Transcript Презентация «Четыре замечательные точки треугольника

Презентация
«Четыре
замечательные
точки
треугольника»
Выполнила О.А.Зуева,
учитель математики
МКОУ СОШ №5
2012-13 учебный год
«Геометрия является самым
могущественным средством для
изощрения наших умственных
способностей и дает нам возможность
правильно мыслить и рассуждать»
Галилео Галилей
Свойство биссектрисы
неразвёрнутого угла
Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла
равноудалена от его сторон.
В
Дано:
Х
Е
М
М
ВАС, АХ – биссектриса,
є АХ, МЕ
АВ, МК
АС
Доказать: МЕ = МК
Доказательство.
А
К
С
Теорема 2 ( обратная).Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и
равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.
Обобщённая теорема:
биссектриса неразвёрнутого угла –
множество точек плоскости,
равноудалённых от сторон этого угла.
Серединный перпендикуляр к
отрезку
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку
равноудалена от его концов.
Р
Дано: АВ – отрезок,
М
РК – серединный перпендикуляр,
М є РК
Доказать: МА = МВ
А
К
В
Доказательство.
Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на
серединном перпендикуляре к нему.
Обобщённая теорема:
серединный перпендикуляр к отрезку –
множество точек плоскости,
равноудалённых от его концов.
Взаимное расположение
трех прямых
• Изобразите различное
расположение прямых на
плоскости.
Моделирование
• Сгибанием моделей треугольника(у
каждого ученика), построить:
• 1. Биссектрисы (I ряд)
• 2. Медианы
(II ряд)
• 3. Серединные
перпендикуляры (IIIряд)
• 4. Высоты – на доске (1 ученик).
• Сделайте вывод.
• О чем пойдет речь на уроке?
медианы
Четыре
замечательные
точки
треугольника
серединные перпендикуляры
биссектрисы
высоты
Первая замечательная точка
треугольника
Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
(ИНЦЕНТР)
В
М
У
О
Дано:
Р
Е
АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы,
О - точка их пересечения
Доказать: СУ – биссектриса
АВС, О є СУ
С
А
Доказательство:
Т К
АЕ – биссектриса и ОМ
АВ, ОК
значит, ОМ = ОК
ВТ – биссектриса, и ОМ
АВ, ОР
АС,
ВС, значит, ОМ = ОP
Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно,
О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС.
Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника.
Точка пересечения
биссектрис треугольникацентр вписанной окружности
•
инцентр
№684 (стр180)
C
Дано: АВС-равнобедренный треугольник.
АА1,ВВ1-биссектрисы углов при основании АВ.
АА1иВВ1 пересекаются в т. М.
A1
B1
Доказать: СМ перпендикулярна АВ.
M
А
О
Доказательство.
B
№678а
С
В1
М
А
А1
Дано:
Треугольник АВС,
М-точка пересечения
биссектрис АА1и ВВ1.
<AMB = 1360.
В Найти: <ACM, <BCM.
Решение:
Вторая замечательная точка
треугольника
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке - центр описанной окружности
В
k
Дано:
p
О
А
АВС, k,n – серединные
перпендикуляры к сторонам
треугольника,
О – точка их пересечения
Доказать: р – серединный
перпендикуляр к ВС, О є р
С
Доказательство:
n
n – серединный перпендикуляр к АС и О є n, значит, ОА = ОС.
k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ.
Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном
перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р.
Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p.
Вторая замечательная точка
треугольника (продолжение)
Ещё возможное расположение:
Точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника -
центр описанной окружности
Задача № 680.
В
Дано: АВС, АМ = ВМ, МD AB,
AK = KC, DK AC, D є BC.
D
М
Доказать: D - середина ВС,
А = В + С.
1
А
2
С
К
а)
АМ = ВМ, МD
AK = KC, DK
Доказательство:
AB, D є BC по условию, значит, ВD = AD
BD = DC,
AC, D є BC по условию, значит, AD = DC
следовательно, D – середина ВС.
б) По доказанному ВD = AD и AD = DC, значит, треугольники АВD
и АСD – равнобедренные, поэтому
ВАС =
1+
2=
В+
1=
В,
С, что и т. д.
2=
С.
Физкультминутка
Третья замечательная точка
треугольника
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от
вершины.
(центр тяжести треугольника – центроид)
В
Дано:
Р
О
АВС, AM,ВК,СР - медианы
Доказать: АМ  ВК СР = О
М
Доказательство проведено ранее:
задача 1 п. 62.
А
К
С
Четвёртая замечательная точка
треугольника
Теорема. Высоты треугольника или их продолжения
пересекаются в одной точке(ортоцентр).
В
В
А
К
Н
М
А
О
Н
К
А
С
М
С
С(К,Н,О)
М
В
О
Дано:
АВС, АК, ВН, СМ - высоты
Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.
№103
тетрадь на печатной
основе
Проверочный тест
(у каждого ученика
по вариантам)
Проверка
I вариант
№1.
№2.
№3.
№4.
№5.
2
2
1
2
1
Проверка
II вариант
№1.
№2.
№3.
№4.
№5.
2
1
2
2
1
Дома: №678б,
№681,
п.72-73,
сообщение о прямой Эйлера,
окружности 9-ти точек.
Синквейнпятистрочное стихотворение
1 строчка –1 существительное, выражающее главную тему,
2 строчка – 2 прилагательных, выражающих главную тему,
3 строчка – 3 глагола, описывающие действия в рамках темы,
4 строчка – фраза, несущая определенный смысл (по теме),
5 строчка – заключение в форме существительного
(ассоциация с первым словом)
Дополнительное задание
Теорема о малоизвестном свойстве
биссектрисы треугольника
Пусть биссектрисы АL1,ВL2,СL3 треугольника
АВС пересекаются в точке О, тогда
АО/ОL1=(в+с)/ а, ВО/ОL2=(а+с)/в, СО/ОL3=(а+в)/с
Доказательство.
А
в
С
х
L2
О
L1 а
Из №535 : Биссектриса угла
треугольника делит противоположную
с
сторону на отрезки, пропорциональные
L3
прилежащим сторонам
треугольника.
Обозначим стороныВС=а, СА=в, АВ=с.
В Пусть СL1=x, тогда ВL1=а-х.
Прямая Эйлера
Окружность девяти точек,
окружность Фейербаха,
окружность Эйлера