 7
max profit = -40 + 140(7) – 10(7)2
max profit = $450
Przykład
COST = 15 - .04Q + .00008Q2
Znajdź Q, które minimalizuje koszt.
Minimalizacja-przykład
COST = 15 - .04Q + .00008Q2
Znajdź Q, które minimalizuje koszt.
dCOST
 -.04 + .00016Q = 0
dQ
Q = 250
d 2 COST
 .00016 > 0
2
dQ
Minimalny koszt dla Q = 250
min koszt(Q=250) = $10
Ekstrema funkcji wielu
zmiennych
•
Max
•
FOC:
•
SOC:
2 y
x
2
y  g ( x, z )
y
x
y
 g x ( x, z )
( x, z) z 2 ( x, z) 
 g z ( x, z )
2 y
 g zz ( x, z )  0
2
z
2 y
 g xx ( x, z )  0
2
x
2 y
z

2 y
xz
( x, z)

2 y
zx

( x, z)  0
Przykład
Znajdź Q1 i Q2, które maksymalizują zysk
PROFIT  60  140Q1  100Q2  10Q12  8Q22  6Q1Q2
Przykład
Zysk jest funkcją dwóch zmiennych: Q1i Q2
PROFIT  60  140Q1  100Q2  10Q12  8Q22  6Q1Q2
dPROFIT
 140  20Q1  6Q2  0
dQ1
dPROFIT
 100  16Q2  6Q1  0
dQ2
20Q1  6Q2  140
6Q1  16Q2  100
Q1 = 5.77
Q2 = 4.08
Warunki drugiego rzędu
2
d PROFIT
 20
2
dQ1
d 2 PROFIT
 6
dQ1 dQ2
d 2 PROFIT
 16
2
dQ2
 d 2 PROFIT

2
dQ
1

 d 2 PROFIT

2
dQ
2

(-20)(-16) – (-6)2 > 0
320 – 36 > 0
Mamy maksimum
  d 2 PROFIT
  
  dQ1 dQ2
2

  0

Maksymalizacja z ograniczeniem
• Rozwiązanie: Metoda mnozników Lagrange’a
• Maks. y = f(x1, x2, x3, …, xn)
• względem g(x1, x2, x3, …, xn) = b
• Zapisz f-cję Lagrange’a:
L( x1 , x2 ,..., xn ,  )  f ( x1 , x2 ,..., xn )   g ( x1 , x2 ,..., xn )  b.
• FOC:
Lx1 ( x1, x 2,..., xn,  )  0
...
Lxn ( x1, x 2,..., xn,  )  0
L ( x1, x 2,..., xn,  )  g ( x1, x 2,..., xn)  b  0
Przykład
Maks. zysk =  60  140Q1  100Q2  10Q12  8Q22  6Q1Q2
względem 20Q1 + 40Q2 = 200
Znajdź Q1 i Q2, które maksymalizują zysk
Przykład
2
2
Maks. zysk =  60  140Q1  100Q2  10Q1  8Q2  6Q1Q2
Przy warunku: 20Q1 + 40Q2 = 200
Podstawienie
20Q1 = 200 – 40Q2 → Q1 = 10 – 2Q2
Maks. Zysk =
 60  140(10  2Q2 )  100Q2 10(10  2Q2) 2  8Q22  6(10  Q2 )Q2
Q2  2.22
Q1  5.56
Funkcja Lagrange’a
L PROFIT  60  140Q1  100Q2  10Q12  8Q22  6Q1Q2
  (20Q1  40Q2  200)
Maks. L profit , maksymaliz acja zysku przy warun ku : 20Q1  40Q2  200.
Zmienne : Q1 , Q2 , .
dL profit
dQ1
dL profit
dQ2
dL profit
d
 140  20Q1  6Q2  20  0
 100  16Q2  6Q1  40  0
 (20Q  40Q2  200)  0
(1) 20Q1  6Q2  20  140
(2) 6Q1  16Q2  40  100
(3)
20Q1  40Q2  200
Wykorzysta ć (1) i (2) aby pozbyć się .
20  140  20Q1  6Q2
40  100  6Q1  16Q2
40  280  40Q1  12Q2
40  100  6Q1  16Q2
280  40Q1  12Q2  100  6Q1  16Q2 .
-
34Q1  4Q2  180
oraz
20Q1  40Q2  200
 Q1  5.56
Q2  2.22
Gdy Q1  5.56 i Q2  2.22 -    .774