Transcript Matematikai alapok

Grafika
A számítógépi grafika
matematikai háttere
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
Tartalom

Koordinátarendszerek





2D Descartes-féle koordinátarendszer
Polárkoordináták
3D Descartes-féle koordinátarendszer
Gömbi koordináták
Pont és vektor




Grafika
Vektorok összeadása, skaláris szorzás
Skaláris szorzás
Vektoriális szorzás
Mátrix





Skaláris szorzás, mátrixok összeadása
Mátrixszorzás
Mátrix transzponáltja
Mátrix determinánsa
Mátrix inverze
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
Koordinátarendszerek

Grafika
Koordinátarendszerek

Descartes-féle koordinátarendszer


x, y, z tengely
Nem-Descartes koordinátarendszer

Polárkoordináták

Gömbikoordináták

Hengerkoordináták
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
2D Descartes
koordinátarendszer

Grafika
2D Descartes koordinátarendszer
y
x
y
x
Az origó a képernyő bal
alsó sarkában van
cgvr.korea.ac.kr
Az origó a képernyő bal
felső sarkában van
Fordította: Völgyi Beatrix
Polár koordináták

Grafika
Nem-Descartes koordinátarendszer
r

x  r cos ,
r  x2  y2 ,
y  r sin 
 y
 x
  tan1  
s  r

Elliptikus koordináták, hiperbolikus, parabolikus
tér koordináták
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
Miért használjunk polár
koordinátát?

Grafika
Kör

2D Descartes koordináta  Polár koordináta
y
x2  y 2  r 2
x  r cos,
y
y  r sin 
d
d
x
x
dx dx
Descartes koordináták
cgvr.korea.ac.kr
Polár koorditáták
Fordította: Völgyi Beatrix
3D Descartes
koordinátarendszer
Grafika
Három dimenziós pont
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
3D Descartes
koordinátarendszer

Jobbsodrású
koordinátarendszer


Graphics Package
Balsodrású
koordinátarendszer

cgvr.korea.ac.kr
Grafika
Video Monitor
Fordította: Völgyi Beatrix
3D görbelineáris
koordinátarendszer

Grafika
Általános görbelineáris koordinátarendszer

Ortogonális koordinátarendszer

Az egységvektorok kölcsönösen merőlegesek egymásra
X 2 axis
X 3 axis
X 1 axis
Általános görbelineáris koordinátarendszer
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
3D Nem-Descartes
koordinátarendszerek

Hengerkoordináták

Grafika
Gömbkoordináták
z tengely
zz tengely
P(,,z)
P(r,, )

r
 
x tengely
y tengely
x   cos
y   sin 
zz
cgvr.korea.ac.kr

x tengely
y tengely
x  r cos sin 
y  r sin  sin 
z  r cos
Fordította: Völgyi Beatrix
Pont és vektor

Pont

Vektor
Grafika
V  P2  P1  ( x2  x1, y2  y1 )  (Vx ,Vy )

Iránya és hossza van
P2
y2
y1
V
 Vy
  t an 
 Vx
1
P1
x1
cgvr.korea.ac.kr
V  Vx2  Vy2




x2
Fordította: Völgyi Beatrix
Vektorok

Grafika
3 dimenziós vektor
z
V  Vx2  Vy2  Vz2

Vy
V
V
cos  x , cos  
, cos  z
|V |
|V |
|V |
cos2   cos2   cos2   1



V
y
x
Vektorok öszeadása és skaláris szorzása
V1  V2  (V1x  V2 x ,V1y  V2 y ,V1z  V2 z )
V  (Vx ,Vy ,Vz )
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
Skaláris szorzás

Definíció
V2

V1 V2 | V1 || V2 | cos , 0    
V1
|V2|cos

Grafika
skaláris szorzás
Descartes koordinátarendszerben
V1 V2  V1xV2 x  V1yV2 y  V1zV2 z

Tulajdonságai

Kommutatív
V1 V2  V2 V1

Disztributiv
V1  (V2  V3 )  V1 V2  V1 V3
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
Vektoriális szorzás

Definíció
V1  V2
u

Grafika
V2

V1 V2  u | V1 || V2 | sin  , 0    
vektoriális szorzás
V1
Descartes koordinátarendszerben
V1 V2  (V1yV2 z V1zV2 y ,V1zV2 x V1xV2 z ,V1xV2 y V1yV2 x )

Tulajdonságai



Antikommutatív V1 V2  (V2 V1 )
Nem asszociatív V1  (V2 V3 )  (V1 V2 ) V3
V1  (V2  V3 )  (V1 V2 )  (V1 V3 )
Disztibutív
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
Példák

Grafika
Skaláris szorzás

Vektoriális szorzás
(x2,y2)
V2

(x0,y0)
V1
(x1,y1)
Két vektor szöge
cgvr.korea.ac.kr
Sík normálvektora
Fordította: Völgyi Beatrix
Mátrixok

Grafika
Definíció

Számok téglalap alakú elrendezése
 a11
a
A   21
 :

am1

a12
a22
:
am 2
... a1n 
... a2 n 
: 

... amn 
Skaláris szorzás és mátrixok összeadása
 a11 a12 
 b11 b12 
 , B  

A  
 a21 a22 
 b21 b22 
cgvr.korea.ac.kr
 a11  b11 a12  b12 

A  B  
 a21  b21 a22  b22 
 ka11
kA  
 ka 21
ka12 

ka 22 
Fordította: Völgyi Beatrix
Mátrixszorzás

Definíció
j-dik oszlop
C  AB
n
cij   aik bkj
i-dik sor
×m
l
k 1

Grafika
=
(i,j)
l
n
m
n
Tulajdonságai


Nem kommutatív
Asszociatív

Disztributív

Skaláris szorzás
cgvr.korea.ac.kr
AB  BA
( AB)C  A( BC)
A(B  C)  AB  AC
(kA) B  A(kB)  k ( AB)
Fordította: Völgyi Beatrix
Mátrix transzponáltja

Definíció

A sorok és oszlopok felcserélésével nyert mátrix.
1 4 
1 2 3
2 5,

 4 5 6




3 6
T

Grafika
a
b c
T
a 
 b 
 c 
Mátrixszorzat transzponáltja
ABT  BT AT
cgvr.korea.ac.kr
Fordította: Völgyi Beatrix
Mátrix determinánsa

Definíció



Grafika
Egy négyzetes mátrixhoz hozzárendelünk egy
számot.
2  2 mátrix
a11 a12
 a11a22  a12 a21
a21 a22
Egy nn-es A mátrix determinánsa (n 2)
n
det A   (1)
j 1
cgvr.korea.ac.kr
j k
a jk det A jk
Fordította: Völgyi Beatrix
Mátrix inverze

Definíció

1
AA  I
A A I
Akkor és csak akkor, ha a mátrix determinánsa nem zérus.
2  2 mátrix
1  d  b
A 



c
a
ad  bc 

a b 
A

c
d



1
Nemszinguláris mátrix


Grafika
1
Tulajdonságai
( A1 )1  A
cgvr.korea.ac.kr
( AB )1  B1 A1
( AT )1  ( A1 )T
Fordította: Völgyi Beatrix