Transcript Metode Numerik Pertemuan 9

INF-226
Pertemuan 9
Tujuan Instruksional Umum :
Diffrensiasi Numerik
Tujuan Instruksional Khusus :
Mahasiswa dapat menaksir nilai turunan suatu fungsi f(x) di titik tertentu.
Univ. INDONUSA Esa Unggul
FEB 2006
INF-226
Differensiasi Numerik
Perlu karena:
- Solusi secara analitik sulit diperoleh
- berbentuk kompleks/tidak praktis.
Nilai turunan suatu fungsi y=f(x) di titik x = xo
besarnya adalah gradien garis singgung
kurva pada titik tersebut.
Taksiran 2 titik:
•Turunan pertama di ttk. X = xo :
f’(xo) = (f(xo +h) – f(xo – h))/2h
Univ. INDONUSA Esa Unggul
h = jarak antara ttk.-ttk. x,
FEB 2006
INF-226
Gambar Illustrasi Differensiasi pada 2 titik
Univ. INDONUSA Esa Unggul
FEB 2006
INF-226
• Dgn
kesalahan pemotongan : eT = h2 f’’’()/6
• Turunan kedua di titik x = xo:
f’’(xo) = (f(xo +h) –2f(xo) + f(xo – h))/h2
• Dgn kesalahan pemotongan: eT = -h2 f(4)()/12
• Catatan, taksiran 2 titik hanya tepat (eT =0)
untuk polinomial orde n2.
• Taksiran 3 titik
• Turunan pertamanya:
f’(xo) = (h12(f(xo+h2)+(h22–h12)f(xo) – h22 f(xoINDONUSA Esa Unggul
FEB 2006
h1)))/(h1hUniv.
(h
2
1+h2))
INF-226
Kesalahan
pemotongan: eT = h1h2 f’’’()/6
Catatan: Taksiran tiga titik hanya tepat (eT =0)
untuk polinomial orde n2.
• Taksiran 5 titik
f’(xo) = (f(xo-2h)-8f(xo-h) +8f(xo+h)-f(xo+2h))/12h
Dgn kesalahan pemotongan: eT = 24h4 f(5)()/5
Catatan, taksiran 5 titik hanya tepat (eT =0) untuk
polinomial orde n4.
Univ. INDONUSA Esa Unggul
FEB 2006
INF-226
• Agar
kesalahan aproksimasi turunan disuatu
titik dapat diperkecil:
- nilai h diperkecil
- jumlah angka signifikan diperbanyak
- perilaku fungsi diketahui di sekitar titik
tersebut
- digunakan lebih banyak titik taksiran.
Contoh,
1. Diketahui f(x) = x3-3x + 2, carilah:
a. Nilai turunan pertama di titik x=1 dgn taksiran
2 titik, h=0,1.
Univ. INDONUSA Esa Unggul
FEB 2006
INF-226
b. Nilai turunan pertama di titik x=1 dengan
taksiran 3 titik, h1=0,06 dan h2=0,04
2. Diketahui data pasangan x-y sebagai berikut:
X
2,0
2,2
f(x) 2,414 2,483
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
2,549 2,612 2,673 2,732 2,788
Carilah:
a. nilai turunan pertama di titik x=2,6 dengan taksiran 2 titik
b. nilai turunan pertama di titik 2,6 dengan taksiran 3 titik ,
h1=0,4, h2 = 0,2.
Univ. INDONUSA Esa Unggul
FEB 2006