Transcript Kolorowanie węzłów

Kolorowanie węzłów
Monika Rosicka
Definicja
1. Węzłem nazywamy obraz okręgu S1 w R3
odwzorowanego za pomocą zanurzenia
homemorficznego.
2. Węzeł nazywamy wielościennym jeśli jest sumą
skończonej ilości odcinków.
K1
Dwa węzły K1 i K2 są równoważne jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie
F: R3 × [0,1]→ R3 × [0,1],
taka, że:
F0(x) = Id
F1(K1) = K2
gdzie Ft(x) = F(·,t) jest homeomorfizmem.
K2
Będziemy rozpatrywać tylko węzły równoważne węzłom wielościennym
Węzeł dziki
(Nie jest węzłem wielościennym)
Diagram węzła
Węzły reprezentuje się przy pomocy ich rzutu regularnego na płaszczyznę.
Niech p:R3→R2 będzie rzutem, a K węzłem w R3. Punkt x  p(K) nazywamy
wielokrotnym jeżeli p-1(x) zawiera więcej niż jeden punkt.
Rzut węzła nazywamy regularnym jeżeli:
1. jest tylko skończona ilość punktów wielokrotnych i wszystkie punkty
wielokrotne są podwójne.
2. Żaden wierzchołek węzła wielościennego nie jest przeciwobrazem punktu
podwójnego.
Sytuacje niedozwolone przy rzucie regularnym:
Dla każdego węzła wielościennego istnieje rzut regularny.
tunel
most
węzeł
Diagram węzła
Obraz węzła w rzucie regularnym z zaznaczeniem, która część
łuku idzie dołem, a która górą nazywamy diagramem węzła.
Ruchy Reidemeistera
Dwa diagramy węzłów są
równoważne, jeśli od
jednego do drugiego można
dojść przy pomocy
skończonej ilości ruchów
Reidemeistera (Ri) lub ich
odwrotności.
Twierdzenie (Reidemeister, 1927)
Dwa węzły są równoważne
wtedy i tylko wtedy gdy ich
diagramy są równoważne.
Trójkolorowanie
Twierdzenie
Jeśli każdemu łukowi w diagramie
przyporządkujemy jeden z trzech
kolorów w taki sposób, że na
każdym skrzyżowaniu występuje
albo jeden kolor albo wszystkie trzy,
to węzły równoważne mają taką
samą liczbę możliwych kolorowań.
Węzeł trywialny ma 3
możliwe kolorowania.
Ten węzeł można
pokolorować na 9
różnych sposobów,
więc nie jest
trywialny.
Tego węzła nie można
pokolorować trzema różnymi
kolorami.
Nie jest to jednak węzeł
trywialny.
n - kolorowanie
Dla n kolorów numerujemy
je od 0 do n-1 i kolorujemy
łuki diagramu tak, aby na
każdym skrzyżowaniu
spełniona była równość:
a + c = 2b(mod n)
a
b
c
Twierdzenie:
Jeśli dwa węzły są równoważne, to
ilość możliwych n – kolorowań ich
diagramów jest taka sama.
1+4 = 2*0
0
1
2+0=2*1
2
4
1+2=2*4(mod 5)
4+0=2*2
Ten węzeł da się pokolorować
różnymi kolorami przy 5kolorowaniu.
Ten węzeł (Kinoshita-Terasaka) nie daje się pokolorować
różnymi kolorami dla żadnego n. Nie jest jednak trywialny.