Transcript 學生的數學架構 - 數學教師知識庫

學生的數學架構
學生的數學架構
哈特博士
報告：劉瑞珍
學生的數學架構
前言
中學數學與科學概念CSMS
Concepts in Secondary Mathematics and Science
中學生的數學解題策略SESM
Strategies and Errors in Secondary Mathematics
學生的數學架構CMF
Children`s Mathematical Frameworks
前二個階段的研究發現『學生會發展一些自己的方
法來解決問題：學童法(Child methods)和初學法
(Naive methods)』
學生在學習數學概念的過程中，教師常常使用具體
物來幫助學生學習，而學生從具體教具學習到數學公
式學習之間的轉型未成功
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具體操作，促進了解
Piaget認知發展階段理論
具體教具四種不同的使用方法
1.將具體教具嵌入教材中
2.具體教具是用來教某個概念的的基本概念
3.具體教具是用來證明所學的數學公式是很合理的
4.具體教具是用來較有結構的表達一個數學關係式
具體教具教學四優點
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研究方法
研究對象8~13歲的小孩
參與的教師在教學前需詳細寫出教材的處理次序及如何使用教具、
如何從具體操作到公式的教學教案
研究者與學生進行四次面談
第一次
面談
先備知識
具體教具教學
第二次
面談
數學公式教學
是否透過具體教
具操作之後就已
經了解公式？
第三次
面談
處理問題
的方式
三個月後
第四次
面談
1.是否還使用具體教具
2.是否已使用公式
3.是否仍用自己的方法
4.是否看出具體教具操
作與公式之間的關係
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研究單元
位值
立體的體積
圓周
等價分數
方程式
長方形的面積
擴大
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研究結果
一、教師從來不告訴學生為什麼學生需要學一般化的公式
你總不能一輩子帶
體積有時候是不能
著積木來算體積吧？
用積木來算的
為什麼要學公
式呢？
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研究結果(cont.)
二、同樣的教材，各個教師用具體教具操作的時間有
很大的差異
真的呀？我們老
師只花了5分鐘
耶
今天老師花一堂
課的時間使用具
體教具教學喔~
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研究結果(cont.)
三、學生的某些錯誤是來自教師本身犯了這種錯誤
例一
例二
29
37
+ 45
82
例三
37
- 28
例四
132
- 129
002
376
- 176
200
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研究結果(cont.)
四、教師在教學時常留下一個很大的斷層，希望學生
自己去補
體積 長 寬 高
36
3
9
3
4
10
12
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研究結果(cont.)
五、有時教師所使用的具體教具操作與演算法完全無關
教具操作 54 – 28 = 54–20-8 = 34-8 = 24+(10-8) = 24+2 = 26
演算法54-28=(40+14)-(20+8)=(40-20)+(14-8)=(40-20)+6=20+6=26
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研究結果(cont.)
六、有時教師所使用的具體教具操作比原來用演算法則
處理問題更困難
3x+5=14
x
x
x
5
3x=9
X=3
14
16
x
x
x
x
x
x
12
x
16-5x=12-3x
x
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研究結果(cont.)
七、教師在使用具體教具教學時，對於具體教具所展
現的真正意義似乎都沒有交代清楚
1
1/2
1/4
1/8
等價分數 1 = 2/2 = 4/4 = 8/8
6/10
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1
2
3
4
5
6
7
6/12 ≠ 3/8 但 6/11 = 6/12 ？為什麼？
你能看出哪一
個圖形是6/10嗎？
8
9
10
11
12
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研究結果(cont.)
八、教師常認為第一次學沒學會無所謂，反正中學有
機會再學一次，其實並不然
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研究結果(cont.)
九、評量時，教師不應該只注重答案的對錯，更應該
注意學生的解題過程
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研究結果(cont.)
十、學生犯錯的原因之一是教師將他們放在一個容易
犯錯的環境
45
19
54
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結論
Piaget理論的迷思
教師應分析具體教具教學與概念之間的關係
教師不要期望學生會操作教具來了解公式
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學童法和初學法的特徵
1.傾向於使用整數(whole number)
2.包括點數(Counting)或疊加(adding)的方法
3.只針對手邊的問題來解決，而無法發展成一般性的解法
4.當碰到較難的問題時，這些方法就不適用了
Piaget認知發展理論的要點是人處理資訊的容量會隨年齡增加而
增大，Case(1975，1978)據此提出假設“當學習者所處的學習環
境，需求他掌握的資訊量超過他的能力時，就趨向發展出合理但
過於簡化的解題策略”，就是所謂的學童法
成人算則
有效率的解題策略，只要會算，不必了解其意義
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Piaget 認知發展理論
sensorimotor stage (0~2)智慧採取感覺動作形式
→preoperation period(3~7)直覺的本能
→concrete operational stage(8~11)能以具體經驗解決問題
→formal operations stage(12~15)能做抽象思維