Transcript Equa

Savoir résoudre une
équation.
Type d ’activité : leçon illustrée
Bruno DELACOTE
Collège de MASEVAUX
AVERTISSEMENT : Certaines images, dont les images clip art, sont protégées par les droits
d ’auteur. Les diapositives ne peuvent être ni dissociées ni redistribuées sans autorisation.
1
Conseils et méthode de travail
Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices :
A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et
finalement la solution.
Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement
Prépare l’exercice avant de visionner la solution.
Vérifie (sans tricher !)
Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris
pourquoi tu t’es trompé.
Pour naviguer dans la présentation tu peux utiliser les boutons ci dessous
ou le clic droit de la souris.
Permet de revenir
page précédente
Permet de revenir
au sommaire
Le menu du clic droit, le numéro des
diapositives et les liens hyper-texte 2
permettent également de naviguer.
Impression d'une diapositive :
à l'aide de PowerPoint :
Un clic droit de la souris ouvre un menu...
Mettre fin au diaporama...
Passer en mode diapositive...
Fichier imprimer...Choisir les options voulues.
Conseil : documents deux diapositives par page / cocher les cases :
encadrer les diapositives et noir et blanc intégral
A l'aide de la visionneuse :
Un clic droit sur la souris ouvre un menu...
Imprimer... Étendue d'impression....Choisir les diapositives à
imprimer...
Utiliser la dernière diapositive pour imprimer l'énoncé en noir et blanc.
3
Equations
Techniques de base
Les problèmes
Carrés et rectangles
Problèmes d âge
Equation ax = b
Vie de Diophante
Vocabulaire
Problèmes divers
Egalité de deux fractions
Les pièges classiques
Quelques équations.
Mais…La mise en
équation n’est pas
toujours
indispensable.
Me tester avec lilimath
4
Le carré et le rectangle peuvent-ils
avoir le même périmètre ?
x
x+4
x-2
Tester plusieurs valeurs de x .
Ecrire le périmètre du carré et celui du rectangle en fonction de x.
Que peut-on en conclure ?
5
x
Le carré et le rectangle peuvent-ils
avoir le même périmètre ?
x+4
x-2
Le périmètre du carré exprimé en fonction de x est :
Pc = 4x
Le périmètre du rectangle exprimé en fonction de x est :
Pr = 4x + 4
Ces deux périmètres ne peuvent pas être égaux !
Pr > Pc car Pr = Pc + 4
6
Le carré et le rectangle peuvent-ils
avoir la même aire ?
x
x+4
x-2
Tester plusieurs valeurs de x .
7
x
x+4
x-2
Le carré et le rectangle peuvent-ils
avoir la même aire ?
Calculer l'aire du carré et du rectangle lorsque x prend les
valeurs entières comprises entre 2 et 10.
On constate que les aires sont égales si :
x=4 .
8
x
x+7
x-3
On change les données, comparer les périmètres du carré et du rectangle.
Avec les notations précédentes:Pr > Pc car Pr = Pc + 8
Le carré et le rectangle peuvent-ils avoir la même aire ?
Calculer l'aire du carré et du rectangle lorsque x prend les
valeurs entières comprises entre 3 et 11.
9
aire du
x =3
x =4
x=5
x =6
x =7
x =8
x=9
x=10
x =11
carré
9
16
25
36
49
64
81
100
121
rectangle
0
11
24
39
56
75
96
119
144
Cette recherche ne permet pas de conclure !
Cependant on constate que
si x < 5, l'aire du carré est supérieure à celle du rectangle.
si x > 5, l'aire du rectangle est supérieure à celle du10carré.
x
x+7
x-3
Exprimer l'aire du carré et du rectangle en fonction de x
Aire du carré : x²
Aire du rectangle : (x + 7)(x - 3)
Les aires sont égales si x² = (x + 7)(x - 3)
11
Les aires sont égales si x² = (x + 7)(x - 3)
x² = x² - 3x + 7x -21
0 = 4x -21
x = 21:4
x = 5,25
12
Vérification
Si x = 21/4
5,25
21/4 + 7 = 5,25 + 7 = 12,25
21/4 - 3 = 5,25 - 3 = 2,25
12,25
27,5625
5,25 x 5,25
= 27,5625
27,5625
2,25
12,25 x 2,25 = 27,5625
13
• À partir d ’une équation
4 x  6  3x  5
On pourrait procéder par essais successifs...
Par exemple
Si x = 1
4x( 1 ) + 6 = 10 Tandis que
3x( 1 ) - 5 = - 2
1 n'est pas solution de cette équation car lorsque x = 1
le premier membre 3x + 6 est différent du second membre 4x - 5.
....Mais cela risque d'être long !
On cherche à isoler l'inconnue x
COMMENT FAIRE ?
Pour obtenir x = ( la solution)
14
Dans une équation, on peut
additionner ou retrancher un
même nombre de part et d ’autre
du signe =. Procédons en deux étapes
4x + 6 = 3x - 5
Ainsi en retranchant 6 à gauche et à droite, nous
regroupons les nombres connus à droite et nous obtenons
alors :
4x + 6 - 6 = 3x - 5 - 6
Donc 4x = 3x - 11
15
En utilisant la même règle
Dans une équation, on peut additionner ou retrancher un
même nombre de part et d ’autre du signe =.
4x = 3x-11
Ainsi en retranchant 3x à gauche et à droite, nous
regroupons les termes ou figurent la variable inconnue à droite
du signe = et nous obtenons alors :
4x - 3x = 3x - 11 - 3x
x = -11
donc x = -11
16
Vérifie que x = -11 est solution de l'équation 4x + 6 = 3x - 5
• Remplace x par -11 dans l ’équation.
• Choisis une autre valeur pour x et substitue - la dans
l ’équation. L ’égalité est-elle vraie ?
• As-tu compris ce que signifie « être solution de
l ’équation » ?
si x = -11 l'égalité est vérifiée
4 x (-11) + 6 = -38
3x (-11) - 5 = -38
Evaluation Mathboule
on admettra que
si x = -11 l'égalité n'est pas
vérifiée.
17
Revoir la méthode
Autre équation : 5x - 3 = 2 - 4x
• On choisit de conserver les
inconnues (x) à gauche.
• Quels termes faut-il éliminer ?
Comment éliminer -3 ?
En ajoutant 3 aux deux membres de l'équation
Comment éliminer -4x ?
En ajoutant 4x aux deux membres de l'équation
Quelle égalité peux-tu écrire ?
5x - 3 + 3 + 4x = 2 - 4x + 3 + 4x
9x = 5
18
Résumons : pour débuter, tu peux écrire….
5x - 3 = 2 - 4x
5x -3 + 3 + 4x = 2 - 4x + 3 + 4x
9x = 5
…. et dans quelques temps.
Lorsque tu seras sûr de
savoir ce que tu fais, il ne
sera peut-être plus très utile
de tout écrire. Mais ... Soit
prudent !
5x - 3 = 2 - 4x
Effectue +4x +3 +4x+3
mentalement
5x + 4x = 2 + 3
Je n ’ai pas très bien compris !
9x = 5
Suite
19
9x = 5
9
9
Est une équation pour laquelle il faut utiliser une deuxième règle
On peut multiplier ou diviser les deux membres
de l’équation par un même nombre non nul.
En divisant 9x par 9 il reste x à gauche du signe =
et à droite on trouve 5/9
donc
5
x
9
20
Pour bien nous comprendre
Développer : enlever les parenthèses….Pour
Réduire : effectuer tous les calculs possibles….Avant de
Résoudre une équation : trouver la solution.
Solution de l ’équation : nombre qui rend l ’égalité vraie quand
on substitue l ’inconnue par ce nombre.
Substituer : remplacer la lettre inconnue par un nombre pour
pouvoir calculer avec des nombres.
Je souhaite revoir la leçon
21
Deux problèmes
Un carré et un rectangle ont le même périmètre. La largeur du
rectangle est égale à la moitié du côté du carré tandis que sa
longueur mesure 10m de plus que le côté du carré. Calculer les
dimensions du rectangle et du carré.
L’aire d ’un carré est inférieure de 1400m² à l’aire d’un autre carré
dont le côté mesure 20m de plus. Calculer les dimensions des deux
carrés.
Dans ce cas un croquis permet de se construire une image du problème
22
Un carré et un rectangle ont le même périmètre. La largeur du
rectangle est égale à la moitié du côté du carré tandis que sa
longueur mesure 10m de plus que le côté du carré. Calculer les
dimensions du rectangle et du carré.
x
x/2
x + 10
4x = 2(1,5x + 10)
4x = 3x +20
x = 20
23
Un carré et un rectangle ont le même périmètre. La largeur du
rectangle est égale à la moitié du côté du carré tandis que sa
longueur mesure 10m de plus que le côté du carré. Calculer les
dimensions du rectangle et du carré.
20m
10m
30m
4x = 2(1,5x + 10)
x = 20
24
L’aire d ’un carré est inférieure de 1400m² à l’aire d’un autre
carré dont le côté mesure 20m de plus. Calculer les
dimensions des deux carrés.
20
20x
20 x 20
x
x²
20x
x
x + 20
(x + 20)( x + 20) - x² = 1400
x² + 20x + 20 x + 400 - x² = 1400
x = 25m
25
Encore deux problèmes
Les dimensions d’un premier rectangle
sont x et x + 5. Les dimensions d ’un
deuxième rectangle sont x + 6 et x + 11,
son aire est supérieure de 100cm² à
l ’aire du premier.
Calculer les dimensions des deux
rectangles.
Un carré de côté x a la même aire qu’un
rectangle de longueur x - 8 et de largeur
x + 4.
Calculer les dimensions du carré et du
rectangle.
17
cm
6
47
x5
cm
6
53
x6
cm
6
83
x  11 
cm
6
x 
x < 0 … le problème n’a
pas de solution !
26
Stratégies possibles pour les équations plus
complexes
En général on peut essayer de transformer et réduire l ’équation
pour obtenir une expression du type : ax + b = cx + d
Deux fractions sont égales si les
produits du numérateur de l ’une
par le dénominateur de l ’autre
sont égaux .
Règle 1
Règle 2
5x  2 4 x  5

3
7
7(5x + 2)=3(4x - 5)
35x + 14=12x - 15
35x + 14 - 12x -14 =12x -15 - 12x -14
35x - 12x = -15 -14
23x = -29
23
23
D ’où x = - 29/23
27
Recommandations
Bien réfléchir avant de commencer les calculs. En général éviter
de résoudre l ’équation avant d’avoir réduit les 2 membres.
4x(x - 6) + 7x= (2x - 5)(2x - 8) - x
On commencera par développer
4x² - 24x + 7x= 4x² - 16x - 10x + 40 - x
avant de réduire
4x² - 17x = 4x² - 27x + 40
et de résoudre pour trouver la solution
4x² - 17x = 4x² - 27x + 40
x=4
4x² - 17x - 4x² + 27x = 4x² - 27x + 40 + 27x - 4x²
10x = 40
x=4
28
5x  3 7 x  1 4 x  2


5
6
4
7
5x  3  7 x  1  4 x  2 5



6
7
1
 4 
Pièges classiques
Ordre de priorité...Il faut
calculer le numérateur
avant d ’effectuer la
division. Ce couple de
70 x  42  147 x  21  48 x  24 420 parenthèses doit être ajouté



à cause du signe - placé
84
84
84
84


devant la fraction
70 x  42  (147  21) 48 x  24  420

Réduire au même
84
84
dénominateur car :
70x - 42 - ( 147x -21 ) = 48x + 24 - 420
deux fractions qui ont
70x - 42 - 147x + 21 = 48x + 24 - 420
même dénominateur sont
égales si leurs
-77x - 21 = 48x -396
numérateurs sont égaux.
-77x - 21 - 48x +21 = 48x -396 - 48x +21
-125x = -375
x=3
29
5x  3 7 x  1 4 x  2


5
6
4
7
Autre stratégie possible
5x  3  7 x  1  4 x  2 5



6
7
1
 4 
10 x  6  ( 21x  3) 4 x  2  35

12
7
Attention au
signe - devant
la fraction !
L ’égalité de
deux fractions
7(10x - 6 - 21x + 3) = 12(4x - 33)
7(-11x - 3) = 48x - 396
-77x - 21 = 48x -396
-77x - 21 - 48x +21 = 48x -396 - 48x +21
-125x = -375
x=3
Attention au
signe devant la
parenthèse !
30
3x + 2 = 5 x = 1
Un peu de technique
4x - 6 = 5
x = 2,75
4x + 3 = 7x - 3 x = 2
6x - 1 = 3x + 2 x = 1
2(3x + 4) - 5(x + 3) = 3x - 7
x=0
(2x - 4)(3x - 2) = 6x2
x = 0,5
2(2x + 3) - 4(x - 3) = 2x - 7
x = 12,5
(3x - 2)(2x + 3) = 6x2
x = 1,2
x 3x 5 1

 
4
2 8 4 x = - 0,7
x 5x 1 1

 
3
6
6 2 x = - 4/3
x3 1
x
 
x = - 3,5
2
3 6
2 x  3 3x  2

2
6
4
x = - 2,4
x5
1
5x


3
2
6 x = 7/3
3x  5
2x  2

3
2
3
x = 1,2
31
Problèmes d’âge
Un homme de 40 ans a un fils de 9 ans. Dans combien d’années,
l’âge du père sera-t-il le double de celui du fils?
Appelons x le nombre d'années cherché et construisons un tableau.
Age du
Aujourd'hui
Dans x années
Père
40
40 + x
Dans x années on aura 40 + x = 2 (9 + x)
Fils
9
9+x
x = 22
Certains auront pensé que le père a eu son fils à 31ans.
Donc le père aura 62 ans, lorsque le fils aura 31 ans.
Dans 22 ans le père aura le double de l'âge du fils !
32
Un homme a 40 ans et sa fille a 23 ans. Dans combien d'années, l’âge
du père sera-t-il le double de celui de sa fille ?
Appelons x le nombre d'années cherché et construisons un tableau.
Age du
Aujourd'hui
Dans x années
Père
40
40 + x
Dans x années on aura 40 + x = 2 (23 + x)
Fille
23
23 + x
x = -7
Il y a 7 ans le père avait le double de l'âge de sa fille !
Un bien jeune papa de 17 ans !!!
33
Suzanne a 39 ans; elle a deux enfants, Michel qui a 17 ans,
et Isabelle qui a 15 ans.
Dans combien d'années, L’âge de Suzanne sera-t-il égal à la
somme des âges de ses enfants?
Appelons x le nombre d'années cherché et construisons un tableau.
Age de
Aujourd'hui
Dans x années
Suzanne
39
39 + x
Michel
Isabelle
17
17 + x
15
15 + x
Dans x années on aura 39 + x = 17 + x + 15 + x
x=7
Dans 7 ans Suzanne aura 46 ans, Michel aura 24 ans
et Isabelle aura 22 ans.
34
Un homme a 44 ans et sa fille a 23 ans. Dans combien
d'années,l’âge du père sera-t-il le double de celui de sa fille ?
Pour résoudre le deuxième problème ont peut utiliser la méthode
précédente.
Equation : 44 + x = 2( 23 + x)
solution x = - 2
et effectivement, il y a 2 ans la fille avait 21 ans et son père avait 42ans
On peut également comprendre que le père a le double de l ’âge de son
enfant, lorsque l ’enfant atteint l ’âge qu’avait le père au moment de la
naissance de l ’enfant !!!
Il suffit alors de calculer la différence entre l ’âge du père et de son
enfant pour trouver cet âge puis x !
35
Grégoire a 39 ans; il a deux enfants, qui ont 17 et 15 ans..
Dans combien d'années, L’âge de Grégoire sera-t-il égal à la
somme des âges de ses enfants
Appelle x le nombre d’années cherché, tu peux à nouveau
remplir un tableau, tu trouves alors que dans x années
Age de Grégoire :
Age de Mickael :
Age d ’ Anabelle :
39 + x
17 + x
15 +x
Le problème se traduit par l ’équation :
39 + x = 17 + x + 15 + x
x=7
Dans 7 ans Grégoire aura 46 ans, Mickael aura 24 ans et Anabelle aura 22 ans.
36
Diophante passa dans sa jeunesse le sixième de sa vie, le douzième
dans l’adolescence; il passa encore le septième de sa vie avant de se
marier, et cinq ans plus tard, il eut un fils qui mourra
accidentellement Diophante lui survécut quatre ans. Sachant que la
durée de la vie de Diophante fut double de celle de son fils, on
demande à quel âge est mort Diophante ?
Appelons x la durée de vie de Diophante
37
Appelons x la durée de vie de Diophante et exprimons
chaque période de sa vie en fonction de x
Diophante passa dans sa jeunesse le sixième de sa vie,
le douzième dans l’adolescence;
il passa encore le septième de sa vie avant de se
marier,
et cinq ans plus tard, il eut un fils qui mourra
Durée de vie du fils ?
accidentellement.
Diophante lui survécut quatre ans.
Sachant que la durée de la vie de Diophante fut double
de celle de son fils, on demande à quel âge est mort
Diophante ?
Je ne comprends pas
Vérifier la le résultat
x/6
x/12
x/7
5
x/2
4
38
x
Sachant que la durée de la vie de Diophante fut double de celle de son fils
Jeunesse
x/6
Naissance
de
Diophante
Adolescence
x/7
x/12
x/2
mariage
Diophante est
adulte
Naissance
du fils
Et trouve l’équation
1
1
1
1
x x x5 x 4  x
6
12
7
2
4 ans
Mort de
Diophante
Mort
du fils
1
1
1
1
x
x  x 5 x  4  x
6
12
7
2
14
7
12
420 42
336 84 x
x
x
x

x

84
84
84
84 84
84
84
14 x  7 x  12 x  42 x  756  84 x
75 x  84 x  756
 9 x  756
 756
x
9
x = 84 ans
DIOPHANTE A VECU 84 ANS
Un petit clic sur ce cadre si tu n’es pas
convaincu !
Encore des problèmes
Charles a acheté 25 Pin ’s; si chaque pin ’s avait coûté 50
centimes de moins, il aurait pu en acheter 5 de plus.
Quel est le prix d’un pin ’s ?
Soit x le prix d ’un pin ’s exprimé en francs.
Charles a acheté 25 pin ’s et a payé 25x
x - 0,5 F ( 50cts de moins)
Si chaque pin ’s avait coûté
il aurait pu en acheté
30
(5 de plus)
et aurait payé
30( x - 0,5)
25x = 30( x - 0,5)
Un pin ’s coûte 3F
42
Un automobiliste constate que son réservoir d'essence, plein au départ
ne renferme plus que 1/6 de sa capacité. Il ajoute 281 d’essence pour le
remplir aux 3/4. Calculer la capacité du réservoir.
Est-il possible, dans une classe où tout le monde travaille, que le tiers des
élèves écrivent les quatre septièmes calculent, et que trois élèves
dessinent ?
43
Un automobiliste constate que son réservoir
d'essence, plein au départ ne renferme plus que 1/6
de sa capacité. Il ajoute 281 d’essence pour le
remplir aux 3/4. Calculer la capacité du réservoir.
Appelons x la capacité en litres du réservoir
Une équation possible
x
28 litres
Le réservoir contient
maintenant 3x/4
Il restait
x/6
x
3x
 28 
6
4
2 x 336 9 x


12 12 12
336 = 7x
x = 48
Le réservoir peut contenir 48 litres.
44
Est-il possible, dans une classe où tout le monde travaille,
que le tiers des élèves écrivent les quatre septièmes calculent, et que
trois élèves dessinent?
La classe composée de x élèves dont :
Une équation possible
x 4
 x3 x
3 7
7 x 12 x 63 21x

 
21 21 21 21
x/3 élèves écrivent
(4/7)x calculent
63 = 2x
3 élèves dessinent
x = 31,5
Ce qui pose problème !
45
Dans un collège, les 2 / 5 des élèves sont demi-pensionnaires, 16 % des
élèves sont internes et 143 élèves sont externes. Quel est le nombre des
élèves de ce collège? Combien y a t-il de demi-pensionnaires? Combien
y a-t-il d'internes ?
Un viticulteur dispose de deux modèles de tonneaux, le plus grand
contenant 75 litres de plus que le plus petit. Sachant qu'avec 15 000
litres, il peut remplir exactement 50 grands tonneaux
et 25 petits, trouver la contenance de chaque modèle de tonneau.
Un grossiste voulait vendre des pêches à 10 F le kg, mais il constate
qu'un cageot de 26 kg est invendable. Pour obtenir malgré tout la recette
attendue, il augmente son prix de vente de 8 %. Combien de kilos de
pêches avait-il à vendre ?
46
Dans un collège, les 2 / 5 des élèves sont demi-pensionnaires,
16 % des élèves sont internes et 143 élèves sont externes.
Quel est le nombre des élèves de ce collège? Combien y a t-il de
demi-pensionnaires? Combien y a-t-il d'internes ?
Soit x le nombre d ’élèves de ce collège
2/5 des élèves sont demi pensionnaires
16% des élèves sont internes
Il y a 143 externes
D ’où x= 0,4 x + 0,16x + 143
0,44x = 143
x=325
130 + 52 + 143 = 325
2
x
5
= 130
16
x = 52
100
x
143
Ne nous privons pas de
remplacer ces fractions
par leurs valeurs
décimales 47
Un viticulteur dispose de deux modèles de tonneaux, le
plus grand contenant 75 litres de plus que le plus petit.
Sachant qu'avec 15 000 litres, il peut remplir exactement
50 grands tonneaux et 25 petits, trouver la contenance de
chaque modèle de tonneau.
J ’appelle x la contenance en litres du petit tonneau alors le
grand tonneau contient
x + 75 litres.
Et l’équation du problème est :
50(x + 75) + 25x = 15000
on trouve x= 150
Les petits tonneaux peuvent contenir 150 litres et les grands
tonneaux 225 litres.
48
Un grossiste voulait vendre des pêches à 10 F le kg, mais il
constate qu'un cageot de 26 kg est invendable. Pour obtenir
malgré tout la recette attendue, il augmente son prix de vente
de 8 %. Combien de kilos de pêches avait-il à vendre ?
J ’appelle x le nombre de kilos de pêches cherché
Le grossiste attendait une recette de 10x
mais il ne vendra que x - 26 kilos de pêche
au prix de 10,80F
sa recette sera de 10,80 ( x - 26 )
Donc 10,8( x - 26) = 10x
0,8x =280,8
x = 351
Le grossiste avait 351 kg de pêche, il lui en reste 325kg
49
Dans une usine où il y a autant d’hommes que de
femmes, 1/4 des hommes sont cadres, mais parmi les
cadres, on ne compte que 3 femmes pour 4 hommes.
Si cette usine embauchait 15 ouvriers de plus les
cadres représenteraient 1/5 de l'ensemble du personnel.
Quel est le nombre de femmes cadres ? d’hommes
cadres ?
Lors d'une randonnée à cheval,
on compte 20 têtes et 50 pieds.
Combien y a t-il d'hommes ?
Combien y a t-il de chevaux ?
50
Dans une usine où il y a autant d’hommes que de femmes,
1/4 des hommes sont cadres, mais parmi les cadres,
on ne compte que 3 femmes pour 4 hommes.
Si cette usine embauchait 15 ouvriers de plus les cadres représenteraient
1/5 de l'ensemble du personnel.
Quel est le nombre de femmes cadres ? d’hommes cadres ?
Soit x l ’effectif total, il est composé de x/2 hommes et x/2 femmes.
1 x x
Parmi les hommes, on trouve
cadres.
 
4 2 8
3 x 3x
 
Parmi les femmes, on trouve
cadres.
4 8 32
Les cadres représentent x  3x  7 x de l ’effectif total.
8 32 32
Les ouvriers représentent x  7 x  25 x de l’effectif total.
32 32
51
Dans une usine où il y a autant d’hommes que de femmes,
1/4 des hommes sont cadres, mais parmi les cadres,
on ne compte que 3 femmes pour 4 hommes.
Si cette usine embauchait 15 ouvriers de plus les cadres représenteraient
1/5 de l'ensemble du personnel.
Quel est le nombre de femmes cadres ? d’hommes cadres ?
Une équation possible est
25 x
1
 15  ( x  15)  x  15
32
5
Dont la solution est
x = 160
L ’effectif est de 160 personnes,
80 hommes dont 20 sont des cadres,
80 femmes dont 15 sont des cadres.
Les 35 cadres représenteraient bien 1/5 de 160 +15 !
52
Lors d'une randonnée à cheval, on compte 20 têtes et 50
pieds.
Combien y a t-il d'hommes ? Combien y a t-il de chevaux ?
Appelons x le nombre d ’hommes, il y a donc 20 - x chevaux
(car hommes et chevaux n ’ont qu’une tête chacun !)
comme il y a 50 pattes...
Les hommes ont 2 pattes !
Les chevaux ont 4 pattes !
2x +4( 20 - x ) = 50
2x + 80 - 4x = 50
-2x = -30
x = 15
15 hommes et 5 chevaux participent à la randonnée.
53
Deux problèmes : une équation est - elle nécessaire ?
A la fin d'un repas au restaurant, des convives se partagent
"I’addition". Chacun ayant donné 70 F, il manque 85F. Chacun
redonne 10 F; il reste alors 45 F de trop. Combien y avait-il de
convives ?
La construction d'une maison comporte plusieurs grandes étapes
A la fin de chaque tranche le maître d'ouvrage paye une fraction
du prix total au constructeur selon les conventions suivantes
La signature du contrat......................... 5%
la délivrance du permis de construire... 5%
l'ouverture du chantier.......................... 5%
l'achèvement des fondations................. 10%
l'achèvement des murs.......................... 15%
la mise hors d'eau................................. 15%
la mise hors d'air.................................. 20%
l'achèvement des travaux électriques... 20%
54
la réception des travaux ....................... le solde soit 7200 €
A la fin d'un repas au restaurant, des convives se partagent
"I’addition". Chacun ayant donné 70 F, il manque 85F. Chacun
redonne 10 F; il reste alors 45 F de trop. Combien y avait-il de
convives ?
On peut comparer deux méthodes…
Soit x le nombre de convives
Chacun ayant donné 70 F, il
manque 85F
donc le repas coûte : 70x + 85
Chacun redonne 10 F; il
reste alors 45 F de trop
donc le repas coûte 80x - 45
La différence entre les deux
paiements est
85 + 45 = 130
chaque convive a reversé 10F :
il y a donc 13 convives
D ’où 70x + 85 = 80x -45
…
x = 13
13 convives ont participé au repas.
55
La construction d'une maison comporte plusieurs grandes étapes
(rechercher le sens de chaque terme)
A la fin de chaque tranche le maître d'ouvrage paye une fraction
du prix total au constructeur selon les conventions suivantes
La signature du contrat.........................
la délivrance du permis de construire...
l'ouverture du chantier..........................
l'achèvement des fondations.................
l'achèvement des murs..........................
la mise hors d'eau.................................
la mise hors d'air..................................
l'achèvement des travaux électriques...
la réception des travaux .......................
5%
5%
5%
10%
15%
15%
20%
20%
le solde soit 7200 €
56
J’appelle x le coût total de la maison.
Délivrance
du permis de
construire
Signature
du contrat
5% du
prix
Ouverture
du chantier
Achèvement
des murs
5% du
prix
5% du
prix
Mise
hors
d’eau
Achèvement
des fondations
15% du
prix
10% du
prix
15% du
prix
95% du prix
Achèvement
des travaux
élctriques
Mise hors
solde
d’air
7200
euros
1/5 du
prix
1/5 du
prix
5% du prix
57
Une mise en équation classique conduirait à écrire :
soit x le prix de la maison…suivie d ’une équation du type
0,05x + 0,05x + 0,05x + 0,1x +0,15x + 0,15x + 0,2x + 0,2x + 7200 = x
MAIS
En remarquant que 1/5 = 20%
on constate que 7200 € représentent 5% du prix total
ce qui simplifie considérablement les calculs
100
x  7200 
5
La maison coûte 144000€
58