Transcript PP-U05-MATES1º FRACCIONES

UNIDAD 05
AULA 360
Números fraccionarios
1. Fracciones
2. Simplificación y ampliación de fracciones
3. Comparación y ordenación
4. Operaciones con fracciones
5. Operaciones combinadas
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NÚMEROS FRACCIONARIOS
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1. Facciones
a
• Una fracción b es el cociente entre dos números
enteros a y b tales que b ≠ 0.
El denominador b indica las partes iguales en que se
divide la unidad.
El numerador a indica las partes que se toman de las
que se ha dividido la unidad.
• Una fracción es propia si el numerador es menor
que el denominador. Por ejemplo 2.
6
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1. Facciones
• Una fracción es impropia si el denominador
es menor que el numerador. Por ejemplo 9 .
6
• Dos fracciones son equivalentes cuando
representan la misma cantidad. Las fracciones
equivalentes cumplen que el producto de
extremos es igual al producto de medios.
a es equivalente a c  a · d = b · c
b
d
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2. Simplificación y ampliación de
fracciones
• Fracción ampliada
Se multiplica el numerador y el denominador
por un mismo número mayor que 1.
3 3 ·2 6
4 4 ·2 8
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2. Simplificación y ampliación de
fracciones
• Fracción simplificada
Se divide el numerador y el denominador entre
un divisor común mayor que 1.
66:23
8 8: 2 4
• Fracción irreducible
Es aquella en la que el máximo común divisor
del numerador y denominador (m. c. d.) es 1, es
decir, son primos entre sí.
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3. Comparación y ordenación
• Reducir fracciones a común denominador
consiste en hallar otras con el mismo
denominador que sean equivalentes a las
originales. Este denominador común será el
mínimo común múltiplo de los denominadores.
, 3)  15 9 y 20
3 y 4 m.c.m.(5

5 3
15 15
• Para comparar fracciones se reducen a común
denominador y se comparan los numeradores.
Será mayor la que tenga mayor numerador.
20  9
15
15
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3. Comparación y ordenación
• También se pueden comparar fracciones en la
recta numérica. Dividimos la unidad en tantas
partes iguales como indica el denominador y
situamos la fracción en el punto que coincide con
el número de partes que indica el numerador. La
fracción mayor será la que quede situada a la
derecha.
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4. Operaciones con fracciones. Adición y
sustracción
• Si tienen el mismo denominador, se suman o restan
los numeradores y se mantiene el denominador
común.
369
4 4 4
523
4 4 4
• Si tienen distinto denominador, se reducen a
común denominador y después se suman o restan los
denominadores y se mantiene el denominador común.
5  1  10  3
3 2 6 6
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4. Operaciones con fracciones. Adición y
sustracción
Las propiedades de la suma de fracciones son
las siguientes:
Conmutativa
Asociativa
2 1 1 2
3 4 4 3
1   5  2    1  5   2
3  4 3   3 4  3
Elemento neutro
404
3 1 3
Elemento opuesto
5    5   0  0
3  3  3 1
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4. Operaciones con fracciones.
Multiplicación y división
• Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra
fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores y el denominador el producto de los
denominadores.
a c
a ·c
·
=
b d
b ·d
2  4  8
3 5
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4. Operaciones con fracciones.
Multiplicación y división
• Las propiedades de la multiplicación de
fracciones son las siguientes:
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
Distributiva respecto a
la suma o la resta
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2 · 1 1 · 2
3 4 4 3
2 ·  1 · 2    2 · 1 · 2
5  2 3   5 2  3
8 · 1 8
3 1 3
4 · 5  20  1
5 4 20 1
4 ·  5  1  4 · 5  4 · 1
3  4 2  3 4 3 2
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4. Operaciones con fracciones.
Multiplicación y división
• Al dividir dos fracciones, se obtiene otra
fracción cuyo numerador es el producto del
numerador de la primera fracción por el
denominador de la segunda y el denominador
es el producto del denominador de la primera
fracción por el numerador de la segunda.
a c
a ·d
:
=
b d
b ·c
2 : 5  14
3 7
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4. Operaciones con fracciones. Potencias
• Para calcular la potencia de una fracción se
multiplica la fracción por sí misma tantas veces como
indique el exponente.




n
n
veces


a   a · a · ... · a
b  b b
b
También se puede calcular elevando numerador y
denominador al exponente al que está elevada la
n
fracción.
a
n
  a
 
bn
b 





2
2
3
3
3
3 

 2  9
4
4 4
16
4





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4. Operaciones con fracciones. Potencias
• Se pueden realizar las mismas operaciones con las
potencias de fracciones que con las potencias de base
entera:
Multiplicación
de potencias de
la misma base
a
 
b
3
 
4
 
5
p
·  a 
b
 
·  3 
4
2
q
  a 
b
 
  3 
4
División de
potencias de la
misma base
p q
52
 
  3 
4
a
 
b
7
 1
 
 2
 
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8
p
:  a 
b
 
:  1 
2
3
q
  a 
b
 
  1 
2
Potencia de una
potencia
 a p 
  
 b  
p q
8 3
 
  1 
2
5

3
 3  
 5  


2
q
  a 
b
3
  
5
p ·q
3 ·2
3
  
5
6
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5. Operaciones combinadas
Cuando se realizan varias operaciones con fracciones
se debe seguir el siguiente orden:
1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más
interno al más externo.
2.º Calcular las potencias y las raíces.
3.º Realizar las multiplicaciones y las divisiones de
izquierda a derecha según el orden de aparición.
4.º Hallar las sumas y las restas de izquierda a
derecha según el orden de aparición.
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5. Operaciones combinadas










2










2










2
1 : 1  1  2 · 3 1 
2
3
3 2
2
 
 1 :  2   2 · 9  1 
4  3  3 4
 1 : 4  2 · 9 1 
4 9 3 4
9
18

 1
16 12
27
72
48
51
17
    
48 48 48 48 16
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