Transcript Помехоустойчивое кодирование. Циклические коды

Помехоустойчивое
кодирование
Циклические коды – подкласс
линейных кодов
Примеры использования
линейных кодов
• Пример 1. Протокол передачи данных по
телефонному каналу ISDN-D, в котором
используется формат передачи данных
LAPD.
1
2 1(2)
F
A
C
max 260
I
2
1
FCS
F
Примеры использования
линейных кодов
• F=01111110 (flag)
• А – поле адреса (address)
• С поле команд (control)
• I –информационное поле (information)
• FCS – проверочные разряды (frame check sequence)
• Общая длина 266х8=21128 бит, проверочных – 16 бит
•
F
1
A
C
2 1(2)
I
max 260
FCS F
2
1
Примеры использования
линейных кодов
• Пример 2. Протокол передачи данных в 802.3
CSMA/CD для передачи данных в локальных сетях
связи (LAN)
Преамбула
Разделитель
Адрес получателя
Адрес источника
Данные
Контроль четности
7
1
2(6)
2(6)
65-1518
4
Линейные циклические коды
Циклические коды интенсивно изучаются, так как:
•
Циклические коды обладают богатой алгебраической
структурой, что используется в различных
приложениях.
• Для циклических кодов чрезвычайно кратко
формулируются технические требования
(спецификации).
•
Циклические коды легко реализуются с помощью
сдвиговых регистров.
• Многие практически важные коды являются
циклическими.
Линейные циклические коды
Линейный (n,k)-код С называется циклическим, если
циклический сдвиг любого кодового слова из С также
принадлежит С:
 x0 
 x 
 1 
   ... 


 xn  2 
 xn 1 
  (1)
 xn 1 
 x 
 0 
  ... 


 xn  3 
 xn  2 
Замечание
• Для задания произвольного кода из 2k
слов длины n необходимо выписать
все 2k кодовых слов длины n.
• Для задания линейного кода из 2k слов
длины n достаточно выписать k
базисных слов длины n (порождающая
матрица).
• Для задания линейного циклического
кода из 2k слов длины n достаточно
выписать одно ненулевое кодовое
слово.
Реализация циклического сдвига
Циклический сдвиг реализуется с помощью
регистра сдвига длины n с обратной
связью:
x0 x1 x2
…
xn2 xn 1
Реализация циклического сдвига
Регистр сдвига на такте 1
xn 1 x0 x1
…
xn3 xn2
Регистр сдвига на такте 2
xn2 xn 1 x0
…
xn4 xn3
Представление кодовых слов в
виде кодовых многочленов
 a0 
 a 
 1 
n 1


  ...  a( x)  a0  a1 x  ... an 1 x


a
 n2 
 an 1 
Представление кодовых слов
в виде многочленов
Циклический сдвиг многочлена
a( x)  a0  a1x  ... an1x
a ( x)  an1  a0 x  ... an3 x
n 2
n2
n
(1)
 a0 x  ... an3 x
 an2 x
n 1
n1
 an2 x
n1

 an1 x (modx 1) 
 x  a( x)(modx 1)
n
n
Пример
a ( x)  1  x  x , n  7 
3
 1101000
Пример
(1  x  x )a ( x)  (1  x  x )(1  x  x ) 
1101000 
4
4
0110100 
1000110 
0011010 x  x  x
2
3
5
3
Пример
(1 x  x )a( x)  (1 x  x )(1 x  x ) 
4
4
3
 1 x  x  x  x  x  x  x  x 
4
2
5
3
4
1 x  x  x  x 
2
3
5
7
 x  x  x mod(x 1)
2
3
5
7
7
Циклический сдвиг многочлена

(i )
 an i 
a

 n i 1 
i
n


 ...  x  a( x)(modx  1)


 an  i  2 
 an i 1 
Важные теоремы
• Теорема 1. Циклический код содержит
единственный кодовый многочлен
минимальной степени.
• Теорема 2.Если g (x) – кодовый многочлен
минимальной степени, то его младший
коэффициент g0  1.
• Теорема 3.Пусть g (x)-кодовый многочлен
минимальной степени. Многочлен a(x)
является кодовым многочленом тогда и
g (x).
только тогда, когда он кратен
Порождающий многочлен
Пусть g (x) -кодовый многочлен минимальной степени,
этот многочлен называется порождающим
многочленом. Пусть степень порождающего
многочлена равна r.
Базис подпространства С (порождающая матрица):
g(x), x  g(x), x
2

 g ( x) ,..., xk 1  g ( x)
Степень порождающего многочлена
deg g ( x)  n  k
Теоремы о порождающем многочлене
• Теорема1.Порождающий многочлен
циклического кода g (x) делит без остатка
n
x
многочлен  1. .
• Теорема 2.Если некоторый многочлен g (x) степени n-k делит многочлен x n 1 без
остатка, то g (x). порождает циклический
(n,k)-код.
Кодирование
• Кодирование циклического кода –
умножение информационного
многочлена на порождающий
многочлен
Циклический (7,4)-код
• Пример.
g ( x)  1 x  x3
• (разложение x7 1  ( x 1)(1 x  x3 )(1 x2  x3 ) )
инф.сл.
кодовое сл.
0000
0000000
1000
1101000
0100
0110100
1100
•
1011100
0010
0011010
1010
1110010
0110
0101110
1110
1000110
0001
0001101
многочлен
0  g ( x)
1 g(x)
x  g(x)
(1  x)  g ( x)
x2  g(x)
(1  x 2 )  g ( x)
( x  x 2 )  g ( x)
(1  x  x 2 )  g ( x)
x3  g(x)
1001
0101
1101
0011
1011
0111
1111
Заполните самостоятельно
Циклический (7,4)-код
• Минимальный вес (7,4)-кода равен 3,
код исправляет 1 ошибку
• Это циклический код Хэмминга
Замечания (1)
•По сравнению с линейными,
циклические коды редки. Например,
существует 11 811 линейных
двоичных (7,3)-кодов, но только два
из них являются циклическими.
Замечания (2)
•Тривиальные двоичные циклические коды.
•Код без информации – код из нулевого слова.
•Код с повторением – код состоящий из двух
слов: 00…0 и 11…1.
• Код с проверкой на четность – код из слов
четного веса.
•Код без проверки – код из всех слов длины n.
•В некоторых случаях (например n = 19), не
существуют циклические коды, кроме
описанных выше четырех кодов.
Порождающая матрица
циклического кода
 1 g1 g 2

 0 1 g1
GТ   0 0 1

k n
  
 0 ... ...

...
g n  k 1
... g n  k  2
...
...
1
0
0
...
g n  k 1
...
1
g n  k 1
0
1
...
...






0
1
g1
g2
... g n  k 1
0

0


0
1 
Проверочный многочлен
циклического кода
• Так как порождающий многочлен циклического
кода g (x) делит без остатка многочлен x n 1,
то
x 1  h( x)  g ( x)
n
• Многочлен h(x) – проверочный многочлен
Проверочная матрица
циклического кода
• Всякое кодовое слово можно представить
как c( x)  a( x)  g ( x), deg a( x)  k  1
• Тогда
c( x)  h( x)  a( x)  g ( x)  h( x) 
n
 a( x)  (1  x ) 
n
 a( x)  a( x)  x
• поэтому
deg c( x)  h( x)  k  1
Проверочная матрица
циклического кода
• Поэтому коэффициенты при степенях x
старше k-1 равны 0.
• Тогда
c0  hk  c1  hk 1  ... ck  h0  0
c1  hk  c2  hk 1  ... ck 1  h0  0
c2  hk  c3  hk 1  ... ck  2  h0  0

cn  k 1  hk  cn  k  hk 1  ... cn 1  h0  0
Проверочная матрица
циклического кода
 hk

0
H  0
( n  k )n


0

hk 1
hk  2
... h1
h0
0
hk
0
hk 1
hk
... h2
... ...
h1
...
h0
h1


 


...
...
0
hk 1
hk  2
hk
0

0 ... 0 
h0 ...  

  0
... h1 h0 
0
...
Порождающий многочлен
дуального кода
h x  hk  hk 1x  ... h0 x

1
h ( x)  x  h( x )
*
k
k
Параметры циклического кода
Хэмминга
n  2m  1
• Длина кода
• Число информационных символов
k  n  m  2m  1  m
• Минимальное расстояние - 3
• Число исправляемых ошибок - 1