Transcript Ingen bildrubrik

Om konstruktion av
problemuppgifter
Lars Burman
Föreläsningens innehåll
1 Klassificering av uppgifter i matematik
2 Kvalitetskrav på goda uppgifter/problem
3 Konstruktion av problem
- resonemang kring en exempelsamling
4 Konklusioner
Varför vill vi konstruera problem?
* Vi vill komplettera de uppgifter vi har
* Vi behöver nya uppgifter till prov
* Vi hittar inte exakt sådana uppgifter
som vi behöver
* Vi vill bädda för en systematisk övning
av olika problemlösningsmetoder
1 Om klassificering ...
Läraren söker lämpliga uppgifter
och har därför nytta av att hitta i
sin ”uppgiftsbank”. Då kan man
ha hjälp av en
klassificeringsnyckel
(Rönnqvist-Norrby & Burman, 2008)
Klassificeringsnyckeln
Klassificering i fyra olika avseenden
A. Användning av uppgiften
B. Betoning (gäller problem)
C. Central metod (problemlösning)
D. Delområde av matematiken
Användning av uppgiften





Introduktion
Övning
Repetition
Utvärdering
Övning i grupp
Betoning (gäller problem)




Begynnelsefas
Systematiskt genomförande
Flera lösningar
Regel, mönster
Central metod (problemlösning)







Tabeller, figurer
Regler, mönster
Prövning
Eliminering
Arbeta baklänges
Lösa delproblem
Helhetsuppfattning
Delområde av matematiken





Tal och räkneoperationer
Algebra och funktioner
Geometri
Sannolikhetslära och statistik
Problem med verklighetsanknytning
2 Om kvalitetskrav ...
*Ett problem kan vara rikt eller
en matematikuppgift kan vara
värdefull i olika avseenden.
*Problemet kan anses vara mera
värdefullt ju flera av följande
kvalitetskrav som är uppfyllda.
*Jag föredrar att gruppera
kraven parvis med hänsyn till
några nyckelord.
Ett rikt problem ...
(Introduktion)
a) kan användas för att introducera
nya begrepp och metoder
b) innehåller en potential att fungera som en utmaning för elever
Ett rikt problem ...
(Förståelse)
c) har en potential att fungera som
en nyckel för förståelsen av
matematik
d) uppmuntrar eleverna att bygga
upp nya kognitiva scheman
Ett rikt problem ...
(Relationer)
e) kan lösas på flera sätt
- ger rikare helhetsbild
f) har relationer till andra
delområden av matematiken
Ett rikt problem ...
(Relevans)
g) är autentiskt och relevant
för sin kontext
h) initierar och inspirerar till
diskussioner i klassrummet
Ett rikt problem ...
(Affektion)
i) innehåller inslag av överraskning
och / eller kan ge en estetisk
upplevelse
P1 Resa i Norden
78 elever tillfrågades om de under sommaren hade rest i Danmark (D), Norge
(N) och Sverige (S). De svarade
D 22
D och N
6
N 15
D och S 18
S 49
N och S 12
och 5 elever hade varit i alla tre länder.
Hur många elever hade inte varit till
något av de tre länderna?
P1 Resa i Norden
HUR?
1) I början av höstterminen, ev. också
baserat på statistisk undersökning
2) Venn-diagram
3) - delmängder beskriver olika många
egenskaper av tre aktuella sådana
- eleverna behöver tänka på nytt sätt
- 1 3 3 1 , dvs. Pascals triangel
- autentiskt, aktuellt (men frågan?)
4) Modifierat från ett språkproblem
3 Om konstruktion av problem
Fyra sätt att konstruera problem:
1) problem för ett bestämt ändamål
2) problem med en bestämd metod
3) problem med rika egenskaper
4) problem modifieras med en
bestämd avsikt
P2 Att vara ute och cykla
Hur långt cyklar man om cykelhjulen rör
sig 50 varv och hjulens radie är 34 cm?
Hur många varv rör sig hjulen när man
cyklar 100 m och hjulradien är 34 cm?
Vilken radie borde hjulen ha för att de
skall röra sig 50 varv på 100 m?
Ange en formel för att beräkna hjulradien
när man vet hur långt man cyklar och har
bestämt antalet varv cykelhjulen rör sig!
P2 Att vara ute och cykla HUR?
1) Problemet är gjort för att öva räkning
med bokstäver och konstruktion av
formler och här finns tre variabler.
(4) Egentligen en modifiering av den
bekanta formeln s = v · t .
Observera att problemet innehåller
flera och olika svåra frågeställningar!
P3 100 möjligheter
Talen m och n väljs på måfå ur mängden
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Bestäm sannolikheten att ekvationen
x2 + mx + n2 = 0
har åtminstone en reell lösning.
P3 100 möjligheter
HUR?
1) Problemet är gjort för att eleverna
skall få jobba i grupper, samarbeta
- alla skall inte pröva alla möjligheter
- hur många lösningar kan vi samla
- många möjligheter kan uteslutas
2) Prövningsmetoden (se ovan)
(3) - en utmaning för eleverna
- diskriminant, svar med sannolikhet
- diskussion inom grupperna
(4) Lätt modifierat, Mathematics Teacher
P4 På vandring
En grupp på fotvandring beslöt att de
som dagsetapp skulle gå västerut ett
visst antal hela kilometer, sedan söderut
igen ett visst antal hela kilometer och
slutligen kortaste vägen till startpunkten.
Hur många hela kilometer skall gruppen
gå västerut och söderut (kan vara lika
många också) för att deras dagsetapp
skall vara så nära 20 km som möjligt?
P4 På vandring
HUR?
2) Problemet är gjort för att eleverna
skall få träna prövningsmetoden,
man prövar alla möjliga lösningar.
(1) Pythagoras sats var aktuell och
det var populärt att vandra i fjällen.
(Vem planerar nu dagsetapp så här?)
1) Fördel med att lösa problemet i grupp
- prövningen fördelas i gruppen
- diskussion: har vi bästa svaret?
P5 Pilkastning
Fröken Jeanne d’Art kastar en pil som
träffar en vanlig piltavla (numrerad
från 1 till 10). Vi är intresserade av
med vilken sannolikhet hon får
a) minst 5
b) precis 5
Rita två bilder som hjälper oss att
uppfatta problemen rätt och beskriv
med ord hur man skall göra för att
beräkna sannolikheterna.
P5 Pilkastning
HUR?
2) Problemet har gjorts som en introduktion till geometrisk sannolikhet.
3) - introduktion, koppling till geometri
- ny tanke: sannolikheter – areor
(bäddar för kont. fördelningar!)
- uppgiften är rätt öppen, villkoren
kan preciseras => diskussioner
- kreativt: bilder som delsvar!
- affektiva poäng utöver efternamnet
(4) Lämplig för alla utan modifiering.
P6 Hur många elever?
Du får tre uppgifter om eleverna i en
skola med årskurserna 7, 8 och 9:
a) exakt en tredjedel av eleverna
går i åttan
b) exakt 20 % av eleverna kommer
till skolan med skolbuss
c) skolan har över 300 elever
Hur många elever måste det
åtminstone finnas i skolan?
P6 Hur många elever?
HUR?
3) Problemet gjordes ursprungligen för
att uppgifterna passade en bestämd
skola men det har vissa kvaliteter:
- inspirerar till att tänka annorlunda
- utmaning för eleverna (”olösbart”)
- oväntad koppling till delbarhet
- problemet kan modifieras till att
stämma in på den egna skolan
(men frågan är onekligen avig!)
- överraskning: ”det går att lösa”
P7 Fångarna på fortet
Ett lag i ”Fångarna på fortet” måste för att
befria en lagmedlem fördela tio vita kulor
och tio svarta kulor i två askar. Sedan väljer
fångvaktaren på måfå ut en av askarna och
drar en kula ur den asken. Om kulan är vit
blir fången fri annars inte.
Hur skall laget fördela kulorna så att sannolikheten att befria lagmedlemmen blir så stor
som möjligt?
P7 Fångarna på fortet
HUR?
Ursprunget MT, men uppgiften användes
troligen i TV-programmet med detta namn.
3) Problemet har många kvaliteter:
- utmaning, kändes omöjligt för en del ...
- inspirerar till att tänka i nya banor, nytt
kognitivt schema: ”inte lika många kulor”
- autentiskt, dvs. åtminstone aktuellt då
- ledde till diskussion (”bästa svar?”)
(2) Resonemang bättre än prövningsmetoden.
P8 Salt i vatten
Anta att 100 liter vatten innehåller 1 % salt.
Hur mycket vatten bör man låta koka bort för
att salthalten skall stiga till a) 2 % b) 5 % ?
Förändra uppgiften:
- starta med 100 ml vatten i stället
(- lägg till salt i stället för att koka bort vatten)
Vad kan du dra för slutsatser?
P8 Salt i vatten
HUR?
Problemet finns i många tappningar men
nu är avsikten att få eleverna att dra egna
slutsatser med praktiska konsekvenser.
4) Elevernas tankar skall ledas in på vad som
kan hända när man värmer upp mat och i
bästa fall ge dem en aha-upplevelse.
Problemet är inte svårt att konstruera!
P9 Hur stort tal?
Medelvärdet av sju olika stora positiva hela
tal är 23 och medianen är 20. Hur stort kan
det största av de sju talen vara?
(Vi antar att vi vill försöka få
ett så stort tal som möjligt.)
Vad är svaret om medelvärdet är 28 ?
P9 Hur stort tal?
HUR?
4) Problemet är gjort för att repetera lägesmått och möjligen fördjupa förståelsen:
- en starkt avvikande observation påverkar
inte medianen men nog medelvärdet
- rätt lösning förutsätter också att man
lägger märke till all information i texten
och använder den systematiskt samt att
man behärskar begreppen som ingår
Definition på problem


Ett problem är en uppgift som man
inte kan lösa med standardmetoder.
En uppgift som är ett problem för en
elev behöver inte vara ett problem
för en annan elev.
4 Konklusioner



Ju fler problem eleverna löser desto
färre blir de uppgifter som de inte
kan lösa med bekanta metoder.
Problemen blir mera intressanta för
eleverna om läraren har konstruerat
(modifierat) dem så att de passar in
i det som är aktuellt i klassen.
Ju fler problem man har löst desto
lättare är det att lösa nya problem,
konstruera problem (och modifiera).
Referenser m.m.




Mina referenser finns i dokumentationsfilen
bredvid denna presentation under rubriken
”Aktuella konferenser” på min hemsida.
Gamla tävlingsuppgifter för åk 8 finns här:
http://matcup.edublogs.org/gamla-uppgifter/
Ett urval PUMA-problem för åk 7-9 finns här:
http://www.skolresurs.fi/puma
Sänd gärna kommentarer på adressen
lburman(at)abo.fi