Transcript Функционально-графический метод решения уравнений

Функционально-графический
метод решения уравнений
(метод оценки)
Бессонова Т.Д. учитель
математики
ВСОШ № 7
г.Мурманск
2008
Цели урока:
1) научить узнавать уравнения, которые
можно решать методом оценки;
2) научить заменять сложные конструкции
более простыми моделями;
3) научить решать уравнения методом
оценки.
Решите уравнения
5х - 8(х-7) = -1
2х² - 3х + 1=0
√5-х=2х
Cos x = x² + 1
Решить уравнение
cos x  x 2  1
Решение. Рассмотрим функции
Ответ: 0
y1  x 2  1, y 2  cos x
Метод мажорант – метод нахождения
ограниченности функции.
Мажорирование – нахождение точек
ограничения функции.
М – мажоранта.
Если имеем f(x) = g(x) и известно
ОДЗ, и если f ( x)  M ,
то
g ( x)  M ,
M  f ( x),
M  g ( x).
метод оценки
• уравнение f(x) = g(x);
• Если на промежутке Х наибольшее
значение одной из функций
y = f(x), y = g(x) равно А и наименьшее
значение другой функции тоже равно А, то
уравнение f(x) = g(x) равносильно на
промежутке Х системе уравнений
f(x)=А
g(x)=А
Решить уравнение

cos2 х= x2_ 2x+2
 x, она ограничена на отрезке [-1;1];
Рассмотрим функцию у = cos2
Рассмотрим функцию у = x²-2x+2. Её графиком служит парабола,
ветви которой направлены вверх. Значит в вершине параболы
функция достигает своего наименьшего значения. Абсциссу
вершины найдем из уравнения у‛ = 0
у‛ = (x²-2x+2)‛ = 2х-2
2х - 2 = 0; х = 1; у(1) = 1² - 2·1 + 2 = 1
у = cos2 x обладает свойством: у наиб = 1
у = x²-2x+2 обладает свойством: у
Cos2
наим
=1
x=1
x2_ 2x+2 = 1
Из второго уравнения системы получаем х = 1
Поскольку это значение удовлетворяет и первому уравнению
системы, то оно является единственным решением системы.
А следовательно , единственным корнем заданного уравнения
ОТВЕТ: 1
Особенности уравнений
• В уравнении присутствуют функции разной
природы
• Функции ограничены
• Наибольшее значение одной функции
равно наименьшему значению другой
функции
Алгоритм решения уравнения
• Свести уравнение к виду f(x) = g(x)
• Найти множества значений данных
функций на ОДЗ уравнения
f ( x)  A
• Составить систему уравнений
g ( x)  A
• Решить наиболее простое из уравнений и
подставить полученные корни в другое
уравнение
• значения переменной х, которые
являются корнями обоих уравнений
одновременно и будут решениями
исходного уравнения
Примеры уравнений решаемых
методом оценки
5x
1) sin
 x2  4x  5
4
2)  cos7x  x 2  6 x  10
3) x 2  2 x  1  ln 2 (cos2x)  0
Решите уравнение:
log2 (2х - х2 + 15 ) = х2 - 2х + 5.
Дадим оценку левой части уравнения.
2х - х2 + 15 = - (х2 - 2х - 15 ) = - ( ( х2 - 2х + 1 ) - 1
- 15 ) = - ( х - 1 ) 2 + 16 16.
Тогда log2 (2х - х2 + 15 )  4.
Оценим правую часть уравнения.
x2 - 2х + 5 = (х2 - 2х + 1 ) - 1 + 5 = (х - 1) 2 + 4  4.
log2 (2x  x 2  15)  4,
( x  1) 2  4  4.
Исходное уравнение может иметь решение только
при равенстве обеих частей четырем.
log2 (2x  x 2  15)  4,
( x  1) 2  4  4.
Ответ: 1
x 1
x 1
Значит х=1
Для самостоятельной работы.
1.log4 (6х - х 2 + 7 ) = х2 - 6х + 11
2.log5( 8x - x 2 + 9 ) = х2 - 8x + 18
3.log4 (2x - x 2 + 3 ) = х2 - 2x + 2
4.log2 ( 6x - x2 - 5 ) = х2 - 6x + 11
Отв.: х = 3.
Отв.: х = 6.
Отв.: х = 1.
Отв.: х = 3.
Решите уравнение
cos3x cos2x = -1.
Первый способ.
0,5 ( cos x + cos 5x ) = -1,
cos x + cos5x = -2.
Поскольку cos x  - 1 , cos 5x  - 1, то
cos x + cos 5x > -2,
отсюда следует система уравнений
cos x = -1,
cos 5x = - 1.
Решив уравнение cos x = -1, получим х =  + 2к ,где
kZ.
Эти значения х являются также решениями уравнения
cos 5x = -1, т.к.
cos 5x = cos 5 ( + 2k) = cos ( + 4 + 10k) = -1.
Таким образом , х =  + 2к , где kZ , - это все
решения системы, а значит и исходного уравнения.
Ответ: х =  ( 2k + 1 ), kZ.
Второй способ.
Можно показать, что из исходного уравнения следует
совокупность систем
cos 2x = - 1,
cos 3x = 1.
cos 2x = 1,
cos 3x = - 1
Решив каждую систему уравнений , найдем объединение
корней.
Ответ: x = ( 2к + 1 ), kZ.
Для самостоятельной работы.
Решите уравнения:
1. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7.
2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8.
3. 3 cos 3x + cos x = 4.
4. sin x sin 3 x = -1.
5. cos8 x + sin7 x = 1.
6. cos 3x + cos 5x/2 = 2.
7. cos 6x + sin 5x / 2 = 2.
Ответ: нет решений.
Ответ: нет решений.
Ответ: х = 2к, kZ.
Ответ: х = /2 + к, kZ.
Ответ: х = m, mZ;
х = /2 + 2n, nZ.
Ответ: 4m, mZ.
Ответ:  + 4к, kZ
Задания ЕГЭ 2008года
 37

1. sin 
 x   3x 2  1
 2

2.4 cos x  x 2  4
2x
3. 16  (4 x  5)  4  cos
5
2
4.2(
2
2 cos15x )( 2 cos15x )
5x
5.( 2  cos
)( 2 
4
 4  (10x  1)2
cos 5x
2
4
)  25 x  20 x  6
Литература
•
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс.: В
двух частях. Ч. 1:Учеб. для общеобразоват. учреждений.-6-е
изд. – М: Мнемозина,2005.
•
Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват.
учреждений/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и
др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, 2004.
•
Кочагин В.В. ЕГЭ 2008. Математика. Репетитор/ Кочагин В.В.,
Кочагина М.Н.- М.: Эксмо,2008.-256с.