Transcript Beräkningar i naturvetenskap och teknik

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Dagens ämne:
Lite celest mekanik
( X ,Y , Z )
( x, y, z )
F
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Koordinatsystem
Kartesiska koordinater
Enhetsvektorerna är
ortogonala och normerade
z
y
ez
ey
ex
x
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Cylinderkoordinater
z
ez
e
e
z


x
y
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Vektor- och skalärprodukt i cylinderkoordinater
e z  (0,0,1)
sin 
e   (cos, sin ,0)
e

Ortogonala
i, j  1,2,3 i  j
ei  ei  1
Högersystem
e   e  e z
e  e z  e 
e z  e   e
e
cos 
e  ( sin , cos,0)
ei  e j  0
y
e
sin 

cos 
x
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Sfäriska koordinater
z
er
e


e
x
y
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Lite inledande mekanik
Kraftlagen
dp
F
dt
Momentet
T  rF
d2r
F m 2
dt
T
F
r
L
Rörelsemängds
momentet
ger:
L  r  p  r  mv
r
d L d (r  p) d r
dp


 pr
 v  mv  r  F  0  T
dt
dt
dt
dt
mv
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Rörelsemängdsmomentet är konstant...
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
r  L  r  (r  p)  0
dL
T
dt
T  rF
Centralkraft
r x p är vinkelrät mot r, dvs r
är vinkelrät mot L som är
konstant.
dL
 0  L  constant
dt
T 0
F
r
1. Rörelsemängdsmomentet är en
rörelsekonstant
2. Rörelsen sker i ett plan
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
För att sätta upp rörelseekvationerna
behöver vi känna accelerationen
i cylinderkoordinater.
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Hastigheten i cylindriska koordinater
r  (  cos,  sin , z)
dr d
 (  cos ,  sin  , z )  (  cos   sin  ,  sin    cos , z) 
dt dt
  (cos , sin  ,0)   ( sin  , cos ,0)  (0,0, z)
Rörelse i planet givet av centralkraften
z  0
dr
  (cos , sin  )   ( sin  , cos )   e    e
dt
Radiell hastighet
vinkelhastighet
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Accelerationen i cylindriska koordinater
dr
  (cos , sin  )   ( sin  , cos )   e    e
dt
d2r d
d
d
 (  e    e )  e    e    e   ( e )
2
dt
dt
dt
dt
 e   
d
d
e    e   (e   e )
dt
dt
d
d
e  och e ?
dt
dt
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Accelerationen i cylindriska koordinater
d
d
e  och e
dt
dt
e   (cos, sin ,0)
e  ( sin , cos,0)
d
d
e   (cos  , sin  )  ( sin  ,  cos  )   e
dt
dt
d
d
e  ( sin  , cos  )  ( cos  ,sim )   e 
dt
dt
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Accelerationen i cylindriska koordinater
d2r
d
d








  e    e    e   ( e   e )
2
dt
dt
dt
med ins. enl. ovan
d2r
2











e



e



e



e



e 




2
dt
 (    2 )e   (2  )e
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Rörelsekvationerna i centralkraftsystemet
d2r
F m 2
dt
( Fx , Fy , Fz )  m(x, y, z)
med accelerationen i planet
d2r
2




(




)e   (2   )e
2
dt
kan detta också skrivas:
F e   F e  Fz e z  m(e  (    2 )  e (2  )  ze z )
0
0
0
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Rörelsekvationerna i planet i cylinderkoordinater
F e   m(    2 )e 
Beror av kraftens form
0  m(2  )e
Kan integreras utan att kraften specifieras
2     0
Man utnyttjar nu följande trick...
1 d 2
1
(   )  (2    2)
 dt

d
(  2 )  0
dt
vilket ger
dvs
 2  konstant
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Sektorhastigheten
dA 
1
  d
2
y
dA 1 2 d 1 2
 
  
dt 2
dt 2
dA
d


x
L  r  p  r  mv   e  ( e   e )
 m  e z
2
 konstant(enl.ovan)

 2  konstant
Keplers andra lag
L
dA 1 2
    konstant  0
dt 2
2m
l  m 
2
l
  2
m
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Rörelsekvationerna i planet i cylinderkoordinater
F e   m(    2 )e 
F  m(   2 )
nu används
l
  2
m
men
2
l
  2   2  4 2
 m
 m
l 2
F  m(   4 2 )
 m
l
l2
F  m  3
m
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Energin är en andra rörelsekonstant...
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
En andra rörelsekonstant
För en konservativ kraft, dvs en kraft som har en potential
d
F   V
d
l2
F  m  3
m
l2
m  F  3
 m
d
l2
m  
(V  2 )
d
2 m
Nytt trick...
d
d d
l2
m

(V  2 )
dt
dt d
2 m
dV
l2
m  
 3
d  m
multiplicera med
d
l2
m   (V  2 )
dt
2 m
Detta är lika med
d
dt
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Fortsätt med att titta på
vänsterledet i ekv nedan
d
l2
m   (V  2 )
dt
2 m
v.l. kan skrivas
d 1
( m 2 )  m
dt 2
Vi har nu tidsderivator på båda sidor av denna ekvation!
2
d 1
d
l
( m 2 )   (V  2 )
dt 2
dt
2 m
dvs
2
d 1
l
( m 2  V  2 )  0
dt 2
2 m
1
l2
2
m  2  V  konstant
2
2 m
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
1
l2
2
m  2  V  konstant
2
2 m
Hastigheten är
Från L konstant har vi (fortfarande)
m 2 ρ 4 2 mρ 2 2


2
2
2 m
2ρ m
2
l2
1
m 2 2
2
m 
 V  konstant E
2
2
dr
  e    e
dt
l
  2
m
l 2   2 2 m2
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Lösningen till rörelsekvationerna
Man kan nu antingen välja att försöka integrera lösningen
i tidsvariabeln eller söka en lösning som funktion av vinkeln.
Vi börjar med det senare fallet:
l2
F  m  3
m
l
  2
m
F  
l  m 
2
k
2
l2
  2  m  3

m
k
ldt  m d
2
d
l d

dt m 2 d
d2
d
l d
l d
l d
 ( 2
)
( 2
)
2
2
dt
dt m d
m d m d
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Lösningen till rörelsekvationerna
d2
d
l d
l d
l d
 ( 2
)
( 2
)
2
2
dt
dt m d
m d m d
l2
 2  m  3

m
k
I detta läge har man således
d
l d
l2
k
(
) 3   2
2
2
 d m d  m

l
1 d
d (1 /  )

2
 d
d
men
Binet!
u  1/ 
2 3
l du l u
2 d
lu
(
)
 ku 2
d m d
m
2
2
l u d 2u l 2 u 3
2




ku
m d 2 m
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Lösningen till rörelsekvationerna
Binets ekvation för keplerfallet (1/r2 )
2
2
l u d 2u
( 2  u)  ku 2
m d
Andra ordningens diff ekv. (löses med den sekulära ekvationen!)
d 2u
km
( 2  u)  2
d
l
km
u  A cos(    )  2
l
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Olika typer av banor
km
u  A cos(    )  2
l
km
l2
km
 2 (1  A
cos )  2 (1  e cos )
 l
km
l
1
Referensriktning då α lika med noll
l2
1

km (1  e cos )
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Olika typer av banor
l2
1

km (1  e cos )
e 2  1 hyperbel
e 2  1 parabel
e 2  1 ellips
e 2  0 cirkel
Undersöks på egen hand i projektet!
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Banrörelse ρ(t)
1
m 2 2
2
m 
 V  konstant E
2
2
2 k
l2
 
( 
 E)
2
m  2m
1
dt 
2
d
2 k
l
( 
 E)
m  2m

t 
m
2 0
1
l2
( 
 E)
 2m
k
d
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Banrörelse ρ(t)

t 
m
2 0
1
(
k


2
d
l
 E)
2m
Denna integral kan i princip lösas för t(ρ) men är inverteringen
ρ(t) är inte möjlig i enkla funktioner. Samma sak gäller för vinkeln
som funktion av tiden.
Vad kan man göra?
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Ytterligare ett variabel byte...
  a(1  e cos )
a

t
Halva storaxeln
Eccentriska anomalin
Genomsnitts anomalin

a
t
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
efter detta variabelbyte...

t 
ma 3
(1  e cos  )d

k 0
Keplers 3e lag (kan också fås genom geometrisk betraktelse)

ma 3
k
2
 (1  e cos  )d  2a
0
3/ 2
m
k
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Generellt vid tiden t
t 
ma
k
2
k
 


m a3
Hur få ρ(t)?
  a(1  e cos )
3
 (1  e cos  )d 
0
ma 3
(  e sin )
k
Keplers ekvation
t    e sin
Endast numerisk lösning
ger sedan ρ (detta var vår substitution)!
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Tvåkropparsproblemet
För två kroppar under ömsesidig vxv ersättes m med reducerade
massan ovan:
m1m2

m1  m2
Trekropparsproblemet...
Har lett till många försök till lösning (Poincare mfl). Det
existerar serieutvecklingslösningar...Läs gärna själv historien
bakom inkluderande ex.vis Mittag-Lefflers pris.
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Notera att volymelementet i cylinderkoordinater är:
1
dV  ddrdz
2
z
d
y
dz
d
x