Transcript G23-Homogen-koordinatak

2. Koordináta-rendszerek és
transzformációk
2.1. Koordináta-rendszereink
2.2. Az egyenes és sík egyenlete
2.3. Az E. tér projektív lezárása
2.4. Affin transzformációk
2.5. Projektív transzformációk
Mire jó nekünk az analitikus geometria?
Geometriai modell:
pontok, vonalak,
API
felületek – testek
Átalakítások:
geometriai számítások
transzformációk
Rajzolás: geometrikus képek;
vetületek - transzformációk
2009.08
2
2.1. Koordináta-rendszereink
• A Descartes-féle derékszögű koordináták
• Polár-koordináták
• Gömbkoordináták, henger-koordináták
• Baricentrikus koordináták
• Homogén koordináták
Valószerű ábrázolás
A valóság részletei – a képen is
A fényképezőgép egyidejűleg
végtelen sok pontot
Számítógép sorban, egyenként
kiválasztott pontokat
A képen a párhuzamosok
látszólag egy pontba
A valóságban
nincs ennek megfelelő pont
Például: egy sínpár perspektívája
X = [ 1, 0, 0, 0 ];
Y = [ 0, 1, 0, 0 ];
Z = [ 0, 0, 1, 0 ] ;
C = [ 0, 1, 0, 1 ];
F = [ 1, 2, 1, 1 ];
X’ = X
Y’ = Y
Z’ = [ 0, 0, 1, 1 ]
C’ = [ 0, 0, 1, 0 ]
F’ = [ -1, 1, 0, 1]
X és Y tengely
Z tengely
a kamera
képkeret sarka
Az E 2 egy „inhomogenitása”
• Az a egyenes pontjait
K-ból vetítjük az x egyenesre.
• F’ =?; E 2 - ben nincs! ; néha kellene
• Legyen !! Az E 2 kibővítése:
- minden egyenesen van még egy pont,
- neve: „az egyenes ideális pontja”, (fernpunkt, távolpont)
- párhuzamosok ideális pontja megegyezik:
az egyenesek állása,
- egy sík ideális pontjai a sík ideális egyenesén vannak.
Az euklideszi tér „projektív lezárása”
• Az euklideszi tér (ponthalmaz)
kibővítése ideális pontokkal (halmazával)
• E3 U I3  H3 ;
„homogén terünk”
• Az euklideszi tér „projektív lezárása”
• ( H3 és „homogén terünk” : KG )
Homogén koordináták
• Az E 2 egy „inhomogenitása”
• Az euklideszi tér kibővítése
• Homogén koordináták
• Homogén  Descartes koordináták
Descartes  Homogén koordináták
• „Homogén terünk” szerkezete
• A sík homogén koordinátás egyenlete
• Miért használunk homogén koordinátákat?
A kibővített euklideszi sík
• Az E 2 projektív lezárása (a „kibővített sík”);
(projektív sík egy kitüntetett egyenessel.)
• „a homogén sík”: H 2 = E
2
 I
2
[„homogén sík” és „ H 2” jelölés csak KG]
• A projektív síkban:
bármely két pont meghatároz egy egyenest
bármely két egyenes meghatároz egy pontot
…
A kibővített euklideszi tér
• Az E 3 projektív lezárása (a „kibővített tér”);
„a homogén tér”: H 3 = E
3
 I 3.
(„homogén tér”, „ H 3 ” csak KG)
• H 3 : P 3 (projektív tér) egy kitüntetett ideális síkkal
• A projektív térben:
bármely 2 síknak van közös egyenese
...
A kibővített euklideszi tér
 Egyenes: „közönséges pontjai” + 1 ideális pont
egy egyenes ideális pontja: az egyenes „állása”: ,
 úgy, hogy:
párhuzamosok ideális pontja (állása) megegyezik;
egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak;
ez „a sík ideális egyenese”, (a sík „állása”)
párhuzamos síkok ideális egyenese (állása) megegyezik,
a tér ideális elemei (pontok, egyenesek, síkok)
egy síkban vannak; „a tér ideális síkja”
Homogén koordináták (1)
• A tér (közönséges részének) egy derékszögű KR-ében
O : közönséges pont; belőle X, Y, Z tengelyek, és E pont
• P = (x, y, z)  „homogén koordináták” :
P = (x, y, z)  [x, y, z, 1] 
h  [x, y, z, 1] = [ h  x, h  y, h  z, h ]; h0
• Arányos számnégyesek ekvivalencia-osztálya (!)
• Figyelem: [ x, y, z, w ]  h  [ -x, -y, -z, -w ] !!
Homogén koordináták (2)
• A v = (x, y, z) vektorral
egyező állású egyenesek ideális pontja:
Iv = [ x, y, z, 0 ]; az ideális pont „homogén alakja”,
illetve:
Iv = [ x, y, z, 0 ]  h  [ x, y, z, 0 ] =
 [ hx, hy, hz, 0 ]; h0
Áttérés a homogén alakra és vissza
1.
Egy feladat leírása (adatai): DKR-ben:
2.
Számítások DKR-ben indulnak,
3.
de ha kell („kényes” műveletek előtt):
a. áttérés homogén alakra: (x, y, z)  [x, y, z, 1]
b. a „kényes” műveletek homogén alakban; utána
c. az eredmények „szűrése” (ideális pontok kizárása)
d. visszatérés DKR-be (projektív osztás):
[x1, x2, x3, x4]  (x1 / x4, x2 / x4, x3 / x4).
4.
Az eredmények értékelése DKR-ben.
A projektív osztás; vissza a DKR-be
H3 [x1, x2, x3, x4] pontjának  :
1. ha x4  0, akkor közönséges pont, és :
[x1, x2, x3, x4]  [x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1]  (x1 /x4, x2 /x4, x3 /x4),
2. ha x4=0, de x1,x2, x3 nem mind nulla: akkor ideális pont, és
~ az (x1, x2, x3) irányvektor: | | egyenesek állása
3. !!! [0,0,0,0] nem pont (számítások eredménye nem lehet).
„Ideális pontok”
E 3 = { (x, y, z) }  { [x, y, z, 1] }; x, y, z  R
I3 =
{ [x, y, z, 0] }; x, y, z  R
H
3
=E3 U I
3
;
a „kibővített tér”, a „homogén tér”
Az euklideszi tér kibővítése:
minden egyenesnek van még egy pontja:
amely egyenes állását jellemzi
párhuzamosok ideális pontja megegyezik
egy sík ideális pontjai: a sík ideális egyenesén
a tér ideális pontjai: az ideális síkban
Egyenesek közös pontja
„Homogén terünk” szerkezete (olv)
• A valós számhármasok tere: R3 = { (x,y,z); x,y,z  R }
• Az arányos számnégyesek ekvivalencia-osztályai:
Ax,y,z,w = { h ·[ x, y, z, w ]; x,y,z,w,h  R , h ≠ 0, };
A homogén tér:
H 3 = Ax,y,z,w \ A 0,0,0,0
// A 0,0,0,0 = { [0,0,0,0] }
Miért használunk homogén koordinátákat?
• A párhuzamosok „kivételes helyzete” megszűnik.
• A mátrix szorzás egységes formalizmusa (eltolás!)
• transzformációk egymásutánja: mátrixuk szorzata
• A középpontos vetítés számolható
a pontok homogén koordinátáival és
4x4-es mátrixokkal
Az egyenes és a sík
homogén-koordinátás egyenlete
Megjegyzés:
homogén = egynemű
Az egyenes homogén egyenlete: ax + by + c = 0
Pontok homogén koordinátái: [x, y, z, w]
Az egyenes homogén, implicit egyenlete (E 2)
• Az egyenes X = (x, y)  [ x,y,1]
a·x+b·y+c
pontjára (E 2):
= 0; a2 + b2  0;
a · x + b · y + c · 1 = 0;
• Az egyenlet „implicit” (nem explicit) és
„homogén”: (a,b,c)  (a,b,c) · h; h  0
Az egyenes homogén koordinátás,
homogén implicit egyenlete (H 2)
Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja a síkban (h≠0):
P = [ x, y, w ] T x,y,w nem mind 0
• Egy e egyenes homogén(-koordinátás) alakja:
e = [e1, e2, e3]
 h·[e1, e2, e3]; (h ≠ 0), ei nem mind 0
• Az e egyenes egyenlete: az e minden X  H2 pontjára:
e · X = 0, azaz: e1·x + e2·y + e3·w = 0
A sík paraméteres egyenlete (E 3) H
Adott: P = (px, py, pz ),
Q = (qx, qy, qz ),
R = (rx, ry, rz )
X = Q + s · (P - Q) + t· (R - Q)
; s, v  R
= (1-s-t) · Q + s · P + t · R
- a PQR sík minden pontjához található így s,t  R, és
- minden s,t  R -hez tartozik egy X a PQR síkban
3
A sík implicit, homogén egyenlete (E 3)
A sík X = (x, y,z)  [x, y,z,1] pontjára:
a · x + b · y + c · z + d = 0; a2 + b2 + c2  0;
a · x + b · y + c · z + d · 1 = 0;
„homogén”: (a,b,c,d)  (a,b,c,d) · h; h  0
A sík homogén koordinátás
homogén, implicit egyenlete
Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja (h≠0):
P = [ x, y, z, w ] T x,y,z,w nem mind 0
• Egy s sík homogén(-koordinátás) alakja (h ≠ 0):
s = [s1, s2, s3, s4]  h·[s1, s2, s3, s4]; si nem mind 0
• Az s sík egyenlete: az s minden X  H3 pontjára:
s · X = 0, azaz: s1·x + s2·y + s3·z + s4·w = 0
Lássunk a koordináták mögé – t.i.
• z = 0; mi ez?
Egyenlőség, egyenlet, kié-mié?
0x+0y+1z+0=0
sík: z = 0 és akármilyen x, y;
az XY sík
• x + y = 0 mi az? HF !
Nevezetes pontok és síkok homogén alakja -olv
• Bármilyen c  0 számmal
[0, 0, 0, c] T
[c, 0, 0, 0] T
[0, c, 0, 0] T
[0, 0, c, 0] T
• [0, 0, 0, c]
[c, 0, 0, 0]
[0, c, 0, 0]
[0, 0, c, 0]
az origó,
az X tengely ideális pontja,
az Y tengely ideális pontja,
a Z tengely ideális pontja,
az ideális sík, (rajta van: [x,y,z,0])
az YZ (x = 0) koordináta-sík;
pontjai: [0, y, z, h]
az XZ (y = 0) sík,
az XY (z = 0) sík homogén alakja.