Transcript LE problème de transport
GESTION DU PROBLEME DE TRANSPORT
Réalisé par : Salma ADNAN & Ghita ACHOUAK 2008-2009
SOMMAIRE
Recherche Opérationnelle Management Logistique 2
INTRODUCTION
La gestion du problème de transport est parmi les préoccupations majeures des entreprises.
La RO permet une modélisation de ces problèmes en utilisant plusieurs méthodes.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 3
La théorie des graphes
Un graphe est une représentation symbolique d’un réseau. Il s’agit d’une abstraction de la réalité de sorte à permettre sa modélisation.
Un réseau de transport, comme tout réseau, peut être représenté sous forme de graphe. Un graphe G consiste en un ensemble de noeuds Par suite, v et d’arcs e . Un sommet point d’intersection d’un graphe .
Un arc flèche.
e G=(v,e) . v (nœud )est un point d’extrémité ou un est un lien entre deux sommets. Un arc possède une direction souvent symbolisée par une Recherche Opérationnelle Management Logistique 4
La théorie des graphes
Ce graphe se définit de façon suivante: G = (v,e) v = (1,2,3,4,5) e = (1,2), (1,3), (2,2), (2,5), (4,2), (4,3), (4,5) On appelle un sous-graphe d'un graphe un graphe dont on a enlevé des sommets. Dans le graphe p=1.
G précédant, le sous graphe Recherche Opérationnelle Management Logistique 5
la théorie des graphes
Une arête est un groupe de deux sommets tels que chaque sommet fait partie de l’ensemble des correspondants de l’autre sommet. Ce graphe comporte 5 arcs [(1,2), (2,1),(2,3), (4,3), (4,4)] et 3 arêtes [(1-2), (2-3), (3-4)].
Recherche Opérationnelle Management Logistique 6
la théorie des graphes
L’établissement de chemins est une étape fondamentale dans la mesure d’accessibilité et de flux de trafic au sein d’un réseau.
Un chemin eulérien est un chemin simple qui passe une fois et une seule par chaque arc.
Un chemin hamiltonien est un chemin qui passe une fois et une seule par chaque sommet.
Une chaîne est une suite d’arcs telle que chaque arc de la suite a une extrémité en commun avec l’arc précedent. La direction n’a pas d’importance.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 7
la théorie des graphes
Un circuit est un chemin fini et fermé dont l’extrémité terminale du dernier arc coïncide avec l’extrémité initiale du premier. Un cycle est une chaîne dont le sommet initial et terminal coïncide et qui n’emprunte pas le même arc constitue un cycle.
Il convient de distinguer deux grands types de graphes : les graphes orientés et ceux qui ne le sont pas (les graphes non orientées).
Recherche Opérationnelle Management Logistique 8
LE problème de transport
PRESENTATION Le P.T est un problème classique de la R.O
La solution du P.T est celle qui permet de transporter les flux du point de départ au point d’arrivée.
La solution doit également être la plus économique. Recherche Opérationnelle Management Logistique 9
LE problème de transport
FOMRMULATION Données : un ensemble K d'usines, un ensemble L de clients, a b les coûts de transports unitaires c(k,l) Recherche Opérationnelle Management Logistique 10
LE problème de transport
FOMRMULATION
a 1
1
c 11 x 11 c 12 x 12
1
b 1 a 2
2 2
b 2 a p
p Recherche Opérationnelle
c p2 x p2 c pq x pq
Management Logistique q
b q
11
LE problème de transport
FOMRMULATION On suppose que: Hypothèse 1: k p 1 a k l q 1 b l où a k >0 et b l > 0.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 12
LE problème de transport
FOMRMULATION Le P.T peut être modélisé de la méthode suivante: (T) Min z k p q 1 1 l c k l x k l l q 1 x k l a k k p 1 x k l x k l 0 b l Recherche Opérationnelle k 1,2,..., p l 1,2,..., q k 1,2,..., p et l 1,2,..., q Management Logistique (disponibi lité) (demande) 13
LE problème de transport
FOMRMULATION Sous l’hypothèse (1), (T) est dit :
« Le problème Standard de Transport »
(PST) k p 1 a k k p q l 1 x kl l q p k 1 x kl l q 1 b l Recherche Opérationnelle Management Logistique 14
LE problème de transport
FOMRMULATION Si k p 1 a k q l 1 b l alors on crée un
client fictif
:
b c
q 1 kq 1 k p 1
a
k
0, k
q l 1
b
l
1,2,..., p
Recherche Opérationnelle Management Logistique 15
LE problème de transport
FOMRMULATION Si k p 1 a k q l 1 b l alors on crée un
entrepôt fictif
: a c p p 1 1k k p 1 b l 0, k q l 1 a k 1,2,..., p Recherche Opérationnelle Management Logistique 16
LE problème de transport
La solution de base initiale:
(a) La règle du coin Nord-Ouest (b) La règle des Coûts Minimums (c) Méthode des Approximations de Vogel Recherche Opérationnelle Management Logistique 17
LE problème de transport
A- La règle du coin Nord-ouest : Soit le problème suivant: Une E/se de vente représentant trois dépôts et 5 client. La Matrice des couts ainsi que la disponibilité et la demande du produit sont Client 1 2 3 4 5 Dispo Dépôt I II III 5 7 8 6 9 3 4 1 6 8 52 10 6 4 80 50 70 DDE 40 20 60 30 50 200 Recherche Opérationnelle Management Logistique 18
LE problème de transport
A- La règle du coin Nord-ouest (The Northwest Corner Rule) 1 2 3 4 5
a i
I 80 II III 50 70
b J
40 20 60 30 50 Recherche Opérationnelle Management Logistique 19
LE problème de transport
A- La règle du coin Nord-ouest : On répète cette étape Jusqu’à ce que la Solution initiale soit obtenue 1 2 3 4 5
a i b
I II III 40 20
J
40 0 20 0 60 30 50 80 40 20 50 70 Recherche Opérationnelle Management Logistique 20
LE problème de transport
La solution initiale est atteinte
Matrice de S.I
I 1 2 3 40 20 20 4 5
a i
80 40 20 0
b
II III
J
40 10 50 10 0 20 50 70 50 0 40 0 20 60 0 40 0 30 50 20 0 0 Recherche Opérationnelle Management Logistique 21
LE problème de transport
B- la méthode de Vogel Appelée également méthode des regrets ou de la différence maximale, ou de Balas-Hammer Cette méthode permet d’obtenir la solution optimale en moins d’itération Recherche Opérationnelle Management Logistique 22
LE problème de transport
I 5 1 6 2 4 3 8 4 10 5 ai 80
1 5-4
II 7 9 10 5 6 50
1 6-5
III 8 bj 40 3 20 2 7-5
Recherche Opérationnelle
3 6-3 6 60 2 6-4 2 30 30 0 3 5-2
Management Logistique
4 50 2 6-4 70 40
1 3-2 23
LE problème de transport
I 5 1 6 2 4 3 4 10 5 ai 80
1 5-4
II 7 9 10 6 50
1 6-5
III 8 bj 40 2 7-5 3 20 20 0 3 6-3 6 60 2 6-4
Recherche Opérationnelle
30 0 __ 4 50 6-4
Management Logistique
2 40 20
1 3-2 24
LE problème de transport
I 5 1 II 7 2 3 4 10 60 4 10 6 5 ai 80 20 50
1 1
III 8 bj 40
Recherche Opérationnelle
2 6 20 0 60 0 __ 2 30 0 4 50 __
Management Logistique
2 20
2 25
LE problème de transport
I 5 1 20 II 7 2 3 4 10 5 60 6 ai 20 0 5 50
1
III 8 bj 40 20 2 20 0 0 4 30 0 50 __ __ __ 2 20
4 Recherche Opérationnelle Management Logistique 26
LE problème de transport
I 20 II 7 1 2 3 4 60 6 5 ai 0 50
1
III 8 bj 20 2 20 0 0 30 0 4 50 30 20 20 4 __ __ __ 2
Recherche Opérationnelle Management Logistique 27
LE problème de transport
bj 1 I II 20 7 20 III 20 0 2 20 0 2 __ 60 3 0 __
Recherche Opérationnelle
4 30 0 __
Management Logistique
5 ai 0 6 20 30 0 2 30 50
0
0
28
LE problème de Transport
Exemple du transport de M/SE
La société GALAXY ELECTRONICS est spécialisée dans la vente d’articles électroménager, cette dernière doit livrer ses 4 clients, qui lui achètent respectivement 10, 8, 5 et 7 de produit. Il lui reste exactement 30 articles mais ils sont répartis sur 3 entrepôts : 6, dans le 1 er , 9 dans le 2 e et 15 dans le 3 e .
Les coûts de transport, en DH/A, entre chaque entrepôts R i et chaque point de livraison L tableau suivant: j sont donnés dans le Recherche Opérationnelle Management Logistique 29
LE problème de transport
Points de livraison Entrepôt R 1 R 2 R 3 L 1 L 2 4 3 5 6 Recherche Opérationnelle Management Logistique L 3 7 5 9 L 4 2 2 7 30
LE problème de transport
Destinations L 1 L 2 L 3 L 4 Disponibilités Sources R 1 R 2 4) 3) 3) 4) 7) 5) 2)
6
2)
6 0 9
R 3 5) 6) 9) 7)
15
Demandes
10 8 5
Management Logistique
7 1
Z=?
Recherche Opérationnelle 31
LE problème de transport
D estinations L 1 Sources R 2 3) 4) L 2 5) L 3 R 3 5) 6) 9) L 2) 1 7) 4 Demandes
10 8 5 1 0
Disponibilités
9 8 15
Z=?
Recherche Opérationnelle Management Logistique 32
LE problème de transport
Destinations L 1 L 2 Sources R 2 R 3 Demandes 3) 8 5) 4) 6)
10 2 8
5) L 9)
5
3 Disponibilités
8 0 15
Z=?
Recherche Opérationnelle Management Logistique 33
LE problème de transport
Destinations L 1 L 2 Sources R 3 Demandes 5)
2 2 0
6)
8 8 0
L 9)
5 5 0
3 Disponibilités
15 0
Z=?
Recherche Opérationnelle Management Logistique 34
LE problème de transport
Destinations L 1 L 2 L 3 L 4 Sources R 1 4) R 2 R 3 Demandes Recherche Opérationnelle 3)
8
5)
2 10
3) 4) 7) 5) 2)
6
2)
1
7) 6)
8
9)
5 8 5
Management Logistique
7
Disponibilités
6 9 15 Z=131
35
L’aLgorithme de stepping stone
Application
: Soit le tableau suivant traduisant les coûts pour chaque unitée transférée entre les sources et les puits : Recherche Opérationnelle Management Logistique 36
L’aLgorithme de stepping stone
1- Recherche d’une solution de base
Recherche Opérationnelle Management Logistique 37
L’aLgorithme de stepping stone
2 Amélioration de la solution de base a/ C alculer les coûts marginaux notés pour chaque liaison non affectée b/ Si tous les sont positifs ou nuls Fin Sinon, prendre le cycle de substitution associé au le plus petit.
c/ Retour en a Les quantités unitaires. constituent les couts marginaux Recherche Opérationnelle Management Logistique 38
L’algorithme de stepping stone
Il faut prendre toutes les lignes non utilisées avec la solution de base déterminée en 1, et pour chacune d’elle essayer de faire passer une unité sur celle-ci tout en pr éservant l’équilibre original du graphe.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 39
L’aLgorithme de stepping stone
Détermination des coûts marginaux : Recherche Opérationnelle Management Logistique 40
L’algorithme de stepping stone
On détermine maintenant le cycle de substitution de : Recherche Opérationnelle Management Logistique 41
L’algorithme de stepping stone
On détermine donc les modifications à effectuer au final : On retourne maintenant à l’étape 1 de l’algorithme Recherche Opérationnelle Management Logistique 42
probLème d’affectation
Les problèmes d’affectation sont des cas spéciaux du problème de transport où la demande associ ée à chaque destination est égale à 1.
Il existe une méthode, “la méthode hongroise” qui simplifie la résolution du problème d’affectation.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 43
Problème d’affectation Formulation Recherche Opérationnelle Management Logistique 44
Problème d’affectation La méthode hongroise ( algorithme de KHUN) L ’algorithme de résolution du problème d’affectation fut crée par Harold KUHN en 1955. Il est utilisé pour minimiser un cout ou maximiser une satisfaction suite à différentes affectations .
Il s'agit d'affecter :
des famille de produits à des zones de stock, des commerciaux à des secteurs, - des ouvriers sur des machines, - ...
Recherche Opérationnelle Management Logistique 45
probLème d’affectation La méthode hongroise
Application
: • Les coûts de fabrication des ouvriers sur les diverses machines sont donnés par le tableau ci-dessous.
• Chercher la meilleure affectation de manière à rendre le coût de fabrication minimal Recherche Opérationnelle Management Logistique 46
Problème d’affectation
La méthode hongroise
Etape 1 : Obtention des zéros
Créer une nouvelle matrice des coûts en choisissant le coût minimal dans chaque colonne et en le soustrayant de chaque coût dans la colonne ( Idem pour les lignes ).
Recherche Opérationnelle Management Logistique 47
Problème d’affectation
La méthode hongroise
Etape 2:Recherche d ’une solution optimale
- On cherche la ligne ou des lignes comptant le moins de zéro.
On encadre un des zéros de cette ligne, puis on barre les zéros qui se trouvent sur la même ligne et dans la même colonne que les zéros encadrés.
On répète le processus pour les lignes restantes.
Un zéro encadré par ligne ⇒ Solution optimale Recherche Opérationnelle Management Logistique 48
Problème d’affectation
La méthode hongroise La ligne 4 ne contient pas un zéro encadré donc on va appliquer l ’étape 3 et 4 de l’algorithme.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 49
Problème d’affectation
La méthode hongroise
Etape 3 :Recherche des rangées en nombre minimal contenant tous les zéros: a.
On marque d ’une croix toute ligne ne contenant aucun zéro encadré.
b.
On marque toute colonne qui a un zéro barré sur une ou plusieurs lignes marquées.
c.
On marque toute ligne qui a un zéro encadré sur une ou plusieurs colonnes marquées.
d.
On répète
b)
et
c)
jusqu ’à ce qu’il n’y ait plus de colonne ou de ligne à marquer.
On trace un trait sur toute colonne marquée.
On trace un trait sur toute ligne non marquée.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 50
probLème d’affectation
La méthode hongroise Recherche Opérationnelle Management Logistique 51
Problème d’affectation
La méthode hongroise -
Etape 4: Déplacement de certains zéros:
Tableau partiel : éléments traversés par aucun trait.
Le plus petit élément du tableau partiel est ajouté aux éléments rayés deux fois et retranché des éléments du tableau.
Retour à la phase 2.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 52
Problème d’affectation
La méthode hongroise Le plus petit élément est 2, ainsi on aura le tableau ci dessous: Recherche Opérationnelle Management Logistique 53
Problème d’affectation
La méthode hongroise Recherche Opérationnelle Management Logistique 54
Problème d’affectation
La méthode hongroise Recherche Opérationnelle Management Logistique 55
Le Problème de flots
DEFINITION DU FLOT Un flot dans un graphe est une valuation des arcs respectant la loi de conservation des flux (loi de Kirchhoff)
u
u
u
u
Recherche Opérationnelle Management Logistique 56
Le Problème de flots
G
Soit un graphe G=(X ,U),( , c, s, t) est
réseau
SSI : est un graphe orienté connexe sans boucle; Ce graphe est valué : chaque arc (u, v) du graphe a une capacité c(u, v); la source s de degré entrant nul : le puits t de degré sortant nul.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 57
Le Problème de flots
Un flot est complet si pour tout chemin allant de la source au puits, il y a au moins un arc Saturé.
P.S
o Un flot complet n’est pas forcément Maximum.
o Un flot maximum est forcément complet Recherche Opérationnelle Management Logistique 58
Le Problème de flots
Exemple de flot complet 1 2 3 On veut acheminer un produit à partir de 3 entrepôts (1,2,3) vers 4 clients (a,b,c,d) Quantités en stock : 45, 25, 25 Demande des clients : 30,10, 20, 30 a 10 Limitations en matière de transport d’un entrepôt à un client a b c d 1 1 20 5 E
[0,25]
2 b 20 5 5 c 10 10 3 S Recherche Opérationnelle Management Logistique d 59
Le Problème de flots
Exemple de flot complet a 1 b E [0,25],
25
2 c 3 S d
Valeur du flot = 80
Ce flot est un flot complet , c à-d, tout chemin de E à S comporte au moins un arc saturé Recherche Opérationnelle Management Logistique 60
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson Cas d’utilisation :Problèmes de charge maximale admissible par des réseaux (électriques, informatiques, routiers) Principe fondamental Kirchhoff :A tout moment, la loi de doit être vérifiée sur chaque sommet x de G But : Augmenter le flot jusqu’à son maximum tout en respectant cette règle Recherche Opérationnelle Management Logistique 61
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson Principe général : On part d’un
flot compatible
(généralement 0) On utilise deux fonctions alternativement
Procédure de marquage Procédure d’augmentation du flot
Recherche Opérationnelle Management Logistique 62
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
Procédure de marquage
But : trouver une
chaîne améliorante
Principe : Marquage des sommets selon
deux critères :
Delta (flot max que l ’on peut faire parvenir au sommet) Sommet de provenance Recherche Opérationnelle Management Logistique 63
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
Procédure d’augmentation du flot
But : augmenter le flot dans le graphe selon la valeur et le marquage obtenu par la procédure de marquage Principe : Parcours du graphe du puit vers la source suivant les indications de provenance de la procédure de marquage Recherche Opérationnelle Management Logistique 64
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson Chercher le flot complet du réseau.
8
a c
4 4 7 8 3 2 7
S b d
10 3 4 6 3 Recherche Opérationnelle Management Logistique
e P
Capacité 65
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson 1 er marquage
S
(+)
7
[0]
10
[0] a
(+S)
8
[0]
4
[0]
8
[0]
2
[0] b
(+S)
3
[0]
Recherche Opérationnelle
c
(+a)
3
[0] d
(+a)
4
[0]
3
[0]
Management Logistique
e
(+b)
4
[0]
7
[0] P
(+c)
6
[0]
()
Marquage
[]
Flot Capacité 66
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson Le flot sur cette chaîne est maintenant F1=4
S
(+)
7
[4]
f
1 /
v
1
a
(+S)
8
[4]
4
[0]
8
[0]
2
[0] b
(+S)
3
[0]
On remarque que le flot est complet dans ,
c
cet arc est saturé.
P
3
[0]
Recherche Opérationnelle Management Logistique
c
(+a)
3
[0]
4
[4] d
(+a)
4
[0] e
(+b)
7
[0] P
(+c)
6
[0]
()
Marquage
[]
Flot Capacité 67
Le flot sur cette chaîne est maintenant F2=3
a
(+S)
8
[4]
4
[3]
7
[4+3]
8
[0]
2
[0] S
(+)
10
[0] b
(+S)
3
[0]
S
a
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson :cet arc est
saturé
.
Recherche Opérationnelle 3
[0]
Management Logistique
c
(+a)
3
[0] d
(+a)
4
[0] e
(+b)
4
[4]
7
[3] P
(+d)
6
[0]
()
Marquage
[]
Flot
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson F3=3
b
d
S
(+)
Est Recherche Opérationnelle 7
[7]
10
[3] a
(-c)
8
[4]
4
[3]
8
[0]
2
[0] b
(+S)
3
[3]
saturé 3
[0]
Management Logistique
c
(+b)
3
[0]
4
[4] d
(+b)
4
[0] e
(+b)
7
[3+3] P
(+d)
6
[0]
()
Marquage
[]
Flot
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson F4=3
S
(+)
a
(-c)
8
[4]
4 [3] 7
[7]
8 [0] 2
[0] b
10
[3+3]
(+S)
3
[3]
3
[3]
b
e
Est saturé Recherche Opérationnelle Management Logistique
c
(+b)
3 [0] 4 [4]
d
(+b)
4
[0] e
(+b)
7
[6] P
(+e)
6
[3]
()
Marquage
[]
Flot Capacité 70
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson
F5=1
a
(-c)
8
[4]
4
[3]
7
[7]
8
[0]
2
[1]
d
S b
(+)
10
[6+1]
(+)
S)
P
Est Recherche Opérationnelle saturé 3
[3]
3
[3]
Management Logistique
c
(+b)
3
[1]
4
[4] d
(+c)
4
[0] e
(+d)
7
[6+1] P
(+d)
6
[3]
()
Marquage
[]
Flot
Le Problème de flots
Algorithme de Ford- Fulkerson F6= 1
S
(+)
a
(-c)
8
[4]
4
[3]
7
[7]
8
[0]
2
[1+1] b
10
[7+1]
(+S)
3
[3]
3
[3] c
(+b)
3
[1+1] d
(+c)
4
[1]
4
[4]
7
[7]
6
[3+1] P
(+e) ()
Marquage
b f
(
S c
Est
P
) saturé /
v
15 Management Logistique
e
(+d)
[]
Flot Capacité 72
CONCLUSION
Recherche Opérationnelle Management Logistique 73