Transcript EDO de 2ª ordem Linear homogênea

EDO de 2ª ordem
Linear
Matemática para Economia III
2013.2
EDO de 2ª ordem linear
Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma
d2 y
dy 

 f  t , y, 
2
dt
dt 

(1)
onde f é alguma função dada. A equação (1) é dita linear
se a função f tem a forma
dy 
dy

f  t , y,   g (t )  p(t )  q(t ) y
dt 
dt

Ou seja,
d2y
dy
 p(t )  q(t ) y  g (t )
2
dt
dt
onde p,q e g:(a,b)→IR.
(2)
EDO de 2ª ordem linear
Um P.V.I é constituido por (2) e uma par
de condições
y(t0)=y0 e y’(t0)=y’0
onde y0 e y0’ são números dados.
Uma equação linear de segunda ordem
é dita homogênea se a função g(t) é
igual a zero para todo t.
EDO de 2ª ordem linear
homogênea
Então uma EDO 2ª ordem linear homogênea é da
forma:
y’’+p(t)y’+q(t)y=0
(3)
Vamos estudar as soluções de (3) com as funções
p e q constantes.
Exemplo 1: Resolva a equação y” – y = 0.
Temos neste caso p = 0 e q = - 1.
Isto significa procurar uma função cuja derivada
segunda é igual a ela mesma.
EDO de 2ª ordem linear
homogênea
Facilmente identificamos que
y1(t) = e t e y2 (t) = e -t
servem.
Também servem
c1 y1 (t) = c1 e t e c2 y2 (t) = c2 e -t
E mais
y = c1 y1 (t)+c2 y2 (t) = c1 e t + c2 e –t,
para c1 e c2 quaisquer.
EDO de 2ª ordem linear
homogênea
Teorema: (Princípio da Superposição)
Se y1 e y2 são soluções da
equação diferencial
y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0,
então a combinação linear
c1y1(t) + c2y2(t)
também é solução , quaisquer que
sejam os valores das constantes c1 e
c2 .
Wronskiano
Vamos verificar as condições para que
uma solução da forma
c1y1(t) + c2y2(t)
satisfaça o P.V.I.
y(t0)=y0 e y’(t0)=y’0
(quadro)
O Wronskiano e a independência
linear das soluções
Definição:
 Duas funções y1, y2:(a,b)→IR são L. D. se existe uma
constante k tal que
y2(t)=k y1(t).
 Duas funções y1, y2:(a,b)→IR são L. I. se a condição
c1y1(t) + c2y2(t)=0
implicar que c1=c2=0.
Teorema: Se y1 e y2 são soluções da equação
diferencial
y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0
num intervalo (a,b) e se W[y1,y2](t0)≠0 num ponto do
intervalo então y1 e y2 são L. I. sobre (a,b). De outra
forma, se y1 e y2 forem L. D. sobre (a,b) então
W[y1,y2](t)=0 para todo t em (a,b).
EDO de 2ª ordem linear
homogênea

Pode-se concluir que o espaço das
soluções das EDO’s de 2ª ordem
lineares homogêneas tem
dimensão....
EDO de 2ª ordem linear homogênea
com coeficientes constantes

Vamos reescrever (3) da seguinte forma:
y’’+p y’+q y=0
(3’)
Derivada de 2ª Derivada de 1ª Derivada de
ordem
ordem
ordem zero (a
própria função)
Candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar!
Substituindo em (3’) obtemos
λ2 eλt+p λ eλt+q eλt=0 eλt (λ2+p λ+q)=0
EDO de 2ª ordem linear homogênea
com coeficientes constantes
Para que y(t)=eλt seja solução devemos
λ2+p λ+q=0 (4)
que é conhecida como equação característica auxiliar
da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau
temos três possibilidades para suas raízes

EDO de 2ª ordem linear homogênea
com coeficientes constantes
Caso 1: (p2-4q>0) Duas raízes reais distintas: λ1 e λ2.
Candidatos a solução:

y1  e1t e y2  e2t
Calculando o Wronskiano dessas soluções temos que:
W [ y1 , y2 ](t ) 
y1 (t )
y2 (t )
y1 ' (t ) y2 ' (t )

e 1t
e 2 t
1e t 2e t
1
2
 (2  1 )e 1t e 2t  0 ( se 1  2 )
Portanto as soluções y1 e y2 dadas são L.I. e neste caso a solução
geral é da forma
1t
y(t )  C1e  C2e
2 t
Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária
y’’ – 5y’ +6 y = 0.