Transcript 2.5 Champ d`une distribution continue

2.5 Champ électrique produit par une distribution
continue de charges.
Comment calculer des champs électriques en utilisant
des techniques d’intégration simples?
Dans plusieurs situations , les champs électriques sont produits par des
tiges, des sphères , des anneaux ou des plans chargés.
Notre tâche va consister à calculer le champ électrique autour de
ces objets en différents points de l’espace?
Pour quelles raisons devons-nous calculer ces champs?
Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur
des particules chargées et prédire leurs mouvements d’une part
et d’autre part pour calculer les différences de potentiel en
différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets
électriques.
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des
particules chargées et prédire leurs mouvements d’une part et
d’autre part pour calculer les différences de potentiel en différents
points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques.
Comment allons-nous faire ?
Nous allons procéder par sommation, autrement dit , par calcul
intégral.
En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral?
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2.5 Champ électrique produit par une distribution
continue de charges ( Calcul intégral)
En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral?
Parce que chaque objet peut-être
décomposé en petites parties et que
chaque petite partie produit un petit champ
électrique.
dq
dE
De façon simple, l’intégration consiste à faire la sommation sur
un très grand nombre de petits termes dE
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
Calculons le champ électrique à une distance « d= 10 cm » de
l’extrémité droite d’une tige de 10 cm de longueur uniformément
chargée de 5,0 mC.
Forme des lignes de champ autour de la tige.
d
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
Commençons par calculer le champ comme si toute la charge
était concentrée au centre
5,0 mC
,15 m
E1
Nous aurions alors le champ produit par une charge ponctuelle
kq 9 x109  5,0 x106
6
E1  2 

2
,
000
x
10
N/C
2
r
,15
approximatif
5
2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
En divisant la tige en deux
2,5 mC
2,5 mC
a
b
E2
,125 m
,175 m
Nous aurions alors le champ produit par deux charges ponctuelles
kq 9 x109  2,5x106
6
E2 a  2 

1
,
444
x
10
N/C
2
r
,125
kq 9 x109  2,5x106
6
E2b  2 

0
,
7347
x
10
N/C
2
r
,175
E  E2a  E2b  2,1747x106 N/C
approximatif
6
2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
En divisant la tige en cinq
1,0 mC
1,0 mC
a
b
c
d
e
E5
Nous aurions alors le champ produit par cinq charges ponctuelles
kq kq kq kq kq
E5  2  2  2  2  2  2,237 x106 N/C
ra rb rc rd re
E5  E5a  E5b  E5c  E5d  E5e  2,237 x106 N/C
approximatif
En divisant en 50
kq

2
r
i 1
i
50
E50  2,245 x106 N/C
Pour avoir une valeur exacte ….???
approximatif
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2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de
charges ( Calcul intégral)
La valeur exacte du champ résultant sera la somme infinie , autrement
dit, l’intégrale des champs de chacune des petites charges « dq »
placées à différentes valeurs de « x »

E x  dEx 
dq dq
dq dq dq dq
kdq
 x2
dq
dE dE dE dE dE dE
x
Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une
charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément
infinitésimal de champ donné comme nous l’avons vu par :
kdq kdq
dE  2  2
r
x
N/C
8
dq
dE dE dE dE dE dE
x
Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une
charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément
infinitésimal de champ donné comme nous l’avons vu par :
kdq kdq
dE  2  2
r
x
N/C
Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme (
l’intégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature
vectorielle du champ, on écrira :
Ex   dEx
9
dq
dE dE dE dE dE dE
x
kdq kdq
dE  2  2
r
x
N/C
Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme (
l’intégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature
vectorielle du champ, on écrira :
Ex   dEx

E x  dEx 
kdq
 x2
Pour trouver la solution, nous utiliserons une technique d’intégration
Mais avant que manque-t-il?
10
dq
dE dE dE
x
Il faut transformer les dq en dx puisque c ’est la position « x »
des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx
Étant donné que la tige est chargée uniformément, on procède
de la façon suivante,
Où la densité linéique de
On peut écrire
charge est l C/m ( lambda)
Q  lL
Q
dq
L
dx
On obtient
l
Q dq dq


L dl dx
d ’où dq = l dx
dx élément de longueur
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Reconsidérons la tige ayant une longueur de 10,0 cm et portant
une charge de 5,0 mC répartie uniformément sur toute sa longueur.
On demande de déterminer le champ électrique résultant à 15,0 cm
du centre de la tige ou à 10 cm de l’extrémité droite.
0,15
Situation
0,10
dq
dE dE dE
x
Problème : Je cherche la valeur de E à 10 cm de l’extrémité
droite
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Solution possible: J’utilise l’intégrale et l’expression du champ
d’une charge ponctuelle.
Ex   dEx


E   dE
Pour un élément de charge dq, nous aurons
kdq kdq
dE x  2  2
r
x
N/C
0,10
0,10
dq
dE dE dE
x
Quelle sera la variable d ’intégration ?
13
0,10
0,10
dq
dE dE dE
x
C ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la
somme des dEx
Nous avons donc maintenant une relation entre les dq
et les dx les éléments de longueur afin de calculer
l’intégrale.
kdq kldx
dEx  2  2
r
x
kldx
Ex 
x2

Il faut la même variable partout pour utiliser les techniques d’intégration
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0,10
0,10
dq
dE dE dE
x
C ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la
somme des dEx
Nous avons donc maintenant une relation entre les dq
et les dx les éléments de longueur afin de calculer
l’intégrale.
kdq kldx
dEx  2  2
r
x
kldx
Ex 
x2

Nous pouvons procéder maintenant et utiliser les techniques
d’intégration
15
0,10
0,10
dq
dE dE dE
x est la variable de
position
x
kldx
Ex   2
x
a
b
kdq kdq
dE  2  2
r
x
N/C
N/C
Il nous reste à placer les bornes d’intégration
, 20
Ex   k
,10
ldx
x
2
dx
 kl  2
,10 x
, 20
n 1
x
n
x
 dx 
(n  1 )
sauf ( n  -1 )
0 , 20
 1
E x  kl  
 x  0,10
16
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
0 , 20
On obtient
 1
E x  kl  
 x  0,10
1
1 

E x  kl (
)(
)
0,10 
 0,20
1
2 

E x  kl (
)(
)
0
,
20
0
,
20


 1 
E  kl (
)
 0,20 
Avec les chiffres
x
5,0 x10  1 
E  9 x10 x
(
)

0,10  0,20 
6
9
x
Finalement
E  2,25x10
x
6
N/C
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Résultat probable : D’après mes calculs, le champ électrique à 15
cm du centre de la tige est donné par :


E  2,25i MN/C
Justification : Nous avons procédé par intégration, à partir du champ
produit par une charge ponctuelle.
0,15
E
La force électrique qui s’exercerait sur une charge q placée à
cet endroit sera donnée par :


F  qE
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