Transcript lecture 2 RACH_ek

Rachunek ekonomiczny zarządzania finansami
przedsiębiorstw
dr Adam Sojda
DYSKONTO
Dyskonto jest to procent wypłacany z góry.

Jeżeli do początkowej wartości kapitału K0 dodamy procent należny za
oprocentowanie kapitału w przedziale czasu [0,t], to otrzymamy kapitał
końcowy Kt.

Jeżeli od końcowej wartości kapitału Kt odejmiemy dyskonto (procent)
należne za zdyskontowanie (oprocentowanie) kapitału w przedziale
czasu [0,t], to otrzymamy kapitał początkowy K0.
dr Adam SOJDA
2
Dyskonto proste rzeczywiste (matematyczne)
Dyskontem prostym rzeczywistym nazywamy operację dyskontowania
kapitału dualną do operacji oprocentowania prostego.
Kt  K 0 1  it 
Zatem
K0 t   Kt 1 it 
dr Adam SOJDA
1
3
Dyskonto proste handlowe
Do dyskontowania weksli, podstawą jest liniowa funkcja dyskontowania
kapitału.
H 0 t   H t 1  dt
Oznaczenia:
d - bazowa stopa dyskontowa
t - czas dyskontowania liczony w okresach bazowych
(1 – dt) - czynnik dyskontujący dyskonta prostego handlowego ( funkcja
dyskontowania jednostki kapitału)
Dyskonto proste handlowe nazywane jest również dyskontem bankowym lub
dyskontem prostym
dr Adam SOJDA
4
Dyskonto matematyczne i handlowe porównanie
Dla równych stóp procentowej i oraz dyskontowej d dyskonto proste handlowe jest
zawsze większe od dyskonta prostego rzeczywistego, obliczanego dla tego samego
kapitału końcowego i tego samego czasu dyskontowania.
Stopa procentowa i oraz stopa dyskontowa d są równoważne w okresie czasu t, jeżeli
dyskonto proste rzeczywiste i dyskonto proste handlowe obliczone od dowolnego
kapitału za ten sam okres czasu t są sobie równe.
d
i
1  it
d
i
1  dt
Równoważność stopy procentowej i oraz dyskontowej d zależy tylko i wyłącznie od
czasu dyskontowania t.
Stopa procentowa i oraz stopa dyskontowa d są równoważne w okresie czasu t, nie są
równoważne w innym okresie czasu t’ t.
Dla każdej formy oprocentowania złożonego istnieje odpowiadająca formuła
dyskontowania złożonego.
dr Adam SOJDA
5
Realna stopa procentowa
Wpływ inflacji na oprocentowanie kapitału.
Oznaczenia:
r - stopa inflacji (stopa wzrostu cen towarów i usług konsumpcyjnych),
i - stopa oprocentowania kapitału (stopa procentowa rynku kapitałowego)
ir - rzeczywista stopa oprocentowania kapitału (stopa oprocentowania
kapitału po uwzględnieniu inflacji)
K0 1 ir   K0 1 i 1 r 
1


Inflacja działa dyskontująco, powodując, że realny wzrost wartości
pieniądza jest mniejszy niż wynika to ze stopy procentowej
Realna stopa procentowa nie jest różnicą stopy nominalnej i stopy
inflacji
dr Adam SOJDA
6
Realna stopa procentowa
Zadanie
Bank przez pierwsze 3 miesiące stosował stopę nominalną 5%, przez
następne 4 stopę nominalną 10%, a później do końca roku stopę równą 7%.
W poszczególnych kwartałach inflacja była równa 1.2%, 1.5%, 1.5%, 2.4%.
Jaka jest realna roczna stopa procentowa, jeśli bank stosuje kapitalizację
miesięczną.
Rozwiązanie:
dr Adam SOJDA
7
Ciągi kapitałów
Jeżeli w momencie t wartość kapitału wynosi Kt, to aktualna wartość tego
kapitału Ka w momencie a wynosi:
 K t k a  t  dla a  t
Ka  
K t d t  a  dla a  t
Kt - wartość kapitału w momencie wartość bieżąca
Ka - wartość aktualna kapitału w momencie
k(t) - funkcja oprocentowania jednostki kapitału (czynnik oprocentowujący)
d(t) - funkcja dyskontowania jednostki kapitału (czynnik dyskontujący)
t - data kapitału
a - data aktualizacji wartości kapitału
Obliczanie wartości aktualnej kapitału nazywamy aktualizacją, natomiast
moment czasu, na który aktualizujemy wartość kapitału nazywamy
momentem lub datą aktualizacji.
dr Adam SOJDA
8
Ciągi kapitałów
Dla oprocentowania prostego
 K t 1  ia  t  dla a  t
Ka  
1




K
1

i
t

a
dla a  t
 t
Dla oprocentowania złożonego
Ka  Kt 1  i 
at 
La  Lt 1  d 
at 
Dla kapitalizacji ciągłej
 at 
K a  Kt e
dr Adam SOJDA
9
Ciągi kapitałów
Dwa kapitały K1 z datą t1 oraz K2 z datą t2 są równoważne w momencie t,
jeżeli wartości zaktualizowane tych kapitałów na moment t są sobie równe.
Dla procentu prostego relacja równoważności kapitałów nie jest relacją
przechodnią względem czasu.
Jeżeli dla procentu złożonego dwa kapitał są równoważne w ustalonym
momencie czasu t, to są one równoważne w każdym momencie czasu.
Dla procentu złożonego relacja równoważności kapitałów jest relacją
przechodnią względem czasu.
Dla procentu złożonego jeśli dwa kapitały K1 z datą t1 oraz K2 z datą t2 są
równoważne w momencie t, to są równoważne w każdym innym momencie
czasu.
dr Adam SOJDA
10
Ciągi kapitałów
Ciągiem kapitałów rozłożonych w czasie nazywamy ciąg
K 
tj
którego elementami są kapitały
K t j o następujących po sobie datach tj.
Wartością aktualną ciągu kapitałów w momencie ta nazywamy sumę wartości
aktualnych kapitałów – elementów tego ciągu w tym momencie.
K
a 

t j t a
 K k t
tj
t1
dr Adam SOJDA
 t j    K t j d t j  t a 
tn
a
t j t a
11
Ciągi kapitałów
Początkową wartością ciągu kapitału nazywamy wartość aktualną tego ciągu
w momencie początkowym t = 0.
Końcową wartością ciągu kapitałów nazywamy wartość aktualną tego ciągu
w momencie t = tn - daty ostatniego kapitału ciągu.
Wartość aktualna, początkowa i końcowa ciągu kapitałów zależy od
przyjętego sposobu oprocentowania i dyskontowania kapitału.
Dwa ciągi kapitałów są równoważne w momencie t, jeżeli ich wartości
aktualne w tym momencie są sobie równoważne.
dr Adam SOJDA
12
RENTY
Rentą nazywamy ciąg kapitałów (ciąg rat) równomiernie rozłożony w czasie
– kolejne daty kapitałów następują po sobie w równych stałych odstępach
czasu.
Rentami są:
systematycznie uzyskiwane dochody z kapitału (wypłata odsetek),
ratalne spłaty pożyczki lub kredytu,
wypłaty świadczeń z tytułu ubezpieczenia społecznego (renty inwalidzkie i
emerytury),
wpłaty składek na ubezpieczenie,
systematyczne oszczędzanie,
wpłaty rat leasingowych,
płacenie czynszu,
opłaty za korzystanie z radia i telewizji.
dr Adam SOJDA
13
RENTY
Rentę nazywamy pewną, jeżeli liczba rat jest z góry ustaloną liczbą
naturalną lub jest liczbą nieskończoną.
Rentę pewną nazywamy czasową, jeżeli liczba rat jest skończona w
przeciwnym przypadku rentę pewną nazywamy nieskończoną.
Rentę nazywamy życiową, jeżeli liczba rat jest zmienną losową.
Okresem renty nazywamy stały okres czasu pomiędzy kolejnymi sąsiednimi
parami jej rat.
Rentę pewną nazywamy zgodną, jeżeli okres stopy procentowej, okres
kapitalizacji i okres renty są równe. W przeciwnym przypadku rentę
nazywamy niezgodną.
Rentę zgodną nazywamy płatną z dołu, jeżeli terminem (datą) płatności j-tej
raty tej renty jest koniec j-tego okresu bazowego.
Rentę zgodną nazywamy płatną z góry, jeżeli terminem (datą) płatności j-tej
raty tej renty jest początek j-tego okresu bazowego.
dr Adam SOJDA
14
RENTY
Wartością początkową renty złożonej z n rat nazywamy sumę rat
n
zdyskontowanych na początku renty:
j
0 
R  R j 1 i
Dla renty płatnej z dołu:
  
j 1
n
Dla renty płatnej z góry:
0   R 0  1  i 
Zależność R
R0    R 1  i  j 1
j
j 1
Rentę nazywamy stałą, jeżeli wszystkie raty renty są sobie równe.
Rentę nazywamy jednostkową, jeżeli wszystkie raty renty są równe
n
jednostce wartości
j
R
0 
0 
R
n
 R 1  i 
j 1
n
j
 R 1  i 
j 1
dr Adam SOJDA
 j 1
a n i   1  i 
j 1
n
an i   1  i  j 1
j 1
15
RENTY
Wartością końcową renty złożonej z n rat nazywamy sumę rat
n
oprocentowanych na koniec renty:
n j
n 
R  R j 1 i
Dla renty płatnej z dołu:
  
j 1
n
Dla renty płatnej z góry:
Zależność
n   R n  1  i 
R
Dla renty stałej i jednostkowej
n
R n    R1  i 
n j
j 1
n 
R
n
dr Adam SOJDA
j 1
n
sn i   1  i 
n j
j 1
n
  R1  i 
j 1
Rn    R 1  i n1 j
j
n 1 j
sn i   1  i n1 j
j 1
sn i  sn i 1  i 
16
RENTY – tablice wartości początkowych rent jednostkowych
dr Adam SOJDA
17
Kredyty
KREDYT – jest pożyczką pieniężną zaciągniętą w banku na określony cel i
czas oraz za określony procent. Kredyt uzyskuje się na pewien czas, po
którym należy go zwrócić. Czas ten liczony jest w dniach, a przy
dłuższych okresach w miesiącach i latach. Udzielanie kredytów przez
banki jest jednym z ich podstawowych zadań.
Kredyt zostaje spłacony, jeśli w określonym czasie suma spłaconych rat
jest równa zaciągniętemu kredytowi wraz z odsetkami z tytułu
użytkowania wypożyczonego kapitału.
Można też tak:
Kredyt zostaje spłacony, jeśli suma obecnych (zaktualizowanych na
moment zaciągnięcia kredytu) wartości płatniczych związanych z jego
spłatą jest równa wartości zaciągniętego kredytu.
dr Adam SOJDA
18
Kredyty
Oznaczenia:
S – kwota kredytu
Aj – j-ta płatność
Rj – j-ta rata kapitałowa, długu
Ij – odsetki płacone w j-tej płatności
Sj – reszta długu do spłacenia po spłaceniu j rat
I – suma wszystkich odsetek
Każda płatność zawiera dwa składniki: ratę długu, kapitałową oraz odsetki.
An  Rn  I n
Spełniony musi być warunek:
n
S  R1  R2  ...  Rn   Rk
k 1
dr Adam SOJDA
19
Kredyty – spłata w różnych kwotach płatności
Kredyt w kwocie S ma zostać spłacony w n ratach, przy stopie procentowej i.
S
1
0
2
n
t
A1
A2
An
Spełnienie poniższej równości gwarantuje spłatę kredytu
An
A1
A2
S

 ... 
2
1  i  1  i 
1  i n
n
S 
k 1
dr Adam SOJDA
Ak
1  i 
k
20
Kredyty
Reszta długu pozostała do spłacenia po zapłaceniu k-tej płatności jest
różnicą pomiędzy przyszłą wartością kredytu i przyszłą wartością spłaconych
rat na moment zapłaty k-tej raty:

Sk  S 1 i   A1 1 i 
k
k 1
 A2 1 i 
k 2
k
 ... Ak

S k  S 1  i    A j 1  i 
k
k j
j 1
Odsetki płacone w k-tej płatności są wyznaczane na podstawie stanu
zadłużenia na koniec okresu k-1 i są równe:
I k  Sk 1i
Rata kapitałowa w k-tej płatności jest równa:
S0  S
Rk  Ak  I k
n
Suma wszystkich odsetek jest równa:
I   Aj  S
j 1
dr Adam SOJDA
21
Kredyty – spłata kredytu dla ustalonych rat kapitałowych
Zakładamy, że dane są wielkości rat kapitałowych: R1, R2,…, Rn.
Reszta długu pozostała do spłacenia po zapłaceniu k-tej raty:
k
Sk  S   R j
j 1
Wielkość odsetek do zapłacenia po k-tym okresie jest procentem od
zadłużenia w okresie k-1.
I k  Sk 1i
S0  S
Płatność po k-tym okresie jest równa:
Ak  Rk  I k
dr Adam SOJDA
22
Kredyty o ustalonych ratach kapitałowych
Udzielono kredytu na kwotę 10 000 zł. Kredyt ten ma być spłacony w 4
miesięcznych ratach kapitałowych równych odpowiednio: 1 000 zł, 2 000 zł,
4 000 zł, 3 000 zł. Wyznaczyć tabelę amortyzacji kredytu przy nominalnej
stopie procentowej 24%
Kwota kredytu
Rata
kapitałowa
10 000
1 000
9 000
9 000
2 000
7 000
7 000
4 000
3 000
3 000
3 000
0
dr Adam SOJDA
Odsetki
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
23
Kredyty o ustalonych ratach kapitałowych
Udzielono kredytu na kwotę 10 000 zł. Kredyt ten ma być spłacony w 4
miesięcznych ratach kapitałowych równych odpowiednio: 1 000 zł, 2 000 zł,
4 000 zł, 3 000 zł. Wyznaczyć tabelę amortyzacji kredytu przy nominalnej
stopie procentowej 24%
Kwota kredytu
Rata
kapitałowa
Odsetki
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
10 000
1 000
200
1 200
9 000
9 000
2 000
180
2 180
7 000
7 000
4 000
140
4 140
3 000
3 000
3 000
60
3 060
0
dr Adam SOJDA
24
Kredyty równych ratach kapitałowych
Udzielono kredytu na kwotę 10 000 zł. Kredyt ten ma być spłacony w
czterech równych miesięcznych ratach kapitałowych. Wyznaczyć tabelę
amortyzacji kredytu przy nominalnej stopie procentowej 24%
Kwota kredytu
Rata
kapitałowa
10 000
2 500
7 500
7 500
2 500
5 000
5 000
2 500
2 500
2 500
2 500
0
dr Adam SOJDA
Odsetki
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
25
Kredyty równych ratach kapitałowych
Udzielono kredytu na kwotę 10 000 zł. Kredyt ten ma być spłacony w
czterech równych miesięcznych ratach kapitałowych. Wyznaczyć tabelę
amortyzacji kredytu przy nominalnej stopie procentowej 24%
Kwota kredytu
Rata
kapitałowa
Odsetki
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
10 000
2 500
200
2 700
7 500
7 500
2 500
150
2 650
5 000
5 000
2 500
100
2 600
2 500
2 500
2 500
50
2 550
0
dr Adam SOJDA
26
Kredyty – spłata kredytu w stałych kwotach płatności
Spłata kredytu w równych kwotach występuje wtedy, gdy suma raty
kapitałowej za damy okres i odsetek są takie same w każdym okresie.
n
A
S 
k


1

i
k 1
Składniki tej sumy tworzą zatem ciąg geometryczny o wyrazie początkowym
a1 i ilorazie q.
A
a1 
1 i
Zgodnie ze wzorem
otrzymujemy:
n
na
1
q
1 i
sumę
 1 
1 

n

A
1  i 1
1 i 

S
A
n
1
1 i


i
1

i
1
1 i
dr Adam SOJDA
n
wyrazów
ciągu
geometrycznego
i1  i 
AS
n
1  i   1
n
27
Kredyty – spłata kredytu w stałych kwotach płatności
Reszta długu pozostała po zapłaceniu k-tej płatności jest równa:
k


1

i
1
k
S k  S 1  i   A
i
Odsetki spłacone w k-tej płatności są równe:

I k  S 1  i  i  A 1  1  i 
k 1
k 1

Rata kapitałowa po k-tym okresie jest równa:
Rk  A1 i 
k 1
dr Adam SOJDA
 S 1 i  i
k 1
28
Kredyty – spłata kredytu w stałych kwotach płatności
Udzielono kredytu na kwotę 10 000 zł. Kredyt ten ma być spłacony w
czterech równych miesięcznych płatnościach. Wyznaczyć tabelę
amortyzacji kredytu przy nominalnej stopie procentowej 24%.
Rozwiązanie.
1. Wyznaczenie stałej płatności:
4
0,021,02
A  10 000
 2 626,24
2. Ułożenie tabeli amortyzacji:
1,024  1
Kwota
kredytu
10 000,00 zł
rata
kapitałowa
Odsetki
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
2 626,24 zł
2 626,24 zł
2 626,24 zł
2 626,24 zł
dr Adam SOJDA
-
0,00 zł
29
Kredyty – spłata kredytu w stałych kwotach płatności
Udzielono kredytu na kwotę 10 000 zł. Kredyt ten ma być spłacony w
czterech równych miesięcznych płatnościach. Wyznaczyć tabelę
amortyzacji kredytu przy nominalnej stopie procentowej 24%.
Rozwiązanie.
1. Wyznaczenie stałej płatności:
4
0,021,02
A  10 000
 2 626,24
2. Ułożenie tabeli amortyzacji:
1,024  1
Kwota
kredytu
rata
kapitałowa
Odsetki
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
10 000,00 zł
2 426,24 zł
200,00 zł
2 626,24 zł
7 573,76 zł
7 573,76 zł
2 474,76 zł
151,48 zł
2 626,24 zł
5 099,00 zł
5 099,00 zł
2 524,26 zł
101,98 zł
2 626,24 zł
2 574,74 zł
2 574,74 zł
2 574,74 zł
51,49 zł
2 626,24 zł
-
dr Adam SOJDA
0,00 zł
30
Kredyty – konwersja i konsolidacja
Zmiana warunków spłaty kredytu nazywa się konwersją kredytu.
Proces łączenia kredytów nosi nazwę konsolidacji kredytu.
Wyznaczana jest łączna wartość zadłużenia w momencie dokonywania
konsolidacji i jego spłacenie na zasadzie nowych warunków.
Zadanie.
Kredytobiorca zaciągnął w banku 3 kredyty i do spłacenia pozostały mu:
a.2 miesięczne płatności po 1 500 zł przy stopie nominalnej 18%.
b.10 miesięcznych płatności po 500 zł przy stopie nominalnej 24%
c.24 miesięczne płatności po 450 zł przy stopie nominalnej 12%.
Zamienić te kredyty na jeden skonsolidowany spłacany w 6 równych ratach
przy stopie nominalnej 18%.
dr Adam SOJDA
31
Kredyty – konwersja i konsolidacja
Wyznaczamy wartości aktualne ciągów kapitałów odpowiadającym
poszczególnym kredytom
a. Wartość aktualna jest równa: 2 933.83 zł
b. Wartość aktualna : 4 491.29 zł
c. Wartość aktualna: 9 559.52 zł
Dla kredytu a.
2
1500
1500
1500


 2933.83
j
1
2
1  0.015 1  0.015
j 1 1  0.015
P1  
10
500
j
j 1 1  0.02
24
450
Dla kredytu b.
P2  
Dla kredytu c.
P3  
j 1
1  0.01 j
Wartość aktualna wszystkich kredytów jest równa: 16 984.64 zł
dr Adam SOJDA
32
Kredyty – konwersja i konsolidacja
Wyznaczamy wartość stałej raty
0,0151,015
A  16 984.64
 2 981.23
1,0156  1
6
Wyznaczamy tabelę amortyzacji kredytu
Kwota
kredytu
Rata
kapitałowa
Odsetki
16 984,64 zł
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
2 981,23 zł
2 981,23 zł
2 981,23 zł
2 981,23 zł
2 981,23 zł
2 981,23 zł
Odsetki = kwota kredytu * 0.015
dr Adam SOJDA
33
Kredyty – konwersja i konsolidacja
Wyznaczamy wartość stałej raty
0,0151,015
A  16 984.64
 2 981.23
1,0156  1
6
Wyznaczamy tabelę amortyzacji kredytu
Kwota
kredytu
Rata
kapitałowa
Odsetki
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
16 984,64 zł
2 726,46 zł
254,77 zł
2 981,23 zł
14 258,18 zł
2 981,23 zł
2 981,23 zł
2 981,23 zł
2 981,23 zł
2 981,23 zł
Odsetki = kwota kredytu * 0.015
dr Adam SOJDA
34
Kredyty – konwersja i konsolidacja
Wyznaczamy wartość stałej raty
0,0151,015
A  16 984.64
 2 981.23
1,0156  1
6
Wyznaczamy tabelę amortyzacji kredytu
Kwota
kredytu
Rata
kapitałowa
Odsetki
Płatność
Saldo kredytu na
koniec miesiąca
16 984,64 zł
2 726,46 zł
254,77 zł
2 981,23 zł
14 258,18 zł
14 258,18 zł
2 767,36 zł
213,87 zł
2 981,23 zł
11 490,82 zł
11 490,82 zł
2 808,87 zł
172,36 zł
2 981,23 zł
8 681,95 zł
8 681,95 zł
2 851,00 zł
130,23 zł
2 981,23 zł
5 830,95 zł
5 830,95 zł
2 893,77 zł
87,46 zł
2 981,23 zł
2 937,18 zł
2 937,18 zł
2 937,18 zł
44,06 zł
2 981,23 zł
0,00 zł
Odsetki = kwota kredytu * 0.015
dr Adam SOJDA
35
Kredyty – kredyt i inflacja
Spłata kredytu w warunkach inflacji może odbywać się w dwojaki sposób:
i. stopę procentową podwyższa się o stopę inflacji
ii.kredyt jest waloryzowany o stopę inflacji natomiast odsetki wyznacza
się na podstawie stopy procentowej kredytu
Zadanie
Zabrano kredyt na inwestycję w wysokości 100 000 zł. Kredyt ten ma być
spłacony w 4 równych rocznych płatnościach. Założono roczną stopę
procentową kredytu równą 15%. Wyznaczyć tabelę amortyzacji kredytu
jeśli okazało się, że inflacja w poszczególnych latach była równa: 10%,
14%, 8%, 15%. Rozpatrzeć dwa sposoby realizacji spłaty kredytu.
Rozwiązanie:
i. Zmieniamy wartości stóp procentowych w poszczególnych latach na równe:
25%, 29%, 23%, 30%. Następnie wyznaczamy płatności w poszczególnych
latach w oparciu o aktualną wartość zadłużenia i stopę procentową
ii. Przed wyznaczeniem płatności waloryzujemy kredyt i na podstawie wartości
zwaloryzowanej przeprowadzamy amortyzację kredytu.
dr Adam SOJDA
36
Kredyty – kredyt i inflacja
i.Wyznaczamy pierwszą płatność
0,251,25
A1  100000
 42 344.17
1,254  1
4
Wyznaczamy płatność drugą w oparciu o wartość kredytu na początku 2 roku
i nową stopę procentową
0,291,29
A2  82 655.83
 44 874.02
3
1,29  1
3
Analogicznie trzecią i czwartą
0,231,23
A3  61752.00
 41894.44
2
1,23  1
2
0,301,30
A4  34 060.52
 44 278.68
1
1,30  1
1
Saldo na
początku roku
Stopa
procent.
Odsetki
100 000,00 zł
25%
25 000,00 zł
17 344,17 zł
42 344,17 zł
82 655,83 zł
82 655,83 zł
29%
23 970,19 zł
20 903,83 zł
44 874,02 zł
61 752,00 zł
61 752,00 zł
23%
14 202,96 zł
27 691,48 zł
41 894,44 zł
34 060,52 zł
34 060,52 zł
30%
10 218,16 zł
34 060,52 zł
44 278,68 zł
- zł
dr Adam SOJDA
Rata
kapitałowa
Płatność
Saldo na
koniec roku
37
Kredyty – kredyt i inflacja
ii. Wyznaczamy płatności na podstawie zwaloryzowanego kredytu
0,151,15
A1  110000
 38 529.19
1,154  1
0,151,15
A2  100 286.72
 43 923.28
1,153  1
0,151,15
A3  77118.98
 47 437.14
1,152  1
0,151,15
A4  47 437.14
 54 552.71
1
1,15  1
3
4
1
2
Saldo na
początku
roku
Stopa
inflacji
Kredyt
zrewaloryzowany
Odsetki
Rata
kapitałowa
Płatność
Saldo na
koniec
roku
100 000,00
10%
110 000,00
16 500,00
22 029,19
38 529,19
87 970,81
87 970,81
14%
100 286,72
15 043,01
28 880,27
43 923,28
71 406,46
71 406,46
8%
77 118,98
11 567,85
35 869,29
47 437,14
41 249,68
41 249,68
15%
47 437,14
7 115,57
47 437,14
54 552,71
- zł
dr Adam SOJDA
38
Leasing
Leasing – to umowa, na mocy której jedna ze stron (leasingodawca)
przekazuje drugiej stronie (leasingobiorcy) prawo do użytkowania
określonego dobra (środka trwałego) na uzgodniony okres, w zamian za
określone płatności (raty leasingowe).
Ze względu na charakter zobowiązań i finansową stronę leasing dzielimy na
leasing operacyjny i leasing finansowy.
Leasing operacyjny – przedmiot leasingu będzie używany przez kilku
kolejnych użytkowników. Czas, na który zawarta jest umowa leasingu jest
krótszy niż czas normatywnego zużycia przedmiotu leasingu. Ważną cechą
leasingu operacyjnego jest fakt ponoszenia kosztów utrzymania i konserwacji
przedmiotu leasingu, które stanowią jednocześnie część opłat leasingowych
ponoszonych przez leasingobiorcę.
Leasing finansowy – czas trwania umowy jest zbliżony do normatywnego
czasu użytkowania przedmiotu. Jednocześnie leasingobiorca ma
zagwarantowane prawo do zakupu przedmiotu w momencie wygaśnięcia
umowy leasingu.
dr Adam SOJDA
39
Leasing
Kalkulacja rat leasingowych wymaga ustalenia następujących czynników:
 czasu trwania umowy;
 wartości przedmiotu leasingu;
 stopy procentowej, według której leasingodawca określił swoje koszty
oraz zysk;
 wartości przedmiotu leasingu na koniec umowy
Oznaczenia:
Rj – rata kapitałowa
A – płatność leasingowa
W – wartość początkowa przedmiotu leasingu
Wk – wartość końcowa przedmiotu leasingu
i – stopa procentowa
dr Adam SOJDA
40
Leasing
Strumienie pieniężne w leasingu
W
0
A
1
A
2
A
n-1
A
n
Wk
Wk
A
A
A
W  A

 ....

2
n 1
1  i  1  i 
1  i 
1  i n
Wielkość płatności leasingowej
dr Adam SOJDA
n 1


Wk
i1  i 

A  W 
n 
n
1  i   1  i   1

41
Leasing
Zadanie
Wartość leasingu w dniu podpisania umowy wynosi 50 000 zł. Stopa
procentowa jest równa 20%, a umowa jest zawarta na 4 lata. Obliczyć
wielkość płatności jeśli założono, że wartość końcowa przedmiotu leasingu
będzie równa 15 000 zł.

 0,21  0,23
15
000
Rozwiązanie

A   50 000 
 13 766,77
4
4


1  0,2  1  0,2
1
odsetki
pozostała do
spłaty wartość
przedmiotu
wartość
płatność
rata
kapitałowa
0
50 000,00
13 766,77
13 766,77
-
36 233,23
1
36 233,23
13 766,77
6 520,12
7 246,65
29 713,11
2
29 713,11
13 766,77
7 824,14
5 942,62
21 888,97
3
21 888,97
13 766,77
9 388,97
4 377,79
12 500,00
15 000,00
12 500,00
2 500,00
4
dr Adam SOJDA
42
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
W gospodarce rynkowej jednostki gospodarcze inwestują kapitał w rzeczowy
majątek trwały oraz w papiery wartościowe. Pierwszy typ działalności
nazywamy mianem inwestycji bezpośrednich (rzeczowych), drugi inwestycji
pośrednich (finansowych).
Przepływ pieniężny w okresie czasu t (CFt) jest różnicą pomiędzy wpływami i
wydatkami uzyskanymi w t-tym roku. Przepływ może być dodatni (cash
inflow – CIFt) lub ujemny (cash outflow – COFt). Kiedy wpływy są większe
bądź równe wydatkom wtedy występuje CIFt. Jeśli wpływy są mniejsze od
wydatków mówimy, że występuje COFt. Przepływ finansowy netto to
przepływ NCFt powstały po odjęciu od CFt nakładów inwestycyjnych Nt
W danym roku realizacji może wystąpić jeden z przepływów.
Zazwyczaj w pierwszych latach mamy do czynienia z przepływani ujemnymi
(dominują nakłady), w następnych występują przepływy dodatnie. Jeśli
zmiana znaku występuje tylko raz z minusa na plus wtedy mówimy o
konwencjonalnych przepływach.
dr Adam SOJDA
43
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Metody oceny projektów inwestycyjnych można podzielić na:
Statyczne - niedyskontowe, które nie uwzględniają zmiany pieniądza w
czasie.
Dynamiczne – dyskontowe, które uwzględniają zmianę pieniądza w czasie.
Do metod statycznych zalicza się:
 Okres zwrotów nakładów inwestycyjnych
 Księgową stopę zwrotu
 Analizę progów rentowności
Do metod dynamicznych zalicza się:
 Metodę wartości zaktualizowanej netto
 Metodę wewnętrznej stopy zwrotu
 Metodę zmodyfikowanej wewnętrznej stopy zwrotu
 Wskaźnik rentowności
dr Adam SOJDA
44
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Okres zwrotu nakładów inwestycyjnych jest czasem niezbędnym do tego,
aby nakłady poniesione na inwestycje zostały całkowicie zrównoważone z
nadwyżkami finansowymi osiągniętymi dzięki realizacji danego projektu.
Oznaczenia:
T – okres zwrotu nakładów inwestycyjnych
I – suma nakładów inwestycyjnych
CFt – nadwyżka finansowa w roku t
T
 CF  I  0
t 1
t
T – najmniejsza wartość spełniającą powyższą nierówność
dr Adam SOJDA
45
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Księgowa stopa zwrotu – jest stopą zwrotu z inwestycji
Oznaczenia:
Zn – przeciętny zysk netto osiągnięty w trakcie funkcjonowania
przedsięwzięcia
I – wartość początkowych nakładów inwestycyjnych
Zn
ARR 
I
Wyznaczoną księgową stopę zwrotu należy porównać ze stopą graniczną
określoną na podstawie rynkowej stopy procentowej lub na podstawie
zaangażowania kapitału.
dr Adam SOJDA
46
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Analiza progu rentowności – wielkość produkcji, dla której przychody ze
sprzedaży równoważą poniesione koszty. Założenia:
 Wykorzystywane dane liczbowe dotyczą eksploatacji inwestycji przy
normalnej zdolności produkcyjnej
 Wielkość produkcji jest równa wielkości sprzedaży – nie ma kosztów
magazynowania
 Koszty podzielone są na stałe i zmienne
 Koszty stałe mają charakter stały dla każdej wielkości produkcji
 Cena produktów jest stała
 Jednostkowe koszty zmienne są stałe
 Przychód ze sprzedaży jest funkcją liniową ceny jednostkowej i
ilości sprzedanych wyrobów
 Koszty całkowite są funkcją wielkości produkcji
dr Adam SOJDA
47
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Analiza progu rentowności
Oznaczenia:
c – cena sprzedaży wyrobu
q – liczba sprzedanych jednostek
kS – koszty stałe
kz – jednostkowy koszt zmienny
q0 – ilościowy próg rentowności
cq0 – wartościowy próg rentowności
dr Adam SOJDA
cq  ks  k z q
ks
q0 
c  kz
cks
cq0 
c  kz
48
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Analiza progu rentowności
Dla produkcji wieloasortymentowej
Oznaczenia:
ci – cena sprzedaży i-tego wyrobu
kzi – jednostkowe koszty zmienne i-tego wyrobu
qi – wielkość produkcji i-tego wyrobu
ks – koszty stałe (łączne dla wszystkich wyrobów)
q – globalna wielkość produkcji
wi – udział i-tego wyrobu w wielkości globalnej produkcji
n
n
c q  k
i
i 1
n
 c
i 1
i
i
i 1
zi
qi  k s
 k zi wi q  k s
n
n
c w q  k
i 1
i
q0 
i
i 1
zi
wi q  k s
ks
n
 c
i 1
dr Adam SOJDA
qi  wi q
i
 k zi wi
49
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Wyznaczyć próg rentowności produkcji trzech wyrobów A, B, C na podstawie
danych zawartych w tabeli.
A
B
C
Jednostkowa cena sprzedaży
22
35
18
Jednostkowe koszty zmienne
15
22
13
Udział sprzedaży
0,1
0,6
0,3
Koszty stałe (globalne)
50 000
50 000
50 000
q0 

 5 000
22 -150.1  (35  22)0.6  18  130.3 10
Łączna wielkość produkcji równa 5 000 sztuk określa próg rentowności, dla
wyrobu A jest to 5 000 ·0.1 = 500 sztuk, dla B 3 000 sztuk, C 1 500 sztuk.
dr Adam SOJDA
50
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Oznaczenia:
CFt – przepływy finansowe związane z funkcjonowaniem przedsięwzięcia
Nt – nakłady inwestycyjne
NCFt – przepływy pieniężne netto
t
t
t
t – numer roku
NCF  CF  N
r - graniczna stopa zwrotu, koszt pozyskania kapitału
WARTOŚĆ ZAKTUALIZAOWANA NETTO NPV
n
NCFt
NPV  
t
t 0 1  r 
Korzystne są inwestycje, dla których NPV >0. Im większa wartość NPV, tym
lepsza jest inwestycja
dr Adam SOJDA
51
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Metoda wewnętrznej stopy zwrotu
Wewnętrzna stopa zwrotu jest to taka wartość stopy procentowej,
określającej koszt pozyskania kapitału, dla której NPV jest równe zero.
n
NCFt
0

t
t  0 1  IRR
Wyznaczenie IRR w sposób analityczny jest zadaniem prostym. Jeśli nie
dysponujemy programem liczącym IRR można wyznaczyć ją w sposób
przybliżone jeśli znajdziemy dwie takie stopy r1 oraz r2, które nie różnią się
od siebie o więcej niż 1% I dają NPV o różnych znakach. Jeśli różnica jest
większa niż 1% należy przybliżyć się do tej wartości przez podział odcinka
pomiędzy r1 i r2 na połowę i wybrania nowego podziału, gdzie wartości są
różne. Procedura taka stosowana jest do momentu, gdy różnica będzie
mniejsza niż 1%
dr Adam SOJDA
52
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Dla różnicy pomiędzy stopami równej 1% IRR wyznaczamy ze wzoru:
PV r2  r1 
IRR  r1 
PV  NV
r1 – stopa procentowa, przy której NPV > 0
r2 – stopa procentowa, przy której NPV < 0
PV – wartość NPV obliczona dla r1
NV – wartość NPV obliczona dla r2
Inwestycja jest opłacalna, gdy wewnętrzna stopa zwrotu nie jest niższa niż
stopa zwrotu akceptowana przez inwestora.
Im lepszy projekt tym IRR większa.
dr Adam SOJDA
53
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
Metoda ZMODYFIKOWANEJ WEWNĘTRZNEJ STOPY ZWROTU
Zakładamy, że wpływy pieniężna podlegają reinwestowaniu według
stopy procentowej r. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu, to taka
wartość stopy procentowe, przy której wartość bieżąca reinwestowanych
wpływów jest równa wartości bieżącej nakładów inwestycyjnych.
n
Nt
CFt1  r 


t
n




1

r
1

MIRR
t 0
t 0
nt
n
wyznaczenie MIRR
1
n

n t 
 CFt 1  r  
 1
MIRR   t 0
1
 n Nt  n

t 


1

r
 t 0

n
Realizuje się te projekty, dla których MIRR >0
dr Adam SOJDA
54
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
WSKAŹNIK RENTOWNOŚCI
Wyznaczany dla dodatnich i ujemnych przepływów finansowych netto
n
NCIFt

t
t 0 1  r 
PI  n
NCOFt

t


1

r
t 0
Dany projekt jest realizowany, gdy wskaźnik rentowności jest większy od 1.
Im lepszy projekt, tym wskaźnik większy.
dr Adam SOJDA
55
Metody wyceny projektów inwestycyjnych
dr Adam SOJDA
56
Metody wyceny papierów wartościowych
Weksel – papier wartościowy o określonej dokładnie formie, zawierający
bezwarunkowe zobowiązanie do zapłaty określonej osobie w ustalonym
terminie i miejscu przez wystawcę lub przez osobę przez niego wskazaną
określonej sumy pieniężnej. Prawo wekslowe rozróżnia dwa rodzaje:
weksle własne – wystawca jest zobowiązany do zapłacenia
określonej sumy.
weksel trasowany – zobowiązuje inną osobę (trasata) wskazaną
przez wystawcę (trasanta) do zapłacenia określonej kwoty osobie
trzeciej (remitent)
Posiadacz weksla może:
Przechować go do momentu płatności i otrzymać za niego kwotę wyszczególnioną na
wekslu.
Może oddać go w zastaw jako zabezpieczenie zapłaty.
Może go złożyć w banku do dyskonta
Może wręczyć go zamiast zapłaty za towary lub usługi.
dr Adam SOJDA
57
Metody wyceny papierów wartościowych
Oznaczenia:
Wn – wartość nominalna weksla
Wa – wartość aktualna weksla
D – odsetki dyskontowe
d – stopa dyskontowa
t –liczba dni
Wartość aktualna weksla jest mniejsza od jego wartości nominalnej
d t
D
Wn
360
d t
Wn  Wa  D 
Wn
360
dr Adam SOJDA
360Wa
Wn 
360  d  t
58
Metody wyceny papierów wartościowych
Bony skarbowe są krótkoterminowymi papierami wartościowymi
umożliwiającymi zaciągnięcie przez skarb Państwa, emitowane z terminem
wykupu od kilku do kilkunastu tygodni.
Sprzedaż bonów skarbowych w Polsce dokonywana jest w formie
przetargów organizowanych przez NBP.
Bony skarbowe sprzedawane są z dyskontem. Oznacza to, że cena zakupu
Cz jest niższa od jego wartości nominalnej Wn.
D – odsetki dyskontowe
d t 

d – stopa dyskontowa
C z  Wn 1 

 360
t –liczba dni
Rentowność R – stopa zwrotu z inwestycji
Wn  C z 360
R

Cz
t
dr Adam SOJDA
R
d

Wn C z
59
Metody wyceny papierów wartościowych
Certyfikat depozytowy – papier wartościowy potwierdzający przyjęcie przez
bank wkładów terminowych. Certyfikat jest wystawiony na okaziciela i istnieje
możliwość obrotu certyfikatem na rynku wtórnym. Certyfikat jest
charakteryzowany przez:
emitenta – bank, który przyjął depozyt i zobowiązuje się do jego spłacenia wraz z
odsetkami.
wartość nominalna – cena sprzedaży certyfikatu, czyli wielkość zdeponowanego
kapitału.
okres trwania – termin emisji i termin wykupu certyfikatu
nominalną stopę procentową.
Wn – wartość nominalna certyfikatu
Wc – wartość certyfikatu w dniu jego wykupu
r – roczna stopa procentowa
t –liczba dni
R - rentowność
dr Adam SOJDA
r t 

Wc  Wn 1 

 360
Wc  Wn 360
R

Wn
t
60
Metody wyceny papierów wartościowych
Obligacja jest to papier wartościowy, w którym emitent potwierdza zaciągnięcie
określonej kwoty pożyczki i zobowiązuje się do jej zwrotu właścicielowi obligacji. Zwrot
następuje w terminie określonym w obligacji i zwanym terminem wykupu, odsetki zwane
kuponami wypłacane są posiadaczowi obligacji w sposób określony w obligacji.
Obligacje możemy podzielić na:
Obligacje o stałym oprocentowaniu – odsetki tworzą ciąg stały
Obligacje indeksowane – odsetki i wartość nominalna są indeksowane o stopę inflacji
Obligacje zerokuponowe – obligacje sprzedawane są z dyskontem
Ze względu na emitenta obligacje dzielimy na:
Obligacje skarbowe – emitowane w celu pokrycia deficytu państwa
Obligacje instytucji finansowcy – emitowane w celu uzupełnienia kapitału emitenta
Obligacje organów samorządowych – emitowane w celu finansowania wydatków
miast, gmin
Obligacje przedsiębiorstw o charakterze publicznym – poczta, kolej
Obligacje pozostałych przedsiębiorstw i instytucji
dr Adam SOJDA
61
Metody wyceny papierów wartościowych
Wartość nominalna – określana przez emitenta i oznacza kwotę, jaką otrzyma
posiadacz obligacji po upływie terminu jej wykupu. Wartość nominalna może być stała
bądź zmienna (indeksowane i bezkuponowe)
Wartość emisyjna – cena po jakiej emitent sprzedaje obligacje.
Wartość rynkowa – wartość bieżąca obligacji – cena po jakiej można w danym
nt
momencie obligacje sprzedać lub kupić.
 d
1    1
Wn
n

Obligacje o stałym oprocentowaniu.
Wr  I

nt
nt
Wn – wartość nominalna obligacji
d d
 d
1  
1  
R – oprocentowanie obligacji (w stosunku rocznym)
n n
 n
d – stopa dyskontowa ( w stosunku rocznym)
R
I  Wn
n
Wr – wartość rynkowa obligacji
t – liczony w latach termin wykupu
n – częstość wypłaty odsetek w ciągu roku
I
I
I - odsetki
Wr 
dr Adam SOJDA
 d
1  
 n

 d
1  
 n
2

I
 d
1  
 n
3
 ... 
I
 d
1  
 n
nt

Wn
 d
1  
 n
nt
62
Metody wyceny papierów wartościowych
Obligacje wieczyste lub konsole – jej emitent nie jest zobowiązany do zwrotu
kapitału, musi natomiast wypłacać ustalone odsetki.
Wr 
I
 d
1  
 n
dr Adam SOJDA

I
 d
1  
 n
2

I
 d
1  
 n
3
 ... 
I
 d
1  
 n
nt
 ... 
I n
d
63
Metody wyceny papierów wartościowych
Akcja – papier wartościowy stwierdzający bezwarunkowy udział właściciela
w kapitale spółki akcyjnej uprawniający do partycypacji w jej zyskach w
formie tzw. dywidendy oraz do majątku spółki w razie jej likwidacji.
Wyróżniamy akcje zwykłe oraz uprzywilejowane – korzystające ze
specjalnych uprawnień w stosunku do akcji zwykłych. Akcje charakteryzują:
wartość nominalna – określa ile kapitału akcyjnego przypada na jedną akcję
wartość emisyjna – cena po jakiej akcja jest oferowana przez emitenta pierwszemu
jej właścicielowi
wartość księgowa – jaka wartość aktywów netto spółki przypadająca na jedną akcję
wartość rynkowa – cena za jaką w danym okresie można uzyskać za akcję w
momencie jej sprzedaży.
Indeks rynku – wskaźnik dostarczający syntetycznej informacji o zmianie cen w danym
dniu. Indeksy różnią się:
 liczbą spółek, których akcje są uwzględniane w konstrukcji indeksu
 konstrukcją wag przydzielanych akcjom poszczególnych spółek
 metodą uśredniania.
dr Adam SOJDA
64
Metody wyceny papierów wartościowych
Indeks Dow Jones Industrial Average (DJIA)
Najstarszy indeks charakteryzujący giełdę nowojorską (1884). Głównie
korporacje przemysłowe
30
DIJAt  
i 1
Pit
dt
Indeks Standard & Poor’s 500
(1923) Przemysł i podstawowe gałęzie gospodarki USA
500
SPt 
w P
i 1
500
w
i 1
dr Adam SOJDA
it it
P
iB iB
65
Metody wyceny papierów wartościowych
Warszawski Indeks Giełdowy WIG
(maj 1991)
Od 1993 obliczany zgodnie z formułą
N
WIGt 
w P
i 1
5
w
i 1
dr Adam SOJDA
it it
K t 1000
P
iB iB
66
Metody wyceny papierów wartościowych
Wycena akcji polega na wyliczeniu zaktualizowanej wartości przyszłych
dochodów, które przyniesie akcja inwestorowi przy uwzględnieniu
wymaganej przez niego stopy zwrotu.
Dt – dywidenda płacona po okresie t
Pn – cena po n okresach
r – wymagana, oczekiwana przez inwestora stopa zwrotu za jeden okres
n
Dt
Pn
P

t
n




1

r
1

r
t 1
Ponieważ należy założyć, że
Pn
 0 , to
n 1  r n
lim

Dt
t


t 1 1  r
P
dr Adam SOJDA
67
Metody wyceny papierów wartościowych
Model stałej wartości dywidendy (wzrost zerowy)

Dt
D
1
D
P


t
1
1 r
r
t 1 1  r 
1
1 r
Model wzrostu równomiernego (model Gordona)
zakładamy, że dywidenda rośnie według stopy g, przy czym g < r
Dt  D0 1 g 
t
dr Adam SOJDA
D0 1  g 
1 g
P
 D0
t
rg
1  r 
t 1

t
68
Metody wyceny papierów wartościowych
Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko akcji
Stopa zwrotu
rt 
Zt
K t 1
rt 
Pt  Pt 1  Dt
Pt 1
Stopa zwrotu z akcji w przypadku wypłaty dywidendy
n
r   ri pi
Oczekiwana stopa zwrotu
i 1
Miara ryzyka wariancja lub odchylenie standardowe
n
V   pi ri  r 
i 1
dr Adam SOJDA
2
s V 
n
 pi ri  r 
2
i 1
69
Metody wyceny papierów wartościowych
Portfel akcji
ri, rj – oczekiwana stopa zwrotu z i-tej, j- tej akcji
si, sj – odchylenie standardowe i-tej, j-tej akcji
rik, rjk – możliwe wartości stopy zwrotu i-tej, j-tej akcji
n
pk – prawdopodobieństwo wystąpienia stóp zwrotu
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona
 ij 
 p r
k 1
k
ik
 ri r jk  r j 
si s j
wi – udział wartościowy i –tej akcji w portfelu
N
r   wi ri
i 1
dr Adam SOJDA


2 2
s    wi si  2  wi w j si s j  ij 
i 1 j i 1
 i 1

N
N 1 N
0,5
70
Metody wyceny papierów wartościowych
Model Sharpe’a
Obrazuje zależność stopy zwrotu od stopy zwrotu indeksu giełdowego bądź pewnego
portfela rynkowego.
ri – stopa zwrotu i-tej akcji
rM – stopa zwrotu z indeksu bądź portfela
αi, βi – współczynniki równania
ei – składnik resztowy
ri  i  i rM  ei
Prosta regresji zwana linią charakterystyczną.
ri  i  i rM
Współczynnik βi nazywany jest współczynnikiem Beta i wskazuje on o ile procent w
przybliżeniu wzrośnie stopa zwrotu i- tej akcji, gdy stopa indeksu giełdy lub portfela
rynkowego wzrośnie o 1%.
Dla portfela akcji:
N
 p   wi  i
i 1
dr Adam SOJDA
71
Metody wyceny papierów wartościowych
dr Adam SOJDA
72
Metody wyceny papierów wartościowych
dr Adam SOJDA
73
Metody wyceny papierów wartościowych
dr Adam SOJDA
74