Transcript Кинематика поступательно-го и вращательного

Лекции по физике.
Механика
Основные понятия механики.
Кинематика
Список учебной литературы



И.В. Савельев. Курс общей физики. Т.1.
Механика и молекулярная физика
Т.И. Трофимова. Курс физики
Механика, колебания и волны в упругих
средах. Сборник задач по физике под ред.
Д.С. Фалеева. ДВГУПС, 2004
2
Структура механики


Физика – наука о наиболее общих формах
движения материи и их взаимных превращениях
Механика – наука о движении и равновесии тел.
Движение понимается как изменение положения
тела относительно других тел
Механика
Классическая
Релятивистская
3
Структура механики
Механика
Механика
Кинематика
Динамика
Материальной
точки
Твёрдого тела
Статика
Сплошных сред
4
Основные понятия механики


Основная задача механики – зная
состояние системы в начальный момент
времени и законы, управляющие движением,
определить состояние системы во все
последующие моменты времени. Эта задача
не может быть решена точно
Кинематика – это раздел физики,
посвящённый изучению движения тел. При
этом причины движения не рассматриваются
5
Основные понятия механики




Механическая система – совокупность тел,
выделенная для рассмотрения
Система отсчёта – совокупность неподвижных
друг относительно друга тел, по отношению к
которым рассматривается движение, и часы
Материальная точка – тело, размерами
которого можно пренебречь в условиях данной
задачи
Абсолютно твёрдое тело – это тело,
деформациями которого можно пренебречь
6
Основные понятия механики


Поступательное движение
– такое, при котором любая
прямая, связанная с телом
перемещается параллельно
самой себе
Вращательное движение –
такое, при котором все точки
тела движутся по
окружностям, центры
которых лежат на одной
прямой, называемой осью
вращения
7
Основные понятия механики



Система координат состоит из осей, для
определения пространственных координат
тела и часов
Траектория – это линия, которую
описывает некоторая материальная точка
в процессе движения
Путь – это расстояние между двумя
точками, измеренное вдоль траектории
движения
8
Основные понятия механики


Перемещение – это вектор, проведённый от
начальной точки движения к конечной (r1,2)
Скорость:
dr 
r
v
 r  lim
t 0 t
dt
(1)
dr  vdt
(2)
dr  ds
v  vi i  v j j  vk k
(3)
9
Основные понятия механики

Ускорение:
v dv 
a  lim

v
t 0 t
dt

(4)
В координатном представлении:
a  ai i  a j j  ak k
 v i i  v j j  v k k
 ri i  rj j  rk k
10
Вычисление пройденного пути
∆S2
∆SN
∆S1
N
s  s1  s2  ...  sN   si

i1
Согласно (2)
N
N
t2
s   v i t i  s  lim  v i t i   v( t )dt
i1
t 0
i1
(5)
t1
11
Вычисление перемещения

Если в (5) взять интеграл не по модулю, а
по вектору скорости, то мы получим
перемещение тела:
t2
t2
r 1,2   v( t )dt   dr
t1
∆r2
∆r1
(6)
t1
r1,2
∆rN
12
Средняя скорость

По определению, средняя скорость равна:
t2
s
1
v 

v( t )dt

t 2  t 1 t 2  t 1 t1

(7)
Если скорость движения изменялась скачками,
то (7) перейдёт в:
 v t

 t
i
v
i
i
(8)
i
i
13
Разложение ускорения на нормальную
и тангенциальную компоненты

Введём орт e, касательный к
траектории в каждой её точке.
Направление скорости всегда
будет совпадать с e:
v  ve 

ve 

 v e 
ve 
 (9)
d
a  ( v e  )  v e  ve 
dt
14
Разложение ускорения на нормальную
и тангенциальную компоненты

Можно показать, что
производная вектора
e перпендикулярна к
траектории движения

ve 

 v e 
ve 
15
Разложение ускорения на нормальную
и тангенциальную компоненты
Таким образом, мы разложили вектор
ускорения на две составляющие:
1. вдоль траектории движения
2. перпендикулярно к траектории движения
и тем самым показали, что любое
движение можно представить как
суперпозицию поступательного и
вращательного движений

16
Разложение ускорения на нормальную
и тангенциальную компоненты
2
v
aR 
eR 
R
2
v
a  a   aR  v e   eR
R
v
a  a  a  a  v  
R
2
2

2
R
2



2
17
Кинематика прямолинейного движения

Прямолинейное движение с постоянным
ускорением можно описать с помощью
уравнений кинематики прямолинейного
движения

ax t
x  x 0  v 0 x t 

2

 v x  v 0x  ax t
2
(10)
18
Кинематика прямолинейного движения


В уравнениях (10) t – время движения, х –
координата, вдоль которой происходит движение,
х0 – её начальное значение (в момент t=0), vx –
скорость движения, v0x – её начальное значение,
ax – ускорение
Если направление движения не совпадает с
направлением какой-либо координатной оси, то
вместо каждого из уравнений (10) надо записать
три подобных уравнения для проекций
координаты и скорости на оси
19
Кинематика вращательного движения



Вращательное движение характеризуют
угловыми величинами, имеющими
линейные аналоги
Углы поворота вокруг трёх различных
осей характеризуют пространственное
положение точки
Угловая скорость характеризует скорость
изменения положения точки
20
Кинематика вращательного движения

Угловая скорость направлена вдоль оси
вращения


 d 
  lim


t 0 t
dt


(11)
Модуль вектора  равен углу поворота, а
направление определяется по правилу правого
винта
Угловая скорость определяется в радианах в
секунду [рад/с]
21
Кинематика вращательного движения


При =const вращение называют
равномерным
Равномерное вращение можно
характеризовать периодом
Т=2/
и частотой
=1/Т
=2/Т=2
22
Кинематика вращательного движения

Угловое ускорение:
 d 
  lim


t 0 t
dt

(12)
Необходимо учитывать, что угловая
скорость может изменяться как по
величине, так и по направлению
23
Связь между угловыми и линейными
величинами

Связь между угловыми и
линейными величинами даётся
формулами:
v
v  [r ],
R
или, в скалярном виде:
v=R,
an=2R,
a=R,
r
где R – наименьшее расстояние
от точки до оси вращения
24
Кинематика вращательного движения

Уравнения кинематики
равноускоренного вращательного
движения вокруг фиксированной оси
имеют вид:

t
  0  0 t 

2

   0  t
2
(13)
25
Некоторые сведения о векторах


Вектором будем называть величину,
характеризующуюся численным
значением (модулем) и направлением в
пространстве, для которой задан закон
сложения (правило параллелограмма)
Различают коллинеарные, компланарные,
свободные, скользящие и связанные
векторы
26
Некоторые сведения о векторах


Для векторов определены операции сложения,
умножения на число, скалярного и векторного
произведений
Скалярное произведение двух векторов – это
число:
(a,b)  a  b  cos
где  - угол между векторами a и b
27
Некоторые сведения о векторах

Координатное
представление векторов.
Если начало вектора
совместить с началом
координат, то координаты
второго конца полностью
определят направление и
величину вектора. Т.о. в
координатном
представлении вектор
задаётся тройкой чисел –
значениями его проекций
на оси координат
28
Некоторые сведения о векторах

Запись вектора в координатном
представлении:
r  (ri , rj , rk )  ri  i  rj  j  rk  k

Сумма векторов определяется суммами
их соответствующих координат:
a  b  (ai  bi , a j  b j , ak  bk )
29
Некоторые сведения о векторах

Модуль суммы двух векторов находится по
теореме косинусов:
(a  b)  a  b  2ab cos
2

2
2
Модуль векторного произведения
векторов
c  [ab]  ab sin 

Направлен вектор с перпендикулярно
векторам a и b
30
Некоторые сведения о векторах

В координатном представлении векторное
произведение можно записать в виде
определителя:
i
[ab]  ai
bi
j k
a j ak 
b j bk
(a jbk  ak b j ) i  (akbi  aibk ) j 
(aib j  a jbi )k
31
32