Transcript 슬라이드 파일
파생금융상품(Option Market) - 외환관리사 2종 과정 - 제일은행 자금부 대리 신 종 찬 ([email protected]) Prologue 본 슬라이드에서는 옵션에 대한 개략적인 내용을 소개하였습니다. 본 과정은 외환관리사 2종 준비 과정이므로, 1회~6회의 기출 문제풀이 및 예제 문제는 별 도 소개해 드리겠습니다. 아래 웹 URL에 11월 말 이전에 게시하도록 하겠습니다. http://vols.com.ne.kr/fxkorea5.html 참고하시기 바랍니다. - 편집자 주- 2 Introductions to Option Option 이란… Definition : 금융자산을 사전에 약정한 가격(행사가격, Strike Price)으로 미래에 매입(Call) 또는 매도 (Put)할 수 있는 권리(Option)의 매매(Buy or Sell). 권리보유자(매입자)는 시장상황에 따라 권리를 행사하거나 포기할 수 있음. 옵션매입자(Holder, Long)는 권리를 가지는 대신 대가(Premium)를 지급하며, 옵션매도자(Writer, Short) 는 대가를 받는 대신 옵션 행사에 따른 의무를 가진다(리스크 부담). P/L KRW Receivable 1,200 Fwd, 9M Option, 9M 1,250 1,300 USD/KRW 3 Introductions to Option (Cont’d) Glossary Call Options : Give the holder (buyer) the right, but not the obligation, to BUY the underlying asset from the writer (seller) by a given time at a given price Put Options : Give the holder the right, but not the obligation, to SELL the underlying asset to the writer by a given time at a given price Maturity : The “given time” is called the Expiration or Maturity date Strike : The “given price” is called the Strike or Exercise price European : An option that can be exercised only at the end of its life American : An option that can be exercised at any time during its life. Cash Option : Spot position or cash is delivered when option is exercised. Future Option : When option is exercised, financial futures contracts is settled. Premium : Option contract is a kind of financial assets, and its price movement depends on its undelying assets.Therefore, premium is the price of financial assets.That is, the price paid by the buyer of the options Option Value = Intrinsic Value + Time Value 1)Intrinsic Value: Profit an Option Holder would make from exercising the option immediately, i.e., Difference Between Exercise Price and Price of the Underlying 2)Time Value: Value of Being able to Postpone Decision to Exercise. This is, the expected increase in the option’s intrinsic value in the remaining life of the option. 4 Introductions to Option (Cont’d) Plain Vanilla Option의 Risk Profile at Maturity Long a Call -PREMIUM +PREMIUM Short a Call Long a Put -PREMIUM +PREMIUM Short a Put 5 Introductions to Option (Cont’d) 옵션거래의 동기 일반적인 목적 : 환율위험을 헤지 환율방향에 대한 레버리지거래 환율 변동성에 대한 거래 포트폴리오의 위험형태를 변형시킴 옵션 vs. 선물환 : Flexibility 현물환 혹은 선물환 거래에서는 매입자, 매도자 모두 계약 만기에 상호 결제하여야 하는 의무가 있지 만, 옵션거래에서는 매입자는 결제이행을 청구할 권리를 갖는 반면 의무는 지지않으며, 매도자는 결 제이행의 의무가 있음. The forward contract exactly matches the existing FX position : There is neither risk of loss nor potential for gain. The option locks in the worst case at the premium paid and leaves the option holder with a potential unlimited gain in case of favorable spot moves. 6 Introductions to Option (Cont’d) CASE 1: 환리스크의 선택적 Hedge S석유의 자금담당자는 3개월후 지급할 U$표시 수입대금에 대한 환리스크를 Hedge하고자 하나, 현재 의 U$/Won환율이 상당히 높은 상태이고 달러가 하락세로 접어드는 경우 큰폭의 하락이 가능하다고 생각하고 있다. 지속적인 달러 상승(Won하락)의 리스크를 피하면서도 대세 전환에 따른 이익을 기대 할 수 있는 Hedge 방법은 무엇인가? 또 그와 같은 Hedge를 실시한 후의 Risk Profile은? U$/Won 7 Introductions to Option (Cont’d) Buy U$-Call (Won-Put) Option + Initial Exposure Call Option 매입 = Covered Exposure = Insured Receipt = Long Put Option 8 Introductions to Option (Cont’d) CASE 2: 우발적 환리스크의 Hedge D 건설의 미국지사는 알제리 정부가 주관하는 발전소 공사에 응찰하고자 한다. 공사대금은 공사개 시후 1년후에 전액 FFR로 지급되며 D 건설이 본공사를 수주할 확율은 50% 정도이다. 공사의 Margin 이 크지않아 관련된 환리스크를 Hedge하여야 하는데 알제리 정부의 bidding process는 통상 3개월이 걸린다. D 건설 자금부의 입장에서는 Hedge를 하지 않고 수주하였을 때의 환리스크와 Hedge를 하였으나 수 주하지 못했을 때의 리스크를 모두 고려하여야 하는 것이 문제이다. D 건설이 산정한 수주의 확율이 정확하다면 선물환으로 Hedge가 가능한가? 수주 여부와 관계없이 환리스크를 Hedge할 수 있는 방법은? 9 Introductions to Option (Cont’d) 선물환 Hedge의 문제점 50%의 수주확율에 따라 입찰금액의 50% 선물환 Hedge가 합리적이기는 하지만, 만기가 가까와 짐에 따라 수주의 확률은 점차 0 또는 100%에 접근할 것임 (지속적인 Hedge금액의 변경 필요) 통화옵션에 의한 Hedge U$-Call(Ffr-Put) Option 수주 시 U$/Ffr 수주하지 못할 경우 10 Introductions to Option (Cont’d) CASE 3: Zero-cost Options Buy 1242 U$ Call with Paying 3% premium, and Sell 1180 U$ Put with Receiving 3% premium. Forward Risk Reversal 1180 1210 1242 옵션의 장점은 불리한 방향만을 Hedge 옵션의 단점은 Premium의 지급 수개의 옵션을 매입/매도함으로써 Zero-premium 옵션을 창출 가능 옵션매입에 따른 지급 Premium = 옵션매도에 따른 수입 Premium 옵션의 최대장점은 어떠한 형태의 Risk Profile도 구성할 수 있는 Flexibility에 있음 --> 가장 효과적인 Financial Engineering Tool 11 Introductions to Option (Cont’d) Option의 가치 Option Value = 시간가치 (Time Value) + 내재가치 ( Intrinsic Value) Value of (Call) Option at Maturity : C = max ( S - X, 0 ) Option Value(a+b) Time Value(a) Intrinsic Value(b) (S-X) 0 K(Strike) OTM ATM S(Spot) ITM 12 Introductions to Option (Cont’d) Intrinsic Value(내재가치) 내재가치(S-X)란 행사가격과 선물환율과의 차이이다. 개념적으로 내재가치는 “0”과 같거나 크다. 30 25 20 P / L 15 10 5 0 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400 1,450 Spot 13 Introductions to Option (Cont’d) Time Value(시간가치) 시간가치는 옵션가치에서 내재가치를 뺀 가치이다. 즉, Time value= Option Value-Intrinsic Value. 시간가치는 미래의 불확실한 잠재적인 이익에 대한 Premium을 지불하는 것이다. 시간가치는 ATM에서 최대가 된다. 일년 후에 1불에 800원 혹은 2,000원이 될 가능성? 8.00 7.00 6.00 5.00 P / L 4.00 3.00 2.00 1.00 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400 1,450 Spot 14 Introductions to Option (Cont’d) Option가격 결정요소 Spot price (S) Strike price (X) Time to expiration ( Maturity, say 182days...) Volatility of underlying () Risk-free interest rate (r, rf) For USD/KRW, r= KRW, rf= USD Option가격 결정요인별 가격분석 CALL PUT 현물환율 (S) + - 행사가격 (X) - + Volatility () + + Interest Rate (r) + +/- Time to Mature (T) + + 15 Financial Variables’ Movement Process of Stock Price 충분히 짧은 시간(t)의 주가의 변화분(S)은 기대수익률()과 시간(t)의 곱 만큼이고, S St 시간(t)이 0의 극한값으로 작아질 때, 다음 식이 성립한다. dS Sdt dS dt S S T S 0 e T 그리고, 주가(S)가 의 변동성을 갖고 움직일 때, 아래와 같은 식이 성립한다. dS Sdt Sdz dS dt dz S S t t S S ~ ( t , t ) S 16 Financial Variables’ Movement (Cont’d) 환율 Simulations (Cont’d) Simulating a Price Path (Single Path) 1,500.00 1,450.00 1,400.00 1,350.00 1,300.00 1,250.00 1,200.00 1,150.00 1,100.00 1,050.00 96 10 4 11 2 12 0 12 8 13 6 14 4 15 2 16 0 16 8 17 6 18 4 19 2 20 0 20 8 21 6 22 4 23 2 24 0 24 8 88 80 72 64 56 48 40 32 8 16 24 0 1,000.00 17 Financial Variables’ Movement (Cont’d) 환율 Simulations (Cont’d) Simulated Price Distribution(200 Trials) Frequency 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 90 1, 0 86 1, 0 82 1, 0 78 1, 0 74 1, 0 70 1, 0 66 1, 0 62 1, 0 58 1, 0 54 1, 0 50 1, 0 46 1, 0 42 1, 0 38 1, 0 34 30 1, 0 26 1, 0 22 1, 0 0 18 1, 1, 0 14 1, 0 10 1, 0 06 1, 0 02 1, 0 98 94 90 0 0 Final Price 18 Financial Variables’ Movement (Cont’d) Lognormal Property of Stock price 일반적으로 주가는 Lognormal분포를 따르기 때문에 다음과 같은 식이 성립한다. ln ST ln S 0 ~ [( 2 2 )T , T ] ST 2 ln ~ [( )T , T ] S0 2 ln ST ~ [ln S 0 ( 2 2 )T , T ] 여기서,lnS는 평균이 (-2/2)이고, 표준편차가 T 인 정규분표를 보임을 알 수 있다. 19 Volatility Volatility의 의미 High volatility means you have higher change(probability) to win the option at the maturity, so, other things being equal, the premium also much expensive. Spot USD Call Lower Volatility Higher Volatility 900 1100 1200 1300 1500 20 Volatility (Cont’d) High volatility equals high premium but nobody can calculate the future volatility Types of volatilities Futures volatility Historical volatility Implied volatility 과거 Historical Vol. 현재 미래 Implied Vol. Futures Vol. Volatility smile Risk Reversal Volatility smile is not always uniform in both directions. To reflect the preference for upside or downside protection 21 Volatility (Cont’d) Volatility & Time value An increase in volatility does not affect the intrinsic value of an option, but does have an interesting effect on the time value of an option. The time value of a one-year European call with a strike of Y100 calculated for a range of spot prices at different volatility levels result in the above curve. For any ATM option, an increase in volatility will proportionately increase its time value 80 70 20% Vols. 60 50 15% Vols. P / L 40 30 20 10% Vols. 10 0 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400 1,450 Spot 22 Volatility (Cont’d) Historical Volatility 구하기 과거의 특정기간 동안의 시장가격을 자연로그 (Natural Log, Ln)의 변화율(일중 로그수익률)로 구한 후 그 값에 대한 표준편차를 구하는 것. Monthly Volatility: (Daily Data 사용 시) 1Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 21일간의 표준편차)* 252 2Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 42일간의 표준편차)* 252 3Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 63일간의 표준편차)* 252 1year :252 영업일 재무계산에서의 로그수익률사용 단순수익률(Simple yield : {V2-V1} / V1)의 단점 : 예를 들어, 매년 말 자산가치가 100, 120, 100으로 변한다면, 매년의 단순 수익률은 20%, -16.7%일 것이다. 이 경우 단순 수익률의 합은 +3.3%가 된다. 그렇지만, 우리는 직관적으로 수익이 없음을 알 수 있다. 로그수익률(Logarithm yield : Ln(V2/V1) )의 경우 수익률은 18.23%, -18.23%로 수익률의 합은 0임을 알 수 있다. 재무계산에서는 이러한 오류와 계산의 편의를 위해 로그수익률을 사용한다. Ln(V2/V1) + Ln(V3/V2) + ….. + Ln(Vn/Vn-1) = Ln(V2/V1 * V3/V2 * ….. * Vn/Vn-1) = Ln(Vn/V1) 23 Volatility (Cont’d) Historical Volatility 구하기(Cont’d) A Date 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1-Jan-01 2-Jan-01 3-Jan-01 4-Jan-01 5-Jan-01 8-Jan-01 9-Jan-01 10-Jan-01 11-Jan-01 12-Jan-01 15-Jan-01 16-Jan-01 17-Jan-01 18-Jan-01 19-Jan-01 22-Jan-01 23-Jan-01 24-Jan-01 25-Jan-01 26-Jan-01 29-Jan-01 30-Jan-01 31-Jan-01 1-Feb-01 2-Feb-01 5-Feb-01 6-Feb-01 B MID 1262.4 1276.4 1270.8 1261 1263.5 1265.5 1255.2 1266.8 1278.1 1281.5 1285.5 1282.8 1277.5 1284 1277.5 1274.2 1274.5 1273 1274 1280.2 1264 1265.5 1259.2 1257.5 1249.3 1262.5 1257.3 C D LN(S t/S t-1 ) Hist. Vol. 1W 0.01103 (0.00440) (0.00774) 0.00198 0.00158 (0.00817) 0.00920 0.00888 0.00266 0.00312 (0.00210) (0.00414) 0.00508 (0.00508) (0.00259) 0.00024 (0.00118) 0.00079 0.00485 (0.01274) 0.00119 (0.00499) (0.00135) (0.00654) 0.01051 (0.00413) E 1M =LN(B4/B3) 11.40% 7.79% 11.66% 11.24% 11.22% 11.17% 7.53% 8.06% 6.14% 7.14% 6.36% 6.50% 6.00% 3.75% 4.45% 10.50% 10.62% 10.91% 10.65% 8.46% 10.68% 10.90% =STDEV(C4:C8)*SQRT(252) =STDEV(C4:C24)*SQRT(252) 9.54% 8.82% 8.72% 8.61% 9.38% 9.47% 24 Volatility (Cont’d) Volatility Quotation 25 Volatility (Cont’d) U$/Won 3Month Historical, Implied & Future Volatility 16.00% 14.00% 12.00% 10.00% 8.00% 6.00% 4.00% 2.00% Hist. Vol. Imp. Vol. Sep-02 Aug-02 Jul-02 Jun-02 May-02 Apr-02 Mar-02 Feb-02 Jan-02 Dec-01 Nov-01 Oct-01 Sep-01 Aug-01 Jul-01 Jun-01 May-01 Apr-01 Mar-01 Feb-01 Jan-01 0.00% Future Vol. 26 Option Valuation by Binomial Trees Theoretical Option Value Sum of Expected Values = Sum of probability * expected price change Binomial P/L 104 (1)0.5*4=Y2 (+Y4) Y100 (-Y4) Expected Value for USD Call: = Y2+ 0= Y2 96 (2)0.5*0=0 27 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) Binomial Tree The binomial tree displays an asset’s potential price outcomes and the probability of occurrence associated with each specific time intervals. Assumption: There is 50:50 chance price will be moved by $1 Binomial Tree 101 (1/2) 100 99 (1/2) 102 (1/4) 100 (1/2) 98 (1/4) 103 (1/8) 101 (3/8) 99 (3/8) 97 (1/8) 104 (1/16) 105 (1/32) 102 103 (5/32) 100 101 (5/16) 98 99 (5/16) 97 (5/32) 96 (1/16) 95 (1/32) 28 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) Binomial Tree & Option The binomial tree is useful for visualizing how different variables affect options pricing All values above(Below) the strike price line represent outcomes that would produce a payoff for a Call (Put)option 105 104 103 102 Buy U$ Call 101 101 103 102 100 101 100 100 (Spot) 99 99 99 98 Strike Y98 98 97 97 96 t1 t2 t3 t4 t5 T 95 29 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) Theoretical Value = Sum of MAX(0,Si-K) * Probability = (Y7*1/32)+(Y5*5/32)+(Y3*5/16)+(Y1*5/16)+(0*5/32)+(0*132)= Y2.25 Given a time t1~T European call option with a strike price of Y98, P/L the theoretical value of this call is Y2.25 104 Option Value 103 102 101 100 (Spot) 101 100 102 Strike Y98 98 99 (5/16) Y1 96 t3 t4 Y5 Y3 98 t2 103 (5/32) 101 (5/16) 97 t1 Y7 100 99 99 105 (1/32) t5 97 (5/32) 95 T (1/32) 0 0 30 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) Concept of Binomial Option Valuation Method (No-arbitrage approach) 주식이 양 만큼과 옵션포지션(Short Call)으로 구성된 포트폴리오(위험-중립 포지션: 기초자산의 가 격변동에 따른 포트폴리오의 가치변화가 없음)의 가격변화는 다음 그림과 같을 것임. ΔSu -fu ΔS -f ΔSd -fd 주가가 변할 경우 위험-중립 포트폴리오 이므로, 아래와 같은 식이 성립할 것이다. S0u f u S0 d f d , fu f d S 0u S 0 d 무위험 수익률을 r이라 한다면, 포트폴리오의 현재가치는 (S0u fu )erT 혹은 S0 - f 이다. S 0 f ( S 0u f u )e rT f S 0 ( S 0u f u )e rT or, e rT [ pfu (1 p) f d ] 31 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) 변동성을 감안한 이항모델의 일반화 (Risk neutral approach) 위험중립적인 투자가가 향후 주가가 p(위험중립확률: Risk neutral probability)의 확률로 상승하거나 (1-p)의 확률로 하락할 것으로 가정한다면, 이항모델의 1구간 후의 주식가격은 다음과 같다. pS 0u (1 p ) S 0 d S 0 e rt e rt pu (1 p )d 한편, 충분히 적은 기간 동안의 주가의 분산을 살펴보면(분산 = E(x2)- E(x)2), pu2 (1 p)d 2 [ pu (1 p)d ]2 2t 아래와 같이 요약될 수 있다. ert (u d ) ud e2rt ert ue t ,d e t ,u 1 d 만약 여기에 가정을 하면, 위의 식을 만족하면서 다음과 같을 결과 가 도출될 것(Cox, Ross, Rubinstein 1979년)이고, 옵션 가격도 계산될 것임. e rt d p ud f erT [ pfu (1 p) f d ] 32 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) 변동성을 감안한 이항모델의 일반화(Risk neutral approach) (Cont’d) 이항을 일반화 시켰을 때, 향후 주가의 움직임은 다음과 같고, SuN-1d0 fN-1,N-1 그때의 옵션가치는 그림과 같이 표현될 것임. 3 0 Su d f3,3 ~~ ~~ 2 0 Su d f2,2 1 0 S f Su d f1,1 Su0d1 f1,0 Su1d1 f2,1 Su0d2 f2,0 f N , j max(S0u j d N j X ,0) or SuN-1d1 fN-1,N-2 ~~ Su2d1 f3,2 SuN-1d1 fN, N-1 SuN-2d2 fN,N-2 ~~ SujdN-j fN,j Su1d2 f3,1 Su0d3 f3,0 Suj-1dN-j-1 fN-1,j-1 Suj-1dN-j+1 fN,j-1 ~~ ~~ ~~ 이때 각 이항에서의 옵션가격은 다음과 같이 표현될 수 있음. SuNd0 fN,N ~~ Su0dN-1 fN,1 Su0dN fN,0 fi, j e rt [ pfi 1, j 1 (1 p) f i 1, j ] specially,AmericanOption fi, j max{S0u j d i j X , e rt [ pfi 1, j 1 (1 p) f i 1, j ]} 33 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) 이항모델의 통화옵션 적용 배당이 없는 주식에서와 마찬가지로, 무위험 수익률 r대신 r-rf의 수익을 보이므로, 다음과 같은 관계가 성립한다. pS0u (1 p ) S 0 d S 0 e ( r rf ) t e ( r rf ) t pu (1 p )d e ( r rf ) t (u d ) ud e 2 ( r rf ) t 2 t a e ( r rf ) t 따라서 통화옵션의 경우도, 주식과 마찬가지로 이항모델을 이용하여 옵션가격을 산출할 수 있다. 단, 통화옵션의 할인계수가 Exp(-rt)임을 유의해야 한다. 34 Binomial Option Pricing Example I (Call Option) Option pricing of Non-dividend stock 현재 주가가 $100이고, 1개월간 5.00%상승하거나 5.00%하락이 예상된다면, 2개월 행사가격 $100인 콜옵 션 가격은 얼마인가? 단, 무위험 수익률은 연속복리로 년 6%로 가정하고, 2기간으로 Pricing하면… 무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach) 1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950 fu의 경우, Δ= f uu f ud $10.25 $0 0.9762 S1u S1d $110.25 $99.75 Δ*$105 – fu = 0.9950 * (Δ*$110.25-$10.25) fu = $ 5.6118 fd의 경우, Δ= f ud f dd $0 $0 0, S1u S1d $99.75 $90.25 $100 f =3.0725 $110.25 fuu=$10.25 $105 fu =5.6118 $95 fd =0 $99.75 fud=$0 $90.25 fdd=$0 Δ*$95 – fd = 0.9950 * (Δ*$99.75-$0) fd = $0 f의 경우, Δ= fu f d $5.6118 $0 0.56118 , Δ*$100 – f = 0.9950 * (Δ*$105-$5.6118) S 0u S 0 d $105 $95 f = $3.0725 35 Binomial Option Pricing Example I (Call Option) Risk-neural probability에 의한 가격산정 1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950 e rt d e 6% /12 0.95 p 0.550125 ud 1.05 0.95 fu의 경우, fu = 0.9950*(0.550125*$10.25+(1-0.550125)*$0)=$5.6106 fd의 경우, fd = 0.9950*(0.550125*$0+(1-0.550125)*$0)=$0 f의 경우, $110.25 fuu=$10.25 f = 0.9950*(0.550125*$5.6106+(1-0.550125)*$0) = $3.0711 가격차이는 P값의 계산과정에서 발행 $100 f =3.0711 $105 fu =5.6106 $95 fd =0 $99.75 fud=$0 $90.25 fdd=$0 36 Binomial Option Pricing Example II (Put Option) Option pricing of Non-dividend stock 현재 주가가 $100이고, 1개월간 5.00%상승하거나 6.00%하락이 예상된다면, 2개월 행사가격 $100인 풋 옵션 가격은 얼마인가? 단, 무위험 수익률은 연속복리로 년 6%로 가정하고, 2기간으로 Pricing한다면… 무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach) 1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950 fu의 경우, f uu f ud $0 $1.3 Δ= 0.11255 S1u S1d $110.25 $98.7 Δ*$105 – fu = 0.9950 * (Δ*$110.25-$0) fu = $ 0.52884 $100 f =2.5485 fd의 경우, Δ= $110.25 fuu=$0 $105 fu =0.52884 $94 fd =5.5 f ud f dd $1.3 $11.64 1 , Δ*$94 – fd = 0.9950 * (Δ*$98.7-$1.3) S1u S1d $98.7 $88.36 $98.7 fud=$1.3 $88.36 fdd=$11.64 fd = $5.5 f의 경우, Δ= fu f d $0.52884 $5.5 0.45192 , Δ*$100 – f = 0.9950 * (Δ*$105-$0.52884) S 0u S 0 d $105 $94 f = $2.5485 37 Binomial Option Pricing Example II (Put Option) Risk-neural probability에 의한 가격산정 1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950 e rt d e6% /12 0.94 p 0.5910 ud 1.05 0.94 fu의 경우, fu = 0.9950*(0.5910*$0+(1-0.5910)*$1.3)=$0.5290 fd의 경우, fd = 0.9950*(0.5910*$1.3+(1-0.5910)*$11.64)=$5.5014 f의 경우, $110.25 fuu=$0 f = 0.9950*(0.5910*$0.5290+(1-0.5910)*$5.5014) = $2.5498 가격차이는 P값의 계산과정에서 발행 $100 f =2.5498 $105 fu=0.5290 $94 fd =5.5014 $98.7 fud=$1.3 $88.36 fdd=$11.64 38 Binomial Option Pricing Example III (Currency Option) Pricing of Currency Option 현재 달러/원 환율이 달러당 1,200원이고, 달러화 3개월 금리가 2.0%이고, 원화 3개월 금리가 5.0%일 때 행사가격이 1,200원인 3개월 미국식 달러 풋 옵션의 가격은 얼마인가? 단, 매월 달러/원 환율이 50 원씩 상승하거나 하락한다고 할때 3기간에 대한 옵션 가격을 구하면… 무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach) 1개월 간의 할인율 = exp(-5%*1/12)=0.99584 fuu의 경우, 1,350 fuuu=0 f uuu f uud 00 0 Δ= S 2u S 2 d 1,350 1,250 Δ*1,300 – fuu = 0.99584 * (Δ*1,350- 0) fuu = 0 fud의 경우, Δ= f uud f udd 0 50 0.5 1,200 S 2u S 2 d 1,250 1,150 f Δ*1,200 – fud = 0.99584 * (Δ*1,250- 0) fud = 22.4 fdd의 경우, f f 50 150 udd ddd 1 Δ= S 2u S 2 d 1,150 1,050 Δ* 1,100 – fdd = 0.99584 * (Δ* 1,150 - 50) 1,300 fuu =0 1,250 fu 1,150 fd 1,200 fud =22.4 1,100 fdd =100 1,250 fuud=0 1,150 fudd=50 1,050 fddd=150 fdd = 95.008, => fdd = 100 39 Binomial Option Pricing Example III (Currency Option) 무위험 차익거래에 의한 가격산정 (Cont’d) fu의 경우, Δ= f uu f ud 0 22.4 0.2240 S1u S1d 1,300 1,200 1,300 fuu=0 Δ*1,250 – fu = 0.99584 * (Δ*1,300- 0) fuu = 9.989 fd의 경우, Δ= 1,350 fuuu=0 1,200 f =31.113 f ud f dd 22.4 100 0.776 S1u S1d 1,200 1,100 Δ*1,150 – fd = 0.99584 * (Δ*1,200- 22.4) 1,250 fu =9.989 1,250 fuud=0 1,200 fud=22.4 1,150 fd =57.233 1,100 fdd=100 1,150 fudd=50 1,050 fddd=150 fud = 57.233 f의 경우, Δ= fu f d 9.989 57.233 0.47244 S 0u S 0 d 1,250 1,150 Δ* 1,200 – f = 0.99584 * (Δ* 1,250 -9.989) f = 31.113 40 Binomial Option Pricing Example IV (Currency Option) 이항모델을 이용한 풋 옵션 가격계산(Excel에 의한 계산) 환율(So)=1,200 1,356.32 0.00 행사가격(X)=1,200 1,302.07 0.00 원화금리(r)=5% 1,249.99 10.95 달러금리(rf)=2% 변동성=14.14% 기간=3개월(0.25) 이항갯수(N)=3 (t=0.08333) 1,200.00 32.80 1,249.99 0.00 1,200.00 22.92 1,152.00 56.80 할인계수=0.99584 1,152.00 48.00 1,105.93 94.07 성장계수(a)=1.0025 1,061.69 138.31 상승확률(p)=0.52045 u=1.04166 d=0.96000 • 22.92 = Max[(1200-1200) , 0.99584 * (0.52045*0 + (1-052045) * 48)] • 94.07 = Max[(1200-1105.93) , 0.99584 * (0.52045* 48 + (1-052045) * 138.31) ] • 10.95 = Max[(1200-1249.99) , 0.99584 * (0.52045*0 + (1-0.52045) *22.92) ] • 56.80 = Max[(1200-1152.00) , 0.99584 * (0.52045 * 22.92 + (1-0.52045) * 94.07) ] • 32.80 = Max[(1200-1200) , 0.99584 * (0.52045 * 10.95 + (1-0.52045)*56.80) ] 41 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code 엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Binomial Tree를 이용한 통화옵션 가격산정 Function Binomial_European(S, X, Sday, Mday, Vol, r, rf, Call_Put, N) Dim St(0 To 200, 0 To 200) As Double Dim optlet_price(0 To 200, 0 To 200) As Double tau = (Mday - Sday) / 365 dt = tau / N u = Exp(Vol * Sqr(dt)) d=1/u a = Exp((r - rf) * dt) b = Exp(-r * dt) P = (a - d) / (u - d) For i = 0 To N For j = 0 To i St(i, j) = S * u ^ j * d ^ (i - j) Next j Next i For j = 0 To N If (Call_Put = "Call") Then optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(N, j) - X, 0) Else optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(N, j), 0) End If Next j For i = N - 1 To 0 Step -1 For j = 0 To i optlet_price(i, j) = (P * optlet_price(i + 1, j + 1) + (1 - P) * optlet_price(i + 1, j)) * b Next j Next i Binomial_European = optlet_price(0, 0) End Function 42 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code (Cont’d) 엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Binomial Tree를 이용한 통화옵션 가격산정 Function Binomial_American(S, X, Sday, Mday, Vol, r, rf, Call_Put, N) Dim St(0 To 200, 0 To 200) As Double Dim optlet_price(0 To 200, 0 To 200) As Double tau = (Mday - Sday) / 365: dt = tau / N u = Exp(Vol * Sqr(dt)): d=1/u a = Exp((r - rf) * dt): b = Exp(-r * dt) P = (a - d) / (u - d) For i = 0 To N For j = 0 To i St(i, j) = S * u ^ j * d ^ (i - j) Next j Next i For j = 0 To N If (Call_Put = "Call") Then optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(N, j) - X, 0) Else: optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(N, j), 0) End If Next j For i = N - 1 To 0 Step -1 For j = 0 To i optlet_price(i, j) = (P * optlet_price(i + 1, j + 1) + (1 - P) * optlet_price(i + 1, j)) * b If (Call_Put = "Call") Then optlet_price(i, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(i, j) - X, optlet_price(i, j)) Else: optlet_price(i, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(i, j), optlet_price(i, j)) End If Next j Next i Binomial_American = optlet_price(0, 0) End Function 43 Black-Scholes Model Black-Scholes Option Pricing Model Fisher Black, Myron Scholes, & Robert Merton, 1973 Nobel Prize for economics, 1997 기본가정 주가는 일정한 평균과 변동성을 가지며 로그분포를 보인다. 주가의 공매가 완전한 상태이고, 세금과 거래비용이 없다. 만기까지 배당이 없으며, 무위험 차익거래의 기회가 없다. 무위험 수익률은 만기까지 일정하며, 거래가 연속적이다. 유럽식 Call 옵션가격 위의 가정이 성립할 때, 무배당 주식의 유럽식 옵션 가격은 다음과 같다. c e rT E[max(ST X ,0)] e rT [ E ( ST ) N (d1) XN (d 2)] e rT [ S 0 e rT N (d1) XN (d 2)] S 0 N (d1) Xe rT N (d 2) ln(S 0 e rT / X ) 2T / 2 ln(S 0 / X ) (r 2 / 2)T d1 T T ln(S 0 e rT / X ) 2T / 2 ln(S 0 / X ) (r 2 / 2)T d2 T T 44 Black-Scholes Model (Cont’d) 유럽식 Put 옵션 가격 p e rT E[max(X ST ,0)] e rT [ XN (d 2) E ( ST ) N (d1)] e rT [ XN (d 2) S 0 e rT N (d1)] Xe rT N (d 2)] S 0 N (d1) Key Result E[max(F X ,0)] E ( F ) N (d1) XN (d 2) ln[E ( F ) / X ] s 2 / 2 d1 s ln[E ( F ) / X ] s 2 / 2 d2 s Key Result의 증명 E[max(F X ,0)] ( F X ) g ( F )dF, g ( F ) pdf .of .F X 이때, 아래와 같이 가정하고, ln F m m ln[E( F )] s / 2 s H(Q)는 Q에 대한 확률밀도함수 일 때, 2 h(Q) 1 Q 2 / 2 e 2 Q 45 Black-Scholes Model (Cont’d) Key Result의 증명 (Cont’d) E[max(F X ,0)] (ln X m ) / s (e Qs m X )h(Q)dQ e m s 2 /2 (ln X m ) / s h(Q s )dQ X (ln X m ) / s h(Q)dQ e m s / 2 {1 N [(ln X m) / s s ]} X {1 N [(ln X m) / s ]} 2 e m s e 2 /2 m s 2 / 2 N [( ln X m) / s s ] XN[( ln X m) / s ]} ln[E ( F ) / X ] s 2 / 2 ln[E ( F ) / X ] s 2 / 2 N[ ] XN[ ] s s e m s / 2 N [d1] XN[d 2] E ( F ) N [d1] XN[d 2] 2 m (lnF-m)/s e sQ m h(Q) e sQ m * 1 Q 2 / 2 1 ( Q 2 2 sQ 2 m) / 2 e e 2 2 1 ( (Q S )2 s 2 2 m) / 2 e m s / 2 ( (Q S )2 ) / 2 e e 2 2 2 46 Black-Scholes Model (Cont’d) Black-Scholes 통화옵션식의 도출 환율 또한 주가와 같이 GBM을 따르고, 위험-중립적이라면, 아래와 같은 식이 성립한다. dS (r rf )Sdt Sdz 환율은 연속복리 배당(q)을 하는 주가와 동일하므로, S0 대신 S0 Exp(-qT) 혹은 S0 Exp(-rf*T)를 대입한 것과 동일하다.(달러/원 환율의 경우 rf는 달러화 금리) 앞서, Black-Scholes는 아래의 왼쪽 식과 같았으므로, 오른쪽의 유럽식 통화옵션 가격식이 도출된다. c S 0 N (d1) Xe rT N ( d 2) p Xe rT N ( d 2) S 0 N ( d1) ln(S 0 / X ) (r / 2)T T ln(S 0 / X ) (r 2 / 2)T d2 T d1 2 c S 0 e rfT N (d1) Xe rT N (d 2) p Xe rT N (d 2) S 0 e rfT N (d1) ln(S 0 / X ) (r rf 2 / 2)T d1 T ln(S 0 / X ) (r rf 2 / 2)T d2 T 47 Black-Scholes Model (Cont’d) Put-Call Parity 유럽식 콜옵션과 풋 옵션간에는 아래와 같은 관계가 성립한다. 즉 Call매입과 Put 매도는 선물환의 매입포지션과 동일. c Xe rt p S 0 e rft c p S 0 e rft Xe rt c p F S0e rfT N (d1) Xe rT N (d 2) Xe rT XerT N (d 2) S0e rfT N (d1) S0e rfT +Call +Forward - Put 48 Black-Scholes Model (Cont’d) Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code 엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Black-Scholes 통화옵션 가격산정 Function EC(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double Dim t As Double Dim d1 As Double Dim d2 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5) d2 = d1 - vol * t ^ 0.5 EC = Exp(-rf * t) * S * Application.NormSDist(d1) - Exp(-r * t) * X * Application.NormSDist(d2) End Function Function EP(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double Dim t As Double Dim d1 As Double Dim d2 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5) d2 = d1 - vol * t ^ 0.5 EP = Exp(-r * t) * X * Application.NormSDist(-d2) - Exp(-rf * t) * S * Application.NormSDist(-d1) End Function 49 Option Sensitivity (Delta) 델타(Delta) c f (S , X , T , , r , rf ) 의 함수이다. c 델타()는 기초자산 가격변화에 대한 옵션가격 변화이다. 로 옵션가격의 기울기이다. S 앞서 옵션가격 산정에서 보았듯이, 유럽식 옵션의 델타 Option price Black-Scholes 옵션 가격계산으로 부터, Call call N (d1) put N (d1) 1 FWD(Delta=1) Slope = B 통화옵션의 델타 A Stock price 옵션가격계산에서와 마찬가지로 r대신 r-rf를 대입하면 다음과 같다. call e rfT N (d1) puu e rfT [ N (d1) 1] 50 Option Sensitivity (Delta; Cont’d) 델타는? 기초자산 가격변화에 따른 민감도 기초자산 보유 상당액(헤지비율) 통상적인 콜옵션의 경우 0~1사이이고, 풋옵션은 -1~0사이. ATM옵션의 델타는 0.50 기초자산(S) 가격변화에 따른 델타의 변화 OTM X Delta of Call Delta of Put X 1.0 S Delta ITM ATM X S -1.0 Time 51 Option Sensitivity (Delta; Cont’d) 델타헤지 델타란 옵션이 기일에 실행될 가능성의 정도를 나타내는 수치(기초자산 보유 상당액)이기 때문에 옵 션의 가치변동을 외환포지션을 이용하여 헤지할 수 있음. Dynamic Hedging 델타는 환율,시간,Volatility 등의 변화에 따라 변하기 때문에 수시로 조정할 필요가 있음. 델타헤지 수단은? 선물환을 사용하는 것이 원칙이나 실무적으로는 두 가지를 병행하는데, 현물환을 사용할 경우 외환 포지션의 carrying cost변화에 따른 risk를 가지게 됨. 델타중립화(Delta Neutral)와 동적헤징(Dynamic Delta Hedging) 델타중립화는 옵션 포지션과 기초자산 포지션으로 델타를 중립화시키는 것으로, 콜옵션의 델타가 0.6일 경우 0.6만큼의 기초자산을 매도하면 델타는 중립화(0)된다. 기초자산 가격 등 변수가 변할 때 옵션의 델타 또한 변하게되고 이때 재조정(Rebalancing)이 필요하게 된다. 이에 따른 재조정을 동적헤징이라 한다. 52 Option Sensitivity (Delta; Cont’d) Continuous delta hedging 지속적인 델타 재조정으로 옵션을 복제 가능 이는 옵션가격결정의 중요한 포인트임. 델타 재조정은 왜 필요한가? 감마효과(the gamma effect, convexity effects) 가격변동성의 변화(change in perceived volatility) time decay due solely to the passage of time 성공적인 옵션복제를 위한 가정 No transaction cost no jumps no shift in the volatility. 53 Option Sensitivity (Gamma) 감마(Gamma) 감마는 기초자산 가격변화에 따른 옵션델타의 변화이다. 즉, 2 f 2 S 아래 그림과 같이 기초자산 가격 SS’가 될 땔 옵션가격은 C C’이 아닌 C C’’이 된다. 이때 C’’-C’의 가격변화의 오차가 발생하고, 이는 채권가격의 Convexity와 같은 개념이다. Delta of Call Call price X C’’ S C’ Gamma of Call C Stock price S S’ S 54 Option Sensitivity (Gamma; Cont’d) 유럽식 통화옵션의 감마 rfT Gamma의 변화 N ' (d1)e , S T 1 x2 / 2 N ' ( x) e 2 ATM OTM ITM Time 옵션감마의 성질 Delta of delta : 환율의 변화에 대한 델타치의 변화율로 옵션포지션의 리스크관리에 매우 중요한 지표. 델타 값의 변화하는 속도를 나타냄 일반적으로 만기가 길면 감마가 줄어든다, 특히 ATM의 경우 만기 시 기하급수적으로 증가한다. 이는 Plain vanilla 옵션보다는 Exotic(Digital)옵션의 경우 더 크게 나타난다. Positive/Negative 감마 환율이 상승하면 달러매입포지션이 발생하고 환율이 하락하면 달러매도포지션이 발생하는 것이 Positive 감마이고 그 반대의 경우가 Negative 감마 포지션임. 옵션매입은 Positive 감마, 옵션매도는 Negative감마 55 Option Sensitivity (Gamma) 감마 포지션의 이해 Put옵션 매입자 : (+) 감마 시장가격 상승 (Short Position 감소: +델타) : 손실감소(+효과 : +감마) 시장가격 하락 (Short Position 증가: -델타) : 이익증가(+효과 : +감마) Put옵션 매도자 : (-) 감마 시장가격 상승 (Long Position감소 : -델타) : 이익감소 (-효과 : -감마) 시장가격 하락 (Long Position증가 : +델타) : 손실증가(-효과 : -감마) 감마 중립화(Gamma Neutral) 델타중립화와 마찬가지로 포트폴리오의 감마를 0으로 만드는 것을 말한다. 그러나, 기초자산과 선물환의 경우 감마가 0이므로 기초자산으로는 중립화 시킬 수 없고, 옵션 거래 를 통해서만 중립화가 가능하다. 델타-감마 중립화(Delta-Gamma Neutral)전략은 옵션 포지션을 이용하여 델타와 감마를 통시에 중립 화 시키는 전략이다. 56 Option Sensitivity (Theta) 쎄타(Theta) 쎄타는 시간의 경과에 대한 옵션 가격의 민감도를 말한다. 즉, f t 시간이 경과함에 따라 옵션가치는 줄어들게 되므로 Time Decay라고도 한다. 유럽식 통화옵션의 쎄타 SN ' (d1)e rfT call rfSN (d1)e rfT rXerT N (d 2) 2 T SN ' (d1)e rfT put rfSN (d1)e rfT rXerT N (d 2) 2 T 쎄타의 성질 일반적으로 옵션매입의 경우 마이너스(-)이다. ATM일 경우 Time decay가 가장 크다. Theta of Call X S Theta Change of Call T OTM ITM ATM 57 Option Sensitivity (Vega) 베가(Vega) 베가는 변동성에 대한 옵션가격의 변화를 말한다. 즉, 기초자산 또는 선물환의 경우 베가 리스크는 없다. f 일반적으로 감마중립화 포지션이라고 베가중립적 이지는 않다. 유럽식 통화옵션의 베가 S T N ' (d1)erfT Vega X S 58 Option Sensitivity (Theta & Vega) 쎄타 리스크 시간경과에 따른 옵션가치의 변화 실무적으로는 하루의 시간경과를 기본단위로 함. 보다 장기인 옵션의 쎄타가 낮음. At the money에서 쎄타는 최대치가 됨. At the money에서 환율변화에 대한 델타의 변화(감마)는 가장 크고 또한 동시에 쎄타치도 최대가 됨. 이는 옵션매도포지션인 경우, at the money 에서 환율변동에 대한 델타 중립화를 위한 헤지거래의 비 용은 가장 커지지만 플러스의 쎄타치도 최대가 된다는 것임.. 베가리스크 Implied volatility변화에 대한 옵션가치의 변화 Historical volatility와는 직접적인 관련은 없음. 보다 장기인 옵션의 베가가 높음. At the money에서 베가는 최대치가 됨. Deep out of money인 옵션은 거의 행사되지 않을 확률이 매우 높기 때문에 volatility의 변화는 그 옵션가치에 큰 영향을 주지 못하지만 at the money인 경우에는 베 가가 높게 됨 59 Option Sensitivity (옵션리스크 관리의 실제) 베가나 감마를 먼저 중립화시킴. 옵션포지션을 통해서만 중립화 가능. 베가, 감마포지션을 중립화 시킨 후 잔존 델타를 관리함. Delta-gamma replication. Volatility hedging B/S 는 만기까지 일정한 volatility를 가정하고 있으나 실제 volatility 자체도 계속 변하기 때문에 이를 관리하기 위한 비용은 B/S가격결정에 빠져 있음. 헤지정확도 vs. 헤지비용 보다 정교한 옵션리스크관리는 보다 많은 옵션을 사용하게 되는 데, 이는 많은 비용을 초래하기 때 문에 최적화해야 한다는 관점을 가져야 함. 60 Option Sensitivity (Application) Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code 엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Black-Scholes 통화옵션의 Greek산출 Function Delta_Call(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double Dim t As Double Dim d1 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5) Delta_Call = Exp(-rf * t) * Application.NormSDist(d1) End Function Function Delta_Put(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double Dim t As Double Dim d1 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5) Delta_Put = Exp(-rf * t) * (Application.NormSDist(d1) - 1) End Function Function Gamma(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) Dim t As Double: Dim d1 As Double: Dim N1 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5) N1 = (1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5) * Exp((-d1 ^ 2) / 2) Gamma = (N1 * Exp(-r * t)) / (S * vol * t ^ 0.5) End Function 61 Option Sensitivity (Application; Cont’d) Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code(Cont’d) 엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Black-Scholes 통화옵션의 Greek산출 Function Vega(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) Dim t As Double: Dim d1 As Double: Dim N1 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5) N1 = (1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5) * Exp((-d1 ^ 2) / 2) Vega = S * (t ^ 0.5) * N1 * Exp(-rf * t) End Function Function Theta_Call(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) Dim t As Double: Dim d1 As Double: Dim N1 As Double: Dim d2 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5): d2 = d1 - vol * t ^ 0.5 N1 = (1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5) * Exp((-d1 ^ 2) / 2) Theta_Call = -(S * N1 * vol * Exp(-rf * t)) / (2 * t ^ 0.5) + rf * S * Application.NormSDist(d1) * Exp(-rf * t) - r * X * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(d2) End Function Function Theta_Put(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) Dim t As Double: Dim d1 As Double: Dim d2 As Double: Dim N1 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5): d2 = d1 - vol * t ^ 0.5 N1 = (1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5) * Exp((-d1 ^ 2) / 2) Theta_Put = -(S * N1 * vol * Exp(-rf * t)) / (2 * t ^ 0.5) - rf * S * Application.NormSDist(-d1) * Exp(-rf * t) + r * X * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(-d2) End Function 62 Option Valuation & Sensitivity ; Practice Option Pricing Application Black-Scholes Spot Price(S) 1,250 Strike Price(X) 1,270 Sday 15-Oct-02 Mday 15-Apr-03 σ 10.00% r 5.0% rf 2.0% Time to Maturity(T) 0.50 # of Node(Binomial) 30 European Call Price Put Price Delta call Delta put Gamma Theta call Theta put Vega 34.31 35.44 0.50387 -0.48621 0.00441 -52.13071 -14.94621 348.55375 Binomial European Call Price Put Price 34.54 35.68 American Call Price =Binomial_American(B3,B4,B5,B6,B7,B8,B9,"Call",B11) Put Price 38.43 63 Exotic Options Barrier Options Barrier Options의 Payoffs는 옵션기간에 기초자산가격이 특정수준(Hurdle Rate)에 도달했는지에 따라 결정된다. Barrier Options는 크게 Knock-In(K/I)과 Knock-Out(K/O)으로 나눌 수 있는데, K/I은 특정환율에 도달해야만 옵션이 생기는 것이고, K/O는 옵션이 소멸되는 것이다. Barrier Options의 장점은 우선 Plain Vanilla옵션보다 옵션가격이 저렴하기 때문에 많이 선호되지만, 급격한 환율변동에 큰 손실이 발생하므로 주의가 필요하다. KO(Terminated) 1350 KI(Started) 1350 64 Exotic Options (Cont’d) Barrier Options의 가격계산(Down Barrier Call) H <= X 인 경우, cdi S 0 e rfT ( H / S 0 ) 2 N ( y ) Xe rT ( H / S 0 ) 2 2 N ( y T ) r rf 2 / 2 2 ln[H 2 /( S 0 X )] ,y T T cdo+cdi=c이므로, cdo=c-cdi H >= X 인 경우, cdo S 0 N ( x1)e rfT Xe rT N ( x1 T ) S 0 e rfT ( H / S 0 ) 2 N ( y1) Xe rT ( H / S 0 ) 2 2 N ( y1 T ) ln(S 0 / H ) ln(H / S 0 ) T , y1 T T T cdi c cdo x1 65 Exotic Options (Cont’d) Barrier Options의 가격계산(Up Barrier Call) H<= X 인 경우, cuo=0, cui=c H>= X 인 경우, cui S0 N ( x1)e rfT Xe rT N ( x1 T ) S0 e rfT ( H / S0 ) 2 [ N ( y ) N ( y1)] XerT ( H / S0 ) 2 2 [ N ( y T ) N ( y1 T )] cuo c cui 66 Exotic Options (Cont’d) Barrier Options의 가격계산(Down Barrier Put) H<=X인 경우, pdi S0 N ( x1)e rfT Xe rT N ( x1 T ) S0e rfT ( H / S 0 ) 2 [ N ( y ) N ( y1)] Xe rT ( H / S0 ) 2 2 [ N ( y T ) N ( y1 T )] pdo p pdi H >= X 인 경우, pdo=0, pdi=p Barrier Options의 가격계산(Up Barrier Put) H<= X 인 경우, puo S 0 N ( x1)e rfT Xe rT N ( x1 T ) S 0e rfT ( H / S0 ) 2 N ( y1) XerT ( H / S0 ) 2 2 N ( y1 T ) pui p puo H>= X 인 경우, pui S0e rfT ( H / S0 ) 2 N ( y) Xe rT ( H / S0 ) 2 2 N ( y T ) puo p pui 67 Exotic Options (Cont’d) Binary Options(Digital Options) Binary Options는 만기 Payoffs이 불연속이다. 대표적인 것이 Cash-or-nothing 옵션으로 Cash-or-nothing Call은 Cash-or-nothing Put은 Qe rT N (d 2) 이다. Qe rT N (d 2) 또 다른 형태의 Binary Options은 Asset-or-nothing 콜과 풋옵션으로 콜옵션은 rfT 풋옵션은 이다. S0 e N (d1) Cash-or-Nothing Call Cash-or-Nothing Put Asset-or-Nothing Call Asset-or-Nothing Put 이고, S0erfT N (d1) 이고, 68 Exotic Options (Cont’d) Non-standard American Options Bermudan option은 일반적인 American option과 달리 행사가 특정기간 동안에만 할 수 있다. 옵션 가격 산정은 이항모델(Binomial Tree)나 삼항모델(Trinomial Tree)에 의해 계산 가능하다. Forward Start Options Forward Start Options은 미래 일정시점에서 시작되는 옵션이다. 유럽식 ATM Forward Start 콜Options의 가격은 e rT 1 ^ E [c S1 ] S0 이다. 여기서 c는 현재시점에서의 T2-T1동안의 옵션가격 Compound Options Compound Options은 옵션에 대한 옵션이다. 따라서, Call on Call, Put on Call, Call on Put, Put on Put이 있을 수 있다. Chooser Options Chooser Options는 특정기간 후에 옵션을 선택할 수 있는 옵션이다. 따라서 옵션의 Payoffs는 max(c,p)이다. 69 Exotic Options (Cont’d) Chooser Options (Cont’d) 이는 Put-Call Parity에 의해 계산될 수 있을 것이다. max(c, p) max(c, c Xe r (T 2T 1) S1e rf (T 2T 1) ) c e rf (T 2T 1) max(0, Xe( r rf )(T 2T 1) S1 ) 결국 Chooser Options는 행사가격이 X인 콜옵션과 행사가격이 Xe-(r-rf)(T2-T1)인 풋옵션의 합성이다. Lookback Options Lookback Options의 Payoffs는 옵션 기간동안의 최대 혹은 최소값에 의해 결정된다. 유럽식 콜옵션의 경우는 만기환율과 기간동안의 최소환율간의 차액을 지급한다. 유럽식 풋옵션의 경우는 만기환율과 기간동안의 최대환율간의 차액을 지급한다. 결국 Lookback Options는 가격이 비쌀 수 밖에 없다. Shout Options Shout Options는 매입자가 매도자에게 옵션기간동안 일차적으로 권리를 행사하고, 만기에 다시 Payoff 을 선택할 수 있다. Lookback Option과 비슷한 성질을 갖고 있으나, 옵션가격은 낮다. 70 Exotic Options (Cont’d) Asian Options Asian Options는 만기 Payoffs이 옵션기간동안의 평균환율에 의해서 결정된다. 콜옵션의 경우는 max(0,Savg.-X), 풋옵션은 max(0,X-Savg.) Asian Options는 Plain Vanilla 옵션보다 저렴하다. Asian Options의 다른 형태로 행사가격대신 만기환율과 평균환율의 차액을 지급할 수 있을 것이다. 즉, 콜옵션의 경우는 max(0,ST-Savg), 풋옵션은 max(0,Savg.-ST) 71 Option Strategy : 1. Hedging using Put Option (Protective Put) 달러 Long포지션의 Put옵션을 이용한 헤지(Protective Put) Underlying Long Position + Put Buy = Call Sell 수출업자 헤지결과 환율 $ Put 매입 72 Option Strategy : 2. Hedging using Call Option 달러 Short포지션의 Call옵션을 이용한 헤지 $ Call 매입 헤지결과 환율 수입업자 73 Option Strategy : 3. Covered Call Writing 달러 Long포지션의 Call옵션 매도로 전략적인 Put옵션 포지션 운용 Underlying Long Position + Call Sell = Put Sell $ Holder 환율 $ Call 매도 74 Option Strategy : 4. Straddle Long Straddle (Spot 1200) Buy USD Call 1205 + Buy USD Put at 1205 Expectation : 시장이 너무나 요동을 쳐서 어떻게 될지 전망이 안됨. 그러나 만기까지는 현재보다 높거나 낮은 수준으로 예상. Strategy : Premium은 높게 주더라도 양방향으로 벌어 보자. Premium : 75won Payoff Below 1165: Start gaining 1165-1240 : Loss Area (Max 75원) Above 1240 : Start gaining Strip & Strap Strip : Buy 2 Put & Buy 1 Call 환율의 상승보다 하락가능성이 클 때 Strap : Buy 1 Put & Buy 2 Call 환율의 하락보다 상승가능성이 클 때 1165 1205 1240 LONG STRADDLE 75 Option Strategy : 5. Strangle Long Strangle (Spot 1200) Buy USD Call 1230 + Buy USD Put at 1170 Expectation : 시장방향은 도대체 전망이 되지 않으나 만기에는 현재수준보다 위로나 아래로 현저한 차이가 있을 것임. Strategy : Straddle에 비해 premium도 적게 내고 적게 벌자 Premium : 40won Payoff Below1130 : Start gaining 1130~1270 : Loss Area (Max loss 40원) 1170 1200 1230 Above 1270 : Start gaining LONG STRANGLE 76 Option Strategy : 6. Bull Spread with Call Spread Position 동일한 형태(Call or Put)의 옵션을 2개 이상 사고파는 거래 Bull Call Spread (Spot 1200) Call Option 매입.매도를 통해 Bullish한 시장에서 이익을 얻음. Buy USD Call at 1205 + Sell USD Call at 1230 (ITM Call Buy + OTM Call Sell) Expectation : 자신은 없지만 현재 수준보다는 달러강세 예상 Strategy : Premium도 절약하고/ loss도 줄이되/ 큰 profit도 기대 안 함. Premium : 11won 지급 Payoff Below 1205 : Pay premium (11원) 1205 1216 1230 1205~1216 : Loss (S-1205-11) 1216~1230 : Profit(S-1205-11) Above 1230 : Profit(14원 = 1230-1205-11) BULL CALL SPREAD 77 Option Strategy : 7. Bull Spread with Put Bull Put Spread (Spot 1200) Put Option 매입.매도를 통해 Bullish한 시장에서 이익을 얻음. Buy USD Put at 1205 + Sell USD Put at 1230 (OTM Put Buy + ITM Put Sell) Expectation : 자신은 없지만 현재 수준보다는 달러강세 예상 Strategy : 조금의 Premium 수취 / loss도 줄이되/ 큰 profit도 기대 안 함. Premium : 11won 수취 Payoff Below 1205 : Loss(-14원 = -1230+1205+11) 1205~1219 : Loss (S-1230+11) 1219~1230 : Profit(S-1230+11) 1205 1219 1230 Above 1230 : Premium(11원) BULL PUT SPREAD 78 Option Strategy : 8. Bear Spread with Put Bear Put Spread (Spot 1200) Put Option 매입.매도를 통해 Bearish한 시장에서 이익을 얻음. Buy USD Put at 1230 + Sell USD Put at 1205 (ITM Put Buy + OTM Put Sell) Expectation : 자신은 없지만 현재 수준보다는 달러약세 예상 Strategy : 적은 Premium 지출 / loss도 줄이되/ 큰 profit도 기대 안 함. Premium : 11won 지급 Payoff Below 1205 : Profit(14원 = 1230-1205-11) 1205~1219 : Profit (1230-S-11) 1219~1230 : Loss(1230-S-11) 1205 1219 1230 Above 1230 : Premium(11원) BEAR PUT SPREAD 79 Option Strategy : 9. Calendar Spread with Call Calendar Spread (Spot 1200) 동일 행사가격, 만기 불일치 Buy 6M USD Call 1200 + Sell 3M USD Call at 1200 Expectation : 환율이 당분간 약세를 보이다 강세로 반전할 것을 예상 Strategy : 적은 Premium 지출로 기간별 환율예상에 대한 수익 / loss 가능성도 있음 Premium : 10won 지급 1200 CALL CALENDAR SPREAD 80 Option Strategy : 10. Calendar Spread with Put Calendar Spread (Spot 1200) 동일 행사가격, 만기 불일치 Buy 6M USD Put 1200 + Sell 3M USD Put at 1200 Expectation : 환율이 당분간 강세를 보이다 약세로 반전할 것을 예상 Strategy : 적은 Premium 지출로 기간별 환율예상에 대한 수익 / loss 가능성도 있음 Premium : 10won 지급 1200 PUT CALENDAR SPREAD Diagonal Spread 행사가격과 만기가 모두 불일치하는 Call 옵션 혹은 Put 옵션의 매입과 매도 81 Option Strategy : 11. Butterfly Spread Long Butterfly Spread with Call (Spot 1200) Buy USD Call at 1170 + Buy USD Call at 1230 + Sell 2 USD Call at 1200 Expectation : 환율이 현수준에서 상당히 안정적으로 머물 것이다. Strategy : 적은 Premium 지급 / 제한된 loss / 소폭의 profit Premium : 10won 지급 Payoff Below 1170 : Premium(-10원) 1170~1200 : Loss (S-1170-10) 1170 1200 1230 1200~1230 : Profit(1230-S-10) Above 1230 : Premium(-10원) BUTTERFLY SPREAD Long Butterfly Spread with Put Buy USD Put at 1170 + Buy USD Put at 1230 + Sell 2 USD Put at 1200 82 Option Strategy : 12. Risk Reversal Risk Reversal Buy USD call at 1242, sell USD put at 1180 Expectation : 특별한 상승/약세요인이 없어 1150 ~ 1300의 Range예상. Strategy : 선물환에 비해 많이 벌지도/잃지도 않고 싶다. Payoff Below 1180 : Start losing (Less loss than Forward) 1180~1242 : No impact (Saved hedging cost) Above 1242 : Start earning (less profit than Forward) Forward Risk Reversal 1180 1240 83 Option Strategy : 13. Seagull Seagull Buy USD call at 1200, sell USD put at 1170, and sell USD call at 1230 Expectation : 큰 상승은 없으나 조금의 상승가능성은 있어보이고, 큰 하락은 없어보임. Strategy : 비용없이 범위(1170~1230)내에서 Call의 효과를 내고, 실현가능성이 없어 보이는 잠재이익을 포기 1170 1200 1242 84 Option Strategy : 14. Range Forward 달러 Short포지션의 Risk-Reversal 을 이용한 제한적 위험운용 Underlying + Risk Reversal = Spread Position initial Exposure U$ Short (Won Long) Buy U$ Call Option (X= SH) + SH Sell U$ Put Option (X= SL) + = SL 85 Option Strategy : 15. Target Forward 달러 Long포지션의 옵션포지션을 이용한 전략적 포지션운용 현재의 선물환보다 높은 환율에서 선물환을 매도하여 이익을 확정하고, 달러화 약세위험을 커버. 만기환율에 따라 추가적인 달러매도 거래로 환위험을 관리. 제로코스트 Initial Exposure U$ Long(Won Short) Buy U$ Put Option (X= SH) SH + Sell 2* U$ Call Option (X= SH) + = S SH 86 Option Strategy : 16. Double Forward 달러 Long포지션의 옵션포지션을 이용한 전략적 포지션운용 현재의 선물환보다 높은 환율에서 선물환을 매도하여 이익을 확정하고, 달러화 약세위험을 커버. 만기환율의 움직임에 따라 추가적인 선물환 거래로 환위험을 관리할 수 있다. 제로코스트 Buy U$ Put Option (X= SH) Initial Exposure U$ Long(Won Short) SH + Sell U$ Call Option + Sell U$ FWD Call Option (X= SH) + = S SH 87 Option Strategy : 17. Participating Forward 달러 Long포지션의 옵션포지션을 이용한 전략적 포지션운용 달러화 공급이 예상될 때, 달러화 약세에 대한 위험을 커버하고, 강세에 대한 이익을 얻을 수 있다. 제로코스트 Buy U$ Put Option (X= SL) Initial Exposure U$ Long(Won Short) SL + Sell 50% U$ Call Option + = SL S 88 Option Strategy : Excel Application 엑셀 스프레트 시트를 이용한 Option Strategy 응용(Target Forward Sell) Rebate(Won) X(strike) Hurdle/ ITM Trigger(Y/N) Deal Price PV($) Delta($) Exposure Gamma(1W) Vega(1%;$) CASH1 Option Strategy Portfolio Start date= Mat. date= T(days)= Fwd rate(ref.) Fwd rate Di(won)= Rf(U$)= Vol(ref.) Vol(actual) Call/Put/Fwd Amount CASH2 Spot= Total NPV Adjustment CASH3 1230.00 -44 1,000 CASH4 Today= 02-06-09 Spot= 02-06-12 Payoff range= FWD FWD 1,000,000 FWD 1 FWD 2 1251.65 #DIV/0! 1239.27 0.00 0 0 0 0 0 0 -1,044 -405,060 289,815 -8,722 -1,970 FWD FWD FWD 3 FWD 4 1239.27 #DIV/0! 4 994,767 94,436 0 0 200 Opt 1 1239.27 #DIV/0! 0 0 0 0 0 OPTION1 02-06-09 02-09-12 95 9.00 9.27 5.00% 1.99% 6.10% 7.50% C -2,000,000 Opt 2 1251.00 11.73 13.70 0 0 0 0 0 OPTION2 02-06-09 02-09-12 95 9.00 9.27 5.00% 1.99% 6.10% 8.00% P 1,000,000 0 -22,279 -822,539 120,408 -16,467 -3,954 OPTION3 02-06-09 02-09-12 95 9.00 9.27 5.00% 1.99% 6.10% 12.00% C Opt 3 1251.00 -11.73 26.11 0 21,231 -577,289 74,971 7,745 1,984 OPTION4 02-06-09 02-09-12 95 9.00 9.27 5.00% 1.99% 6.10% 10.25% C Exotic1 02-06-09 02-09-12 95 9.00 9.34 5.02% 1.99% 6.10% 12.50% DIC Exotic2 02-06-09 02-09-12 95 9.00 9.34 5.02% 1.99% 6.10% 12.50% DIC Exotic3 02-06-09 02-09-12 95 9.00 9.34 5.02% 1.99% 6.10% 7.50% DOC Exotic4 02-06-09 02-09-12 95 9.00 9.34 5.02% 1.99% 6.10% 25.00% UIP 1220.00 1200.00 Y 1220.00 1200.00 1220.00 1200.00 1220.00 1250.00 Opt 4 1239.27 #DIV/0! #DIV/0! 1239.27 #DIV/0! #DIV/0! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 150,000,000 Payoff at Maturity 100,000,000 50,000,000 0 Won 0 12 1, -50,000,000 14 1, 0 16 1, 0 0 18 1, 0 20 1, 0 22 1, -100,000,000 -150,000,000 spot -200,000,000 0 24 1, 0 26 1, 0 28 1, 0 30 1, 0 32 1, 0 0 0 0 0 CASH 1 CASH 2 CASH 3 CASH 4 OPTION1 OPTION2 OPTION3 OPTION4 Exotic1 Exotic2 Exotic3 Exotic4 보정1 보정2 Portfolio 89 Epilogue Q&A ? Other issues in Option markets? Any issue of derivatives market including swap and credit derivatives ? More Information E-mail : [email protected] Call : 02-3702-4412 Class presentation file : http://vols.com.ne.kr/fxkorea5.html 90