Transcript Slide 1

Vacker och spännande
matematik
Lars-Erik Persson
Luleå Tekniska Universitet
http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik
1
Den Gyllene Kunskapstriangeln
Kunskap
Intresse
Självförtroende
2
Oväntade och vackra resultat
väcker intresse….
3
Den magiska attraktorn
10 10
7614
-
7 6 4 1
1 4 6 7
6 1 7 4
6174
10 10
2358
-
8 5 3 2
2 3 5 8
6 1 7 4
6174
4
Den magiska attraktorn
10 10
6642
-
6 6 4 2
2 4 6 6
4 1 7 6
10 10
-
7 6 4 1
1 4 6 7
6 1 7 4
6174
5
Den magiska attraktorn
7218
10 10
-
8 7 2 1
1 2 7 8
7 4 4 3
10 10
7 4 4 3
3 4 4 7
3 9 9 6
-
10 10
-
6 6 4 2
2 4 6 6
4 1 7 6
10 10
-
9 9 6 3
3 6 9 9
6 2 6 4
10 10
-
7 6 4 1
1 4 6 7
6 1 7 4
6174
6
Den magiska attraktorn
• Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror
lika) och räkna på!
• Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid
till det magiska talet 6174 efter högst 7
upprepningar!
• Vad händer om du gör samma sak med 3siffriga eller 5 siffriga tal?
7
Den magiska attraktorn - historik
6174
Talet kallas för Kaprekars tal efter den
indiska matematikern D.R. Kaprekar
(1905-1986), som upptäckte
egenskaperna hos talet år 1949.
8
Den magiska attraktorns
pedagogiska värde
9
Fibonaccis kaninproblem
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…
= Fibonaccitalen
3
5
= 1,5
= 1, 667...
2
3
89
= 1, 618... ®
55
8
13
= 1, 6
= 1, 625...
5
´8
5+1
» 1, 618
2
21
34
55
= 1, 616...
= 1, 619...
= 1, 617...
13
21
34
5+1
kallas DET GYLLENE SNITTET
2
http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers3.shtml
10
Pentagon
11
Pentagon och det gyllene snittet
Förhållandet mellan
längden av en diagonal och
en sida är det Gyllene
snittet
5 1
 1.618
2
Upprepa proceduren i den
inre (mindre) pentagonen
och du får en ny femuddig
stjärna (Självlikformighet)
12
Leonardo da Vinci - Nattvarden
a
b
b
5 1

 1.618
a
2
13
Gyllene snittet hos människan
Hela längden
= gyllene snittet
Huvud till fingertopp
Huvud till fingertopp
= gyllene snittet
Huvud till navel
Huvud till navel
= gyllene snittet
Bredd mellan axlarna
Bredd mellan axlarna
= gyllene snittet
Armbåge till fingertopp
Huvudet formar en gyllene rektangel och ögonen är mittpunkten
Armens, benens och fingrarnas delning
14
En gyllene rektangel
Höjden är sidan och basen diagonalen i en
Pentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet
http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm
15
a
b
Gyllene snittet:
sätt
a
x
b
a ab

b
a
1
x  1
x
x2  x 1  0
2
1
1
x     1
2
2
1 5
x
2
16
Att förstå på flera olika sätt (flera
sinnen) väcker intresse…
17
Räkneregler
a
a
b
aa=a2
ba
ab
b2
b
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
2
”Snickartriangeln”
5
3
4
2
2
2
3 +4 = 5
(9+16=25)
19
Pythagoras sats
c
b
a
2
2
a +b = c
2
20
Finns det fler ”Snickartrianglar”?
Ja tex:
a = 5, b = 12, c = 13
52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169)
men även
a = 99, b = 20, c = 101
(9801 + 400 = 10201)
21
Finns det fler ”Snickartrianglar”?
I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar
tex. alla tal av typen:
a = m2 – n2
b = 2mn
m>n
c = m 2 + n2
n = 1,2,…
är snickartrianglar eftersom
a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2
Exempel:
m = 2, n = 1 ger
a = 3, b = 4, c = 5
m = 3, n = 2 ger
a = 5, b = 12, c = 13
m = 4, n = 3 ger
a = 7, b = 24, c = 25
m = 10, n = 1 ger
a = 99, b = 20, c = 101
22
Pythagoras sats
23
Ett ”vackert” bevis
Pythagoras sats:
a2 + b2 = c2
”Ytan av stora Kvadraten”
(a + b)2 = c2 + 4(ab)/2
a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab
a2 + b2 = c2
Fermats gåta
Finns det heltal a, b, c som uppfyller
a3 + b3 = c3 ?
Svar: NEJ!
Finns det heltal a, b, c som uppfyller
a4 + b4 = c4 ?
Svar: NEJ!
osv….
25
Fermats gåta
P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han
bevisat att det inte finns några heltal
a, b, c som uppfyller an+ bn = cn
för n = 3,4,5..osv
Påståendet var sant men kunde
bevisas först 1995 av A. Wiles
Lösning av spännande problem
väcker intresse…
27
Födelsedagsproblemet
• Hur stor är sannolikheten för att minst två
personer i en grupp med n personer har
födelsedag samma dag?
28
Födelsedagsproblemet
n
sannolikhet
23
50%
30
70%
41
90%
47
95%
57
99%
För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer!
29
Lösning födelsedagsproblemet
Personer: A1 , A 2 , A 3 ,A 4 ...
o Sannolikheten att A1 och A 2 inte fyller år samma dag är
364
365
363
365
364 363
o Sannolikheten att A1 ,A 2 och A 3 inte fyller år samma dag är
×
365 365
364 363
343
o Sannolikheten att A1 ,A 2 ,...A 23 inte fyller år samma dag är
×
×...×
» 0, 4927
365 365
365
o Sannolikheten att det finns minst två peroner med samma födelsedag bland A1 ,A 2 ,...A 23
o Sannolikheten att A 3 inte fyller år samma dag som A1 och A 2 är
är » 1- 0, 4927 = 0,5073
30
Schackbrädesproblemet
Schackbrädet har
64-2 = 62 rutor
Kan vi täcka alla rutor
med 31 dominobrickor ?
Schackbräde utan två hörn
Svar: Nej!
(Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en
dominobricka täcker en svart och
en vit…)
31
Snabbräkning på Gauss vis
C.F. Gauss (1777-1855) fick följande
problem som 10-åring
1+ 2 + 3 + ... + 100 = ?
32
Snabbräkning på Gauss vis
Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050)
1
+
2
+
3
+
…
+
100
100
+
99
+
98
+
…
+
1
101
+
101
+
101
+
…
+
101
(100·101)/2 = 5050
På samma sätt inser man att
1 + 2 + 3 + ... + n =
n (n + 1)
2
33
Plattproblemet
Antal plattor = N
Hur långt om N = 1 ?
•L=½
Hur långt om N = 2 ?
• L = ½ + ¼ = ½ (1+½)
.
.
.
Hur långt om N är godtyckligt ? Exempel:
L = ½ (1+ ½ + 1/3 + … + 1/N) N = 3
L = 11/12
N=4
L = 25/24
N = 100 L ~ 2.6
N = 1000 L ~ 3.8 34
Spännande exempel från modern
matematik väcker intresse…
35
Von Kochs snöflingekurva
Ett exempel på en (fraktal) figur som
har oändlig omkrets men ändlig
innesluten area.
Area på snöflingan är 8/5 gånger
så stor som bastriangelns area.
Längden av kurvan efter
n steg = (4/3)n
36
Fler fraktaler….
Juliamängder och Mandelbrotmängd
Mandelbrotmängden kan ses som ett register
där varje punkt ger en Juliamängd.
37
Fler fraktaler….
Juliamängder och Mandelbrotmängd
• Den vanligaste Juliamängden fås ur den
rekursiva ekvationen
f(z) = z2 + c
där
z = en punkt i komplexa talplanet och
c = är en punkt i Mandelbrotmängden
• Den franska matematikern Gaston Julia gjorde
sin fundamentala upptäckt redan 1918.
• Benoît B. Mandelbrot upptäckte sin mängd först
1976. (Varje c i Mandelbrotmängden ger en
Juliamängd).
38
Fler fraktaler….
Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor
39
En resa in i Seahorse Valley…
40
Möbiusband
• Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje!
• Den kan konstrueras genom att en av ändarna på
en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan
ändarna sätts ihop.
41
Möbiusband
• Denna typ av ytor är uppkallade efter den
nederländske matematikern och astronomen
August F. Möbius (1790-1868).
• Han beskrev den ungefär samtidigt som en
annan matematiker, Johann Benedict Listing, år
1858, men de gjorde det oberoende av
varandra.
42
Möbiusband
…i tekniska tillämpningar
43
Möbiusband
…i konsten
44
”Endless ribbon” av M. Bill 1935
Möbiusband
…i konsten
45
”Immortality” av J. Robinson
Möbiusband
…i konsten
”We have died and gone to Mobius heaven”
av Teja Krasek & Cliff Pickover
46
Möbiusband
…som frimärksmotiv
47
Referenser
1. Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har
en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum
för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008
2. Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm,
1998
3. Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm,
1991
4. Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa
under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta,
Stockholm, 1997
5. Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber,
Stockholm, 2003
6. Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik:
läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning
(NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008
48
Referenser
7. Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i
matematik. Malmö: Liber. 1988
8. Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i
matematik. Malmö: Liber. 1989
9. Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl.,
Stockholm, 2001
10. Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated
snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New
York, 1998
11. Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste
matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998
12. Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra
matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982
13. Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken
som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR),
Stockholm, 1993
49
Den Gyllene Kunskapstriangeln
Kunskap
Intresse
Självförtroende
Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!
Magisk kvadrat
Känd redan under Zhou-dynastin
i Kina 1122-256 f.kr.
=”Mini-Sudoku”
Placera talen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 så
att summan i varje rad, kolumn
och diagonal = 15
51
52
Magisk Kvadrat
• Magiska kvadratens historia sträcker sig, enligt flera
kinesiska legender, mer än 4 000 år tillbaka, till kejsaren
Yu-Huangs tid. I dessa legender fick kejsaren en gång
syn på den gudomliga sköldpaddan vid floden Los
stränder. På sköldpaddans rygg fanns ett mönster av 3 x
3 rutor, och i rutorna fanns ett antal prickar som
symboliserade talen 1 till 9. Summan var densamma på
de tre raderna och i de tre kolumnerna och de två
diagonalerna. Talen bildade en magisk kvadrat av tredje
ordningen - Lo Shu. Det finns bara en möjlig lösning på
en sådan kvadrat om man bortser från speglingar och
rotationer.
http://fof.se/main/hjarnbruk/01_1bruk2.htm
53
Sudoku - matematik
Suuji wa dokushin ni kagiru
~ ”en siffra som måste förbli ensam”
Su doku ”en ensam siffra”
Sudoku
54
Sudoku - matematik
• New York 1979 (H. Garnes)
• Japan 1984 (Nikoli)
• 1997 – 2003 W Gould konstruerade ett
datorprogram som genererade sodukun
automatiskt
• Han publicerade ett Sodoku i The Times 12
november 2004!
Då EXPLODERADE det!
55
Sudoku - matematik
• Hur hittar man sitt eget Sudoku?
Svar: WEBBEN
http://www.goobix.com/games/sudoku/
• Hur många Sudokun finns det?
Svar 1: Det finns 5 472 730 538 väsentligt olika
slutkonfigurationer!
Svar 2: Totalt finns det
6 670 903 752 021 072 936 960 Sudokun!
Räknades ut 2005 av B. Felgenhauer
56
Sudoku - matematik
• Hur många rutor med siffror måste det minst
finnas i ett Sudoku
Svar: Man vet ej!
Det minsta man hittills hittat är 17
57
”Färg” och Barn- Sudoku
http://www.activityvillage.co.uk/
58
Sudokus pedagogiska värde
• JA! ALLA kan träna systematiskt och
logiskt tänkande (vilket vi gör för lite) utan
att först kunna en massa matematik
• Varför inte en morgonsudoku som träning
för hjärnan som komplement till kvällens
joggingrunda
59
Referenser
1. Bergius, Berit & Emanuelsson, Lillemor, Hur många prickar har
en gepard?: unga elever upptäcker matematik, Nationellt centrum
för matematikutbildning (NCM), Göteborg, 2008
2. Blatner, David, π - det fantastiska talet, Svenska förl., Stockholm,
1998
3. Dahl, Kristin, Den fantastiska matematiken, Fischer, Stockholm,
1991
4. Enzensberger, Hans Magnus, Sifferdjävulen: en bok att stoppa
under huvudkudden, för alla som är rädda för matematik, Alfabeta,
Stockholm, 1997
5. Eriksson, Kimmo & Rydh, Sten, Nöjesmatematik, 1. uppl., Liber,
Stockholm, 2003
6. Helenius, Ola & Wallby, Karin (red.), Människor och matematik:
läsebok för nyfikna, Nationellt centrum för matematikutbildning
(NCM), Göteborgs universitet, Göteborg, 2008
60
Referenser
7. Grevholm, Barbro. Utmaningen. Problem och tankenötter i
matematik. Malmö: Liber. 1988
8. Grevholm, Barbro. Lilla utmaningen. Problem och tankenötter i
matematik. Malmö: Liber. 1989
9. Lundy, Miranda, Den gyllene geometrin, Svenska förl.,
Stockholm, 2001
10. Peterson, Ivars, The mathematical tourist: new and updated
snapshots of modern mathematics, [New ed], W.H. Freeman, New
York, 1998
11. Singh, Simon, Fermats gåta: så löstes världens svåraste
matematiska problem, Norstedt, Stockholm, 1998
12. Tönisson, Tönis, Högre matematik för poeter och andra
matematiska oskulder, Prisma, Stockholm, 1982
13. Åberg, Leif (red.), Vetenskapens vackra verktyg: matematiken
som arbetsredskap, Naturvetenskapliga forskningsrådet (NFR),
Stockholm, 1993
61
Den Gyllene Kunskapstriangeln
Kunskap
Intresse
Självförtroende
Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!
Vacker och spännande
matematik
Lars-Erik Persson
Luleå Tekniska Universitet
http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik
63