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MECÁNICA DE FLUIDOS - II
ONDAS NO LINEALES
Ecuaciones
ETSIA
Continuidad
Cantidad de movimiento
Energía
Ecuación de estado
Con ayuda de la ecuación de la energía, la de continuidad se escribe como:
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MECÁNICA DE FLUIDOS - II
ONDAS NO LINEALES
Ecuaciones (continuación)
ETSIA
Continuidad
Cantidad de movimiento
Multiplicando por  (con dimensiones de velocidad) la ecuación de cantidad de
movimiento y sumándola a la de continuidad, se obtiene la ecuación
Obsérvese que
a lo largo de
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a lo largo de
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ONDAS NO LINEALES
Ecuaciones (continuación)
ETSIA
para que ambas líneas coincidan
Sustituyendo los dos valores de  se obtienen las ecuaciones
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donde la última ecuación es la de la conservación de la entropía a lo largo de
las líneas fluidas. Estas ecuaciones, junto con a = a(p,), permiten resolver el
problema, al que hay que imponerle condiciones iniciales y de contorno.
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ONDAS NO LINEALES
Ecuaciones (continuación)
ETSIA
La solución se ve gráficamente en la siguiente figura, donde las magnitudes en P
dependen sólo de las magnitudes en A, B y C, que se propagan a lo largo de las
líneas dx/dt = u + a, dx/dt = u y dx/dt = u - a, respectivamente.
Conocidas variable p,  y u en el instante t = 0, se pueden determinar en el
instante t = dt mediante las ecuaciones siguientes
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ONDAS NO LINEALES
Ecuaciones (continuación)
ETSIA
Las condiciones de contorno se tratan de forma especial. Si el flujo parte de un
depósito cuyas magnitudes de remanso son conocidas y se conservan hasta el
primer nodo (P = 1), allí se tienen las dos relaciones de conservación de la
presión y densidad de remanso, junto con la información que trae la
característica que viene de aguas abajo
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ONDAS NO LINEALES
Ecuaciones (final)
ETSIA
Si el flujo acaba en una pared, en ese nodo (P = f), la velocidad es nula, pero
también hay dos ecuaciones más debido a los invariantes que llegan de aguas
arriba.
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Si el flujo descarga de forma subsónica a una presión exterior p = pext , sólo
habría que cambiar pf por pext y determinar uf, que ya no sería nula. En otras
palabras, se cambia el dato uf = 0 por pf = pext.
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ONDAS NO LINEALES
ETSIA
Movimiento homentrópico. Variables de Riemann
La ecuación de la energía indica que la entropía de las partículas fluidas se
conserva en su movimiento, S = Sp. Si todas las partículas tienen inicialmente la
misma entropía S0, se tiene un movimiento homentrópico . En esas condiciones
 y a son sólo funciones de p, ya que S0 es constante y las ecuaciones quedan
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Donde R+ y R- son las variables de Riemann.
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ONDAS NO LINEALES
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Variables de Riemann. Gases caloríficamente perfectos
En el caso de gases caloríficamente perfectos las relaciones de homentropía son
con p0, 0 y a0 constantes. Las variables de Riemann se reducen a
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ONDAS NO LINEALES
ETSIA
Ondas simples
Cuando una de las variables de Riemann es uniforme inicialmente, se mantendrá
uniforme posteriormente en la zona del campo fluido alcanzada por las
características que la transportan. Estos movimientos se llaman ondas simples.
Si R- = A = constante se tiene
que junto con
se obtiene
lo que indica que u es constante, y también a, a lo largo de las líneas C+,
donde R+ es constante. Como consecuencia de ello, las líneas características
C+ son líneas rectas de ecuación
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donde  es el valor de x para t = 0.
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ONDAS NO LINEALES
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Ondas simples (continuación)
Si en el instante inicial es u = F(), en ese mismo instante es
a = (-1)[A – F()]/2.
En cualquier otro instante se tiene u =F[x – (u + a)t] = F() y a = (-1)[A – u]/2.
Onda de expansión
Onda de
compresión
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ONDAS NO LINEALES
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Ondas simples (continuación)
En las ondas de compresión, dF/d < 0, las características se van acumulando y
comienzan a cortarse entre si y, como cada una transporta un valor distinto de la
velocidad, desarrollará primero un punto de pendiente vertical y luego se hará
una función multiforme de x en una cierta región del espacio, delimitada por la
envolvente de la familia de rectas C+. La solución multiforme no tiene sentido
físico. A partir del instante en se cortan por primera vez dos características de la
familia C+ es necesario introducir una onda de choque.
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ONDAS NO LINEALES
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Ejemplo ondas simples
Movimiento generado por el desplazamiento de un pistón.
x
Movimiento homentrópico. Invariante R- = 2a0 /(-1) = A constante. Solución de
la forma u = f1(x,t,a0,vp,); a = f2(x,t,a0,vp,). El análisis dimensional proporciona
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de modo que la solución sólo depende de la combinación x / a0 t y no de x y t
por separado.
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ONDAS NO LINEALES
Ejemplo ondas simples (continuación)
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El movimiento corresponde a una onda simple ya que R- es constante
t
x = - vp t
x = xp+ (ap - vp ) t
x = (ap - vp ) t
x = (a + u ) t
Cálculo del punto A: uA = 0 y aA = a0
B
D
x = a0 t
C+
C
A
u = 0 ; a = a0
C
Cálculo del punto C:
up = -vp y ap = a0 – ( - 1)vp/2.
R 
-
x
2
2
au 
a v
 1
 1 p p
Cálculo del punto B: uB = -vp y aB = ap.
Entre las líneas x = a0 t y x = (ap – vp) t se tiene la solución de semejanza.
En un punto tal como el D se tiene
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ONDAS NO LINEALES
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Ejemplo ondas simples (final)
Dado que
a p  a0 
 1
2
vp
el flujo es sónico cuando vp = ap, lo que implica
vp 
2a0
 1
y la velocidad del sonido en el pistón se anula, ap = 0, cuando v p  2a0
 1
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ONDAS NO LINEALES
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Ondas de compresión
La ecuación de la línea característica que parte del pistón en el instante t1 está
dada por
La velocidad del fluido es igual a up en todos los puntos de la recta y la del
sonido es a = ap = a0 + ( - 1)up / 2.
Las rectas anteriores convergen cuando dup / dt1 > 0. La envolvente de la familia
se obtiene eliminando t1 entre la ecuación anterior y su derivada respecto a t1:
En lugar de eliminar t1 resulta más cómodo despejar t:
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ONDAS NO LINEALES
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Ondas de compresión (continuación)
que sustituida en la primera ecuación (ecuación de la línea característica) de la
hoja anterior, proporciona
Esta ecuación, junto con la anterior
son las ecuaciones paramétricas de la envolvente. El valor mínimo de t sobre la
envolvente se obtiene de hacer dt / dt1 = 0 en la ecuación anterior
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lo que proporciona el valor de t1 correspondiente al punto de retroceso de la
envolvente.
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ONDAS NO LINEALES
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Ondas de compresión (up =  t)
Cuando la velocidad del pistón es up =  t para t > 0 (con up = 0 para t < 0) el
punto de retroceso corresponde a t1 = 0, donde d2up / dt12 no está definida y no es
válida la última ecuación deducida anteriormente. Sin embargo si son válidas el
resto de las ecuaciones, que con t1 = 0 se obtiene el punto de retroceso dado por
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ONDAS NO LINEALES
ETSIA
Muchas gracias
por su atención
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