Помехоустойчивое кодирование. Циклические коды
Download
Report
Transcript Помехоустойчивое кодирование. Циклические коды
Помехоустойчивое
кодирование
Циклические коды – подкласс
линейных кодов
Примеры использования
линейных кодов
• Пример 1. Протокол передачи данных по
телефонному каналу ISDN-D, в котором
используется формат передачи данных
LAPD.
1
2 1(2)
F
A
C
max 260
I
2
1
FCS
F
Примеры использования
линейных кодов
• F=01111110 (flag)
• А – поле адреса (address)
• С поле команд (control)
• I –информационное поле (information)
• FCS – проверочные разряды (frame check sequence)
• Общая длина 266х8=21128 бит, проверочных – 16 бит
•
F
1
A
C
2 1(2)
I
max 260
FCS F
2
1
Примеры использования
линейных кодов
• Пример 2. Протокол передачи данных в 802.3
CSMA/CD для передачи данных в локальных сетях
связи (LAN)
Преамбула
Разделитель
Адрес получателя
Адрес источника
Данные
Контроль четности
7
1
2(6)
2(6)
65-1518
4
Линейные циклические коды
Циклические коды интенсивно изучаются, так как:
•
Циклические коды обладают богатой алгебраической
структурой, что используется в различных
приложениях.
• Для циклических кодов чрезвычайно кратко
формулируются технические требования
(спецификации).
•
Циклические коды легко реализуются с помощью
сдвиговых регистров.
• Многие практически важные коды являются
циклическими.
Линейные циклические коды
Линейный (n,k)-код С называется циклическим, если
циклический сдвиг любого кодового слова из С также
принадлежит С:
x0
x
1
...
xn 2
xn 1
(1)
xn 1
x
0
...
xn 3
xn 2
Замечание
• Для задания произвольного кода из 2k
слов длины n необходимо выписать
все 2k кодовых слов длины n.
• Для задания линейного кода из 2k слов
длины n достаточно выписать k
базисных слов длины n (порождающая
матрица).
• Для задания линейного циклического
кода из 2k слов длины n достаточно
выписать одно ненулевое кодовое
слово.
Реализация циклического сдвига
Циклический сдвиг реализуется с помощью
регистра сдвига длины n с обратной
связью:
x0 x1 x2
…
xn2 xn 1
Реализация циклического сдвига
Регистр сдвига на такте 1
xn 1 x0 x1
…
xn3 xn2
Регистр сдвига на такте 2
xn2 xn 1 x0
…
xn4 xn3
Представление кодовых слов в
виде кодовых многочленов
a0
a
1
n 1
... a( x) a0 a1 x ... an 1 x
a
n2
an 1
Представление кодовых слов
в виде многочленов
Циклический сдвиг многочлена
a( x) a0 a1x ... an1x
a ( x) an1 a0 x ... an3 x
n 2
n2
n
(1)
a0 x ... an3 x
an2 x
n 1
n1
an2 x
n1
an1 x (modx 1)
x a( x)(modx 1)
n
n
Пример
a ( x) 1 x x , n 7
3
1101000
Пример
(1 x x )a ( x) (1 x x )(1 x x )
1101000
4
4
0110100
1000110
0011010 x x x
2
3
5
3
Пример
(1 x x )a( x) (1 x x )(1 x x )
4
4
3
1 x x x x x x x x
4
2
5
3
4
1 x x x x
2
3
5
7
x x x mod(x 1)
2
3
5
7
7
Циклический сдвиг многочлена
(i )
an i
a
n i 1
i
n
... x a( x)(modx 1)
an i 2
an i 1
Важные теоремы
• Теорема 1. Циклический код содержит
единственный кодовый многочлен
минимальной степени.
• Теорема 2.Если g (x) – кодовый многочлен
минимальной степени, то его младший
коэффициент g0 1.
• Теорема 3.Пусть g (x)-кодовый многочлен
минимальной степени. Многочлен a(x)
является кодовым многочленом тогда и
g (x).
только тогда, когда он кратен
Порождающий многочлен
Пусть g (x) -кодовый многочлен минимальной степени,
этот многочлен называется порождающим
многочленом. Пусть степень порождающего
многочлена равна r.
Базис подпространства С (порождающая матрица):
g(x), x g(x), x
2
g ( x) ,..., xk 1 g ( x)
Степень порождающего многочлена
deg g ( x) n k
Теоремы о порождающем многочлене
• Теорема1.Порождающий многочлен
циклического кода g (x) делит без остатка
n
x
многочлен 1. .
• Теорема 2.Если некоторый многочлен g (x) степени n-k делит многочлен x n 1 без
остатка, то g (x). порождает циклический
(n,k)-код.
Кодирование
• Кодирование циклического кода –
умножение информационного
многочлена на порождающий
многочлен
Циклический (7,4)-код
• Пример.
g ( x) 1 x x3
• (разложение x7 1 ( x 1)(1 x x3 )(1 x2 x3 ) )
инф.сл.
кодовое сл.
0000
0000000
1000
1101000
0100
0110100
1100
•
1011100
0010
0011010
1010
1110010
0110
0101110
1110
1000110
0001
0001101
многочлен
0 g ( x)
1 g(x)
x g(x)
(1 x) g ( x)
x2 g(x)
(1 x 2 ) g ( x)
( x x 2 ) g ( x)
(1 x x 2 ) g ( x)
x3 g(x)
1001
0101
1101
0011
1011
0111
1111
Заполните самостоятельно
Циклический (7,4)-код
• Минимальный вес (7,4)-кода равен 3,
код исправляет 1 ошибку
• Это циклический код Хэмминга
Замечания (1)
•По сравнению с линейными,
циклические коды редки. Например,
существует 11 811 линейных
двоичных (7,3)-кодов, но только два
из них являются циклическими.
Замечания (2)
•Тривиальные двоичные циклические коды.
•Код без информации – код из нулевого слова.
•Код с повторением – код состоящий из двух
слов: 00…0 и 11…1.
• Код с проверкой на четность – код из слов
четного веса.
•Код без проверки – код из всех слов длины n.
•В некоторых случаях (например n = 19), не
существуют циклические коды, кроме
описанных выше четырех кодов.
Порождающая матрица
циклического кода
1 g1 g 2
0 1 g1
GТ 0 0 1
k n
0 ... ...
...
g n k 1
... g n k 2
...
...
1
0
0
...
g n k 1
...
1
g n k 1
0
1
...
...
0
1
g1
g2
... g n k 1
0
0
0
1
Проверочный многочлен
циклического кода
• Так как порождающий многочлен циклического
кода g (x) делит без остатка многочлен x n 1,
то
x 1 h( x) g ( x)
n
• Многочлен h(x) – проверочный многочлен
Проверочная матрица
циклического кода
• Всякое кодовое слово можно представить
как c( x) a( x) g ( x), deg a( x) k 1
• Тогда
c( x) h( x) a( x) g ( x) h( x)
n
a( x) (1 x )
n
a( x) a( x) x
• поэтому
deg c( x) h( x) k 1
Проверочная матрица
циклического кода
• Поэтому коэффициенты при степенях x
старше k-1 равны 0.
• Тогда
c0 hk c1 hk 1 ... ck h0 0
c1 hk c2 hk 1 ... ck 1 h0 0
c2 hk c3 hk 1 ... ck 2 h0 0
cn k 1 hk cn k hk 1 ... cn 1 h0 0
Проверочная матрица
циклического кода
hk
0
H 0
( n k )n
0
hk 1
hk 2
... h1
h0
0
hk
0
hk 1
hk
... h2
... ...
h1
...
h0
h1
...
...
0
hk 1
hk 2
hk
0
0 ... 0
h0 ...
0
... h1 h0
0
...
Порождающий многочлен
дуального кода
h x hk hk 1x ... h0 x
1
h ( x) x h( x )
*
k
k
Параметры циклического кода
Хэмминга
n 2m 1
• Длина кода
• Число информационных символов
k n m 2m 1 m
• Минимальное расстояние - 3
• Число исправляемых ошибок - 1