Transcript 1 - Tyllesen

Erhvervsøkonomi / Managerial Economics
Renteformler
Kjeld Tyllesen
PEØ, CBS
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
1
Atomvidenskab er svært – men dog intet at regne imod
rentesregning!
Meget frit efter Albert Einstein
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
2
Det er ikke svært!
I konventionelle lærebøger er der 4 formler
Jeg vil gennemgå 5 renteformler (+ ”tilsvarende” Excel-formler, på
dansk og engelsk)
Men de 5 formler er alle sammensat af kun 2 forskellige grundformler
Det betyder, at hvis vi bare kan 2 formler – og så kan kombinere
dem lidt – så har vi dem alle sammen!!
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
3
Vores variabel er TID
Start = dags dato (= d.d.) = tidspunkt 0
Tid
”r” er prisen på penge i én periode
Hvis vi investerer 1 kr.
Så er ”r” den indbetaling (afkast), som gør, at du er indifferent
mellem at have 1 kr. i dag og (1 + r) kr. ved udgangen af periode 1
Hvis man låner 1 kr.
Så er ”r” den udbetaling (rente), som gør, at du er indifferent
mellem at låne (= have til disposition) 1 kr. i dag og (1 + r) ved
udgangen af periode 1
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
4
I begge tilfælde kaldes ”r” for kalkulationsrenten, og denne er
behandlet i en særskilt film
I det efterfølgende tager vi udgangspunkt i kalkulationsrenten ved
en investering
– men det kunne lige så godt være ved et finansieringsprojekt
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
5
1. formel:
(1 + r)N
Hvis vi investerer 1 kr. ved periodens start, hvor stort et beløb
har vi så ”på kontoen” ved udgangen af periode N?
Vi hæver eller indsætter ikke beløb – ej heller de tilskrevne
renter - i forløbet
1 kr.
0
Start
(1 + r) kr.
1
= (1 + r)1 kr.
(1 + r)1 * (1 + r) kr.
2
= (1 + r)2 kr.
(1+r)N-1 * (1+r) kr.
N-1
(1+r)N-1
N
Tid
= (1 + r)N kr.
Så (1 + r)N kr. er det beløb, som står på bankkontoen ved
udgangen af periode N, når man ved starten af periode 1
investerer 1 kr. til r % pr. periode
Der er altså tale om én investering på 1 kr. primo periode 1 – og så
ikke mere!
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
6
Et eksempel, 100 kr. investeres i periode 0:
Beløb
ult.
periode
Beløb
Beløb
ult.
ult.
periode
periode
N
NN
10%
rrr === 4%
7%
N
N
N
000
111
222
333
444
555
666
777
888
Beløb
Beløb
Beløb
100,00
100,00
100,00
110,00
104,00
107,00
121,00
108,16
114,49
133,10
112,49
122,50
146,41
116,99
131,08
161,05
121,67
140,26
177,16
126,53
150,07
194,87
131,59
160,58
214,36
136,86
171,82
160.00
250.00
200.00
140.00
180.00
200.00
160.00
120.00
140.00
100.00
150.00
120.00
Kr. 80.00
Kr.
Kr. 100.00
7%
7% 4%
60.00
80.00
100.00
4%
4%
10%
40.00
60.00
40.00
50.00
20.00
20.00
0.00
0.000
0.00
00
1
2
1
2 2
3
4
5
6N5
4
Perioder,
Perioder,
N N
Perioder,
3 4
6
7
6 8
8
7
9
10 8
9
7% per
R stiger nu til 10%
perperiode
periode
Værdien ult. Periode N af det beløb, der investeres på tidspunkt 0 (=
primo periode 1) stiger altså eksponentielt - ikke lineært - i slutværdi,
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
7
når r stiger, og også når N stiger.
2. formel:
(1 + r)-N
Hvad skal vi investere ved starten af periode 1, hvis vi ved
udgangen af periode N ønsker at have 1 kr.?
Vi hæver eller indsætter ikke beløb i forløbet
? kr.
0
Start
? *(1 + r) kr.
1
= ? * (1 + r)1 kr.
? * (1 + r)1 * (1 + r) kr.
? * (1+r)N-1 * (1+r) kr.
N Tid
2
? * (1+r)N-1
= ? * (1 + r)2 kr.
= ? * (1 + r)N kr.
Så vi har, at
? * (1 + r)N kr. = 1 kr. => ? =
1
(1 + r)N
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
= (1 + r)-N
8
Så (1 + r)-N kr. er det beløb, som man skal investere ved starten af
periode 1 (= tidspunkt 0) til r % pr. periode, når man ved
slutningen af periode N ønsker at have 1 kr. ”på kontoen”
Der er altså tale om én investering på (1 + r)-N kr. primo periode 1
– og så ikke mere!
Så ’2’ er altså lig med ’1’, der er ”vendt på hovedet”
Så ’2’ = ’1’-1
Så der er altså reelt kun tale om én - og samme - formel!
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
9
Et eksempel, vi vil ha’ 100 kr. ult. periode N:
rrr===
4%
7%
10%
NNN Beløb
Beløb
Beløb
000 100,00
100,00
100,00
111 96,15
93,46
90,91
222 92,46
87,34
82,64
333 88,90
81,63
75,13
444 85,48
76,29
68,30
555 82,19
71,30
62,09
666 79,03
66,63
56,45
777 75,99
62,27
51,32
888 73,07
58,20
46,65
Beløb,
sdom
skalinvesteres
inevsterstidspunkt
tidspunkt
Beløb,som
somskal
skal
investeres
tidspunkt000
Beløb,
120.00
120.00
120.00
y = 0.0666x2 - 3.8967x + 100
R² = 1
100.00
100.00
100.00
y = 0.0666x2 - 3.8967x + 100
R² = 1
80.00
80.00
80.00
60.00
Kr.
Kr. 60.00
60.00
Kr.
4%4%
4%
7%7%
40.00
40.00
40.00
y = 0.1788x2 - 6.6458x + 100
10%
R² = 1
20.00
20.00
20.00
0.00
0.00
0
0.00 0
0
11
1
22
2
33
3
44
55
4
5 N
Periode
N
Periode
Periode N
66
6
77
7
88
8
99
9
Jo længere investerings-periode (N), jo mindre skal der investeres
dags dato (= tidspunkt 0) for at have 100 kr. ult. Periode N. Ikke lineært
Jo højere rente, jo mindre skal der investeres dags dato (=
tidspunkt 0) for at have 100 kr. ult. Periode N. Ikke lineært
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
10
3. formel:
(1 + r)N – 1
r
Nu skiftes der betalingsmønster til at investere det samme beløb
med regelmæssige mellemrum – og det kaldes en annuitet!
Som standard forudsætning er annuiteter ”efterbetalte”, hvilket vil
sige, at de betales ultimo hver periode – og ikke primo
Det kan vi selvfølgelig også ”justere for” – altså regne ud – så vi
udregner for forudbetalte annuiteter (betales alle primo) - men det
gør vi ikke lige her
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
11
Hvis vi investerer 1 kr. ved slutningen af HVER periode, hvor meget
har vi så ”stående på kontoen” ved udgangen af periode N?
Vi hæver ikke renterne i forløbet
0
Start
1
2
3
4
N-1
N
Tid
(1+r)N-1 kr.
(1+r)N-2 kr.
(1+r)N-3 kr.
(1+r)N-4 kr.
1 kr.
1 kr.
1 kr.
1 kr.
1 kr.
(1+r)1 kr.
1 kr.
∑ = (1 + r)N – 1
r
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
12
Så (1 + r)N – 1 kr. er det beløb, som står på bankkontoen ved
r
udgangen af periode N, når man ved slutningen af hver periode
investerer 1 kr. til r % pr. periode
Dette er ”den anden grundformel”; altså ’nr. 2’
Dette kaldes også ”Annuitets-forrentningsfaktoren”.
Denne formel viser, hvad du har stående ult. Periode N, når du
skal på pension, hvis du ult. i hver af de N perioder har indsat 1
kr. på en konto til en fast forrentning på r %
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
13
Et eksempel, 100 kr. investeres ult. hver periode, til en fast rente:
Beløb
ult.
periode
10,
20, 30.
Beløb
Beløb
ult.
periode
ult. periode
10.
10, 20.
kr 18,000.00
kr 7,000.00
kr 1,800.00
y = 0,0265x3 + 1,1661x2 + 45,06x + 1000
R² = 1 + 3000
y = 8,0649x3 + 2,8739x2 + 506,16x
R² = 1
y = 0,9214x3 + 8,5103x2 + 195,27x + 2000
R² = 1
kr 16,000.00
kr 1,600.00
kr 6,000.00
kr 14,000.00
kr 1,400.00
kr 5,000.00
kr 12,000.00
kr 1,200.00
kr 10,000.00
kr 4,000.00
kr 1,000.00
Kr.
Kr.
kr 800.00
Kr.
10
kr 8,000.00
kr 3,000.00
kr 600.00
kr 6,000.00
kr 400.00
kr 2,000.00
kr 4,000.00
kr 200.00
y=
0,9214x3
R² = 1
0
kr 0.00
kr 0.00
2 0
0
+ 195,27x
+ 2000 10
10
20
20
30
y = 0,0265x3 + 1,1661x2 + 45,06x + 1000
R² = 1
kr 1,000.00
kr 2,000.00
kr 0.00
+
8,5103x2
y = 0,0265x3 + 1,1661x2 + 45,06x + 1000
R² = 1
2
4
2
4
6
%
4
6
%
8
6
%
8
Jo højere rente, jo større beløb ultimo periode N
10 8
10
12 10
12
12
Eksponentielt
Jo længere periode, jo større beløb ultimo periode N Eksponentielt
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
14
4. formel
(1 + r)N – 1
r * (1 + r)N
=
1 – (1 + r)-N .
r
2 forskellige udtryk for det samme
For hvad er alle de penge, som vi har stående på pensionstidspunktet
ult. periode N - (1 + r)N – 1 - reelt værd i dag?
r
Formel 3 er ” Annuitets-forrentningsfaktoren” og giver os værdien
ult. periode N af en indbetaling på 1 kr. ult. hver periode
Og Formel 2 - (1 + r)-N - giver os værdien i dag af 1 kr., som står på
kontoen ult. periode N
Så nu kombinerer vi Formel 2 og 3
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
15
Så Formel 4 = Formel 3 * Formel 2, altså ’4’ = ’3’ * ’2’
=
Værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N
perioder, altså en annuitet
Så når vi nu indbetaler 1 kr. ult. hver periode, har vi ult. periode N
(1 + r)N – 1 kr.
r
Og dette beløb vil være (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. værd i dag,
r
primo periode 1
Så
(1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr.
r
=
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
(1 + r)N – 1
r * (1 + r)N
16
Hvis vi ønsker at forkorte dette udtryk med faktoren (1 + r)N får
man, at
(1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr.
r
Så
1 – (1 + r)-N
r
=
(1 + r)N – 1
r * (1 + r)N
=
1 – (1 + r)-N .
r
angiver også værdien dags dato af en
indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N perioder
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
17
Dette kan også kaldes for ”Annuitets-diskonteringsfaktoren”
Denne formel er også relevant at anvende, når man vurderer
Realkreditlån
Hvis jeg lover at betale banken - eller realkreditinstituttet - 1 kr.
ult. hver af N perioder, så har dette løfte – afgivet i form af
underskrift på et lånedokument – en økonomisk værdi her og nu –
primo periode 1
1 – (1 + r)-N , så det beløb kan du få
r
udbetalt, når du underskriver lånedokumenterne!
Og denne værdi d.d. er på
PS: I forhold til virkeligheden mangler der dog nogle gebyrer etc.
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
18
Formel 4 er derfor opbygget således, i 2 trin:
1. Hvis vi indbetaler 1 kr. ved slutningen af HVER periode, hvilket
beløb har vi så ved udgangen af periode N?
Vi hæver ikke renterne i forløbet
0
Start
1
2
N-1
4
3
N
Tid
kr.
(1+r)N-2 kr.
(1+r)N-3 kr.
(1+r)N-4 kr.
(1+r)N-1
1 kr.
1 kr.
1 kr.
1 kr.
1 kr.
2. Og dette beløb føres så tilbage til
tidspunkt 0
* (1 + r)-N
=> (1 + r)N – 1 * (1 + r)-N kr. =
r
(1 + r)N – 1
r * (1 + r)N
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
=
(1+r)1 kr.
1 kr.
∑ = (1 + r)N – 1
r
1 – (1 + r)-N .
r
19
Et eksempel, 100 kr. indbetales ult. hver/periode:
Nutidsværdi, KK00,, 10,
10,perioder
20 perioder
10
Nutidsværdi,
20,
30 perioder
0
2,500.00
1,200.00
3,500.00
3,000.00
1,000.00
2,000.00
2,500.00
800.00
1,500.00
2,000.00
y = -1,2902x3 + 36,845x2 - 445,72x + 3000: R² = 1
y = -0,3813x3 + 12,926x2 - 206,11x + 2000: R² = 1
600.00
Kr.Kr.Kr.
1010
2020
3 + 12,926x2 - 206,11x + 2000: R² = 1
2 - 54,754x
y = -0,3813x
y = -0,043x3 + 2,0491x
+ 1000; R² = 1
10
1,500.00
1,000.00
30
400.00
1,000.00
500.00
200.00
500.00
0.000.00
0.00
0 0 0
y = -0,043x3 + 2,0491x2 - 54,754x + 1000: R² = 1
y = -0,043x3 + 2,0491x2 - 54,754x + 1000; R² = 1
2 2
2
4 4 4
6 6 6
8
8 8
10 1010
12 1212
% %%
Jo højere rente, jo lavere nutidsværdi, altså K0. Ikke lineært
Jo længere periode, jo større beløb ultimo perioden.
Ikke lineært – og værdierne nærmer sig hinanden
Så ved 10% er stigningen i nutidsværdi meget lille, selv om der
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
betales i 10 år mere, 20 => 30 år!
20
5. formel
r * (1 + r)N
(1 + r)N – 1
=
r
.
1 – (1 + r)-N
2 forskellige udtryk for det samme
I formel 4 fandt vi værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr., som
blev foretaget ult. hver periode
Men ligesom vi foran ”vendte” ’1’ om og fik ’2’, vender vi ’4’ om
og stiller nu spørgsmålet:
Hvis vi i hver af N perioder ønsker at foretage en indbetaling ult.
perioden
hvilket beløb skal denne ydelse så være på, hvis vi ønsker, at
værdien heraf skal være på 1 kr. primo periode 0 (= dags dato)
– og alle indbetalte beløb skal være lige store (altså en annuitet)?
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
21
Eller: Hvilken annuitet ult. N perioder giver en nu-værdi (= K0) på 1 kr.?
(1 + r)N – 1
r * (1 + r)N
=
1 – (1 + r)-N
r
= K0 af en annuitet på 1 kr., jf. # 4 =>
= K0 af en annuitet på ? kr.
(1 + r)N – 1 * ? =
r * (1 + r)N
? = r * (1 + r)N
(1 + r)N – 1
K0 = 1 kr.
0
=
r
.
1 – (1 + r)-N
1
= 1 =>
1 – (1 + r)-N * ?
r
r
.
1 – (1 + r)-N
Og K0 af ? skal være lig med 1 kr.
Og hvad bliver ? så ?
r
.
1 – (1 + r)-N
2
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
r
.
r
.
1 – (1 + r)-N 1 – (1 + r)-N
N-1
Tid N
22
r * (1 + r)N
(1 + r)N – 1
=
r
=
1 – (1 + r)-N
Den annuitetsydelse, der betales ult. i hver af N perioder og giver en
K0-værdi på 1 kr.
Som det ses, er ’4’-1 = ’5’
Ved at vende ’4’ (= K0) på hovedet, får man altså
’5’ (= annuitetsydelsen)
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
23
Et eksempel, 100 kr. i Ko-værdi:
Annuitet
over
10,
2030
årår
Annuitet
over
10,
20,
Annuitet
over
10
år
2 + 0,5524x + 10
2 + 0,5524x
y = 0,0075x
y = 0,0075x
+ 10
2 + 0,5524x
y = 0,0075x
+ 10; R²=1
R²
=
1
R² = 1
18.00
18.00 18.00
16.00
16.00 16.00
14.00
14.00 14.00
y = 0,0192x2 + 0,5379x + 3,3333; R² = 1
12.00
12.00 12.00
10.00
10.00 10.00
Kr. Kr.
10
10
10 20
20
30
8.00
8.00 8.00
y = 0,0142x2 + 0,5338x + 5
y = 0,0142x2 + 0,5338x + 5; R² = 1
R² = 1
6.00
6.00 6.00
4.00
4.00 4.00
2.00
2.00 2.00
0.00
0.00 0.00
00
0
2
2
4
4
6
6
8
8
10
10
12
12 12
%
%
Jo højere rente, jo højere annuitets-ydelse
for at opnå en K0-værdi
på 100 kr. Ikke lineært
Ikke lineært
Jo længere periode, jo mindre annuitetsydelse ultimo hver periode.
Men nedsættelsen af ydelsen fra 20 => 30 år er slet ikke så stor
som ved 10 => 20 år!
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
24
Så lad os lige repetere de 5 formler – som altså i virkeligheden
kun er 2 forskellige, som i tillæg kombineres på forskellig vis
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
25
1.
(1 + r)N
- er det beløb, som står på bankkontoen ved udgangen af
periode N, når man ved starten af periode 1 investerer et
éngangs-beløb på 1 kr. til r % pr. periode
1
1
0
2
3
4
N-1
?
N
Start
2.
(1 + r)-N
Tid
= ’1’-1
- er det éngangs-beløb, som man skal investere ved starten af
periode 1 til r % pr. periode, når man ved slutningen af periode N
ønsker at have 1 kr.
?
0
1
2
3
4
N-1
1
N
Start
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
26
Tid
3.
(1 + r)N – 1
r
- er det beløb, som står på bankkontoen ved udgangen af periode
N, når man ved slutningen af hver periode investerer 1 kr. til r % pr.
periode
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
N-1
1?
N
Start
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
27
Tid
4.
(1 + r)N – 1
r * (1 + r)N
1 – (1 + r)-N . = ’3’ * ’2’
r
=
- er værdien d.d. af en indbetaling på 1 kr. ultimo i hver af N
perioder, altså en annuitet
?
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
N-1
1
N
Start
Eller =NV(rente; nper; ydelse; fv; type)
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
28
Tid
5.
r * (1 + r)N
(1 + r)N – 1
=
r
. = ’4’-1
1 – (1 + r)-N
- er den annuitetsydelse, der betales ult. N perioder og giver
en K0-værdi på 1 kr.
1
0
?
1
?
2
?
3
?
4
?
N-1
?
N
Start
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
29
Tid
I tillæg: Excel-formler til brug i Investering og Finansiering
Hvis man vil finde:
Brug:
Nutidsværdi:
=NV(rente; nper; ydelse)
Engelsk: =PV()
Ydelse:
=YDELSE(rente; nper; nv)
Engelsk: =PMT()
Rente:
=RENTE(nper; -ydelse; nv)
Engelsk: =RATE()
For
annuiteter
Antal terminer:
=NPER(rente; -ydelse; nv)
Slutværdi:
=FV(rente; nper; ydelse)
Effektiv forrentning: =IA(betalinger0-N)
Kapitalværdi0:
Engelsk: =NPER()
Engelsk: =FV()
Engelsk: =IRR()
=NUTIDSVÆRDI(rente; betalinger1-N) + Betaling0
Engelsk: =NPV()30
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
Så nu mangler jeg blot at sige
”Tak for nu!”
Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS
31