2014強震動講座-v1 - 久田研究室
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「強震動予測―その基礎と応用」第14回講習会
波数積分法による地震動計算
の基礎・応用と課題
2014年12月11日 東京工業大学田町キャンパス
工学院大学・建築学部
久田嘉章
概要
○波数積分法（理論的手法）の基礎
強震動特性、理論・手法・解法
○震源特性の基本的な性質
放射特性、指向性パルス、フリングステップ
○強震動計算例の紹介
1992年米国・Landars地震（Mw 7.3）
1994年米国・Northridge地震（Mw 6.9）
2001年台湾・集集地震（Mw 7.5）
○強震動予測手法のベンチマークテスト
強震動：ランダム特性とコヒーレント特性
• ランダム特性（短周期側）：標準的入力地震動
エルセントロ波、タフト波、告示波・・・
→ 短周期強震動が卓越、建物を倒壊させる破壊力は大きくない
大きい！
小さい！
短周期
告示波の例（加速度波形と応答スペクトル）
：短周期ランダム波の卓越）
長周期
ガタガタ揺らすが
倒壊させにくい
コヒーレント性ある観測強震動(変位波形)と被害
堆積層表面波（長周期地震動）
震源近傍の強震動（指向性パルス）
地表断層近傍の強震動
（フリングステップ）
2003年十勝沖地震
の苫小牧市にお
けるナフサタンク
の全面火災
1995年兵庫県南部
地震における神
戸市の木造家屋
の倒壊
1999年台湾・集集
地震による地表
断層上のRC建物
の傾斜
強震動計算 → ハイブリッド手法
低振動数：理論的手法→波数積分法、差分法など
高振動数：経験的・統計的手法→統計的グリーン関数法など
マッチング振動数（0.5～2.0
フリングステップ、
指向性パルス、表面波・・・
Hz）
ランダム波形・・・
強震動計算の基礎式（表現定理）
表現定理（面震源による強震動の計算式）
U k (Y ; )
観測点Yの変位解
ソース点 X
参考：
T
ik
( X , Y ; )Di ( X ; )d
グリーン関数 ソース点Xのダブルカッ
プル震源・すべり関数
観測点 Y
グリーン関数
破壊フロント （地震動の伝播特性）
破壊開始点（震源）
久田、4.2 成層地盤の解析手法、「地盤震動－現象と理論－」、日本建築学会、2005
久田、建築の振動：応用編、６章 地震と地震動、pp.80-140、朝倉書店、2008
平行成層地盤のグリーン関数
（伝播・サイト特性）
○伝達マトリックス法
・古典：Haskellのマト
Y (東)
リックス法
→高振動数で発散
・現在：R/Tマトリックス
法（Luco and Apsel、
Kennett, など）
→高振動数でも安定
0
X(北)
θ
観測点(r,θ,z)
Ur
Uθ
円筒座標系
震源
Qy
(0,0,h)
Qz
Qx
Z (下)
１層
２層
Uz
震源層
最下層(半無限)
平行成層地盤のグリーン関数
（波数積分法：フーリエ・ベッセル変換より）
ベッセル関数
震源の加振向き
観測点の振動向き
深さ方向の振幅
（SH波）
（P－SV波）
波数
=ω/C
・波数軸上で関数値が発散する極が表面波、分岐点は実体波に対応
・極の寄与を留数定理で求めた解析解が正規モード解（表面波）
・波数積分は数値積分法で解く。離散化波数法は空間のフーリエ級数
波数積分法における非積分関数の例
(a) h=1 km
z= 0 km
r= 1 m
（漸近解無）
(b) h= 1 km
z= 0 km
r= 20 km
（漸近解無）
h：震源深さ
z：観測点深さ
r：水平距離
(c) h= 1 km, z= 0.99 km
r= 20 km（漸近解無）
(d) h= 1 km,
z= 0.99 km
r= 20 km
（漸近解有）
グリーン関数Urx,zの被積分関数（1 Hzの場合）
漸近解：静的項
実線：実部
波線：虚部
面震源モデルと震源パラメータ
地表面
X (北)
走向角
Y(観測点)
( )
Y (東)
断層走向
グリーン関数
（長さ方向）
Z (下)
アスペリティ
断層幅（W）
断層面の法線
ベクトル（n）
ー
すべり（D、
上盤で定義）
SMGA
破壊伝播
r
震源
（破壊開始点）
すべり角
X(ソース点)
破壊フロント
アスペリティ
ー SMGA
断層長さ（L）
下盤
傾斜角
( )
断層走向
（長さ方向）
様々なすべり速度関数
slip (m) and slip velocity (m/s)
18
相模トラフ最大級地震（30 km x 30 km ＳＭＧＡ)
16
14
12
10
Slip
Slip Velocity
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
time (s)
7
8
9
10
中村・宮武関数（2000） → 大規模地震への使用では要注意！
Slip Velocity (m/s)
3.5
Sub-Fault No.76 (Max Slip)
3
2.5
３５°
１２５°
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
time (s)
1999年台湾・集集地震（Mw 7.5）の例
（Wu, 2001）
2011年東北地方太平洋沖地震の例
Yoshidaほか（2011）:周期20秒以上
断層面ごく近傍における表示定理の
断層面積分の特異点の扱い
U k (Y ; )
T
D
ik
( X , Y ; ) D i ( X ; ) d
14
12
10
Integrand
8
6
4
2
45
49
22
15
Width
8
41
37
29
33
21
Length
25
13
17
5
9
0
1
• 観測点が断層面近傍にある
時、グリーン関数が1/r2に近
いオーダーで発散
• 発散点近傍に多数のグリーン
関数を分布させる必要
• 動的な成層地盤では多大な
計算時間
• 特異性は静的項に起因
1
グリーン関数の断層面分布
→ 静的項で発散
断層面近傍における強震動計算
（表示定理）
表示定理（オリジナル）
U k (Y ; ) Tik ( X , Y ; )Di ( X ; )d
修正表示定理（Hisada and Bielak, 2002）
U k (Y ; ) Tik ( X , Y ; ) TikS ( X , Y ) Di ( X ; )d
TikS ( X , Y )Di ( X ; )d
Tik ：動的グリーン関数 → 幾何減衰: 1/r～1/√r → パルス波
S
Tik ：静的グリーン関数 → 幾何減衰: 1/r２ → Fling Step
面震源における断層極近傍での振幅の頭打ち
（Hisada and Bielak, BSSA, 2003）
• 円形断層モデルによる地震動の解析的表現
＋でなく、
－の間違い！
D=1 m
断層面上の解
遠方の静的近似解
注：地表傾斜断層の場合、地表面効果あり
波数積分法による強震動計算
公開計算コード（Fortran）の主な特徴１
• 平行成層地盤における強震動計算を行うFortan77プログラム
（Hisada, BSSA, 1997; 久田、建築論文集1995など）。
• R/T伝達マトリックス法（ Luco & Apsel, BSSA, 1983）などにより、高
振動数でも安定した解を得る。
• 周波数依存のQ値をQ=Q0**fa、因果性を満たす一定Q（Futterman,
JGR, 1962）を導入可。
• グリーン関数の静的項を厳密に評価することにより、地表断層近傍
の大永久変形（fling step）を高精度に評価（Hisada and Bielak、
BSSA, 2003）
• 数値積分：低波数ではSimpson積分、高波数（振幅が変動する調和
関数）ではFilon積分 → 近地・遠地とも高速・高精度
• 表面波の位相速度（極）を事前に計算（群速度・分散曲線・変位/応
力ベクトル・H/Vスペクトル・Medium Responseも計算・・） → 波数
積分の数値積分を効率化（極・分岐点周辺を密）
波数積分法による強震動計算
公開計算コード（Fortran）の主な特徴２
• 振動数に虚数を導入し、波数積分を効率化するPhinney法（JGR,
1965）の導入も可
• 震源深さが観測点深さに近い場合、動的項の波数積分では非積分
関数から静的項を差し引いて収束計算を速めている。一方、静的
項の計算には積分路変換法（Greenfieldの方法）で高速化
• 断層面積分は小断層ごとにガウス積分を使用（1×1～6×6点）
• すべり速度関数には、四角形・三角形関数の組み合わせ、指数関
数、中村・宮武関数を選択することが可能
• Source Data Patternに3パターンの入力方法を導入可。パターン１
は小断層ごとに1行を使って、各Time Windowのすべり量(m)をすべ
て入力し、その後すべり角(度)も同様に与える。パターン２はすべり
量とすべり角の分布をMatrix形で Time Windowごとに与える。パ
ターン３は変位(m)の代わりに地震モーメント(Nm)を入力する。
• 破壊フロントにランダムな乱れを導入可→過度なパルス波を排除
強震動・震度分布が空間的に変動する原因
震源特性（点震源の放射特性）
振幅最大
P波
振幅最大
振幅0
振幅0
振幅最大
振幅0
振幅0
振幅0
S波
振幅0
振幅最大
振幅最大
振幅0
振幅最大
振幅最大
振幅0
震源近傍の強震動：
ランダム波とパルス波の成因
観測点（破壊伝播が近づく側）
地表面
断層面直交成分
破壊伝播
アスペリティー
震源（破壊開始点）
横ずれ断層
1940年Imperial Valley 地震（横ずれ断層）
El Centro波（ランダム波）
1979年Imperial Valley 地震（横ずれ断層）
Meloland波（指向性パルス）
Vel(kine)
１９９５年兵庫県南部地震
アスペリティーと指向性パルス
JMA-simu(FN)
JMA-obs
155
0
-155
Vel(kine)
0
5
10
Time(sec)
15
155
20
25
MOT-simu(FN)
MOT-obs
0
-155
松島・ 川瀬（2000）
Vel(kine)
0
5
10
Time(sec)
15
No.5の寄与
155
20
25
TKTsimu(FN)
TKT-obs(FN)
-220
0
5
10
Time(sec)
15
20
25
震源近傍の強震動（逆断層の場合）
指向性パルスとランダム波の成因
指向性パルス 指向性パルス
が出やすい
が出にくい
観測点 A
高角度
指向性パルス
が出にくい
指向性パルスが出にくい
観測点 B
震源
2004年中越地震（川口町：震度７）
観測点 C
低角度
震源
海溝型地震では指向性パルス
（震度７）は出にくい！
破壊力ある震源近傍の強震動
地表地震断層とフリングステップ
地表面
観測点 A
観測点 B
観測点 D
観測点 C
上盤
下盤
(a) 横ずれ断層の場合
(b) 逆断層の場合
1999年台湾・集集地震における地表断層直上の建物の被害例（逆断層）
地表断層出現とフリングステップ
1999 台湾・集集地震（逆断層・上盤側）
震源特性の計算例
地中断層における指向性効果
地盤は半無限一様地盤
断層面を５×２＝１０の小断層に分割
各小断層で３×３＝９点のガウス面積分を実施（滑らかな破壊伝播を再現）
震源特性の計算例
地中断層における指向性効果
15
15
断層面平行成分（EW）
10
10
0
-5
0
10
20
30
時間（秒）
-10
-15
5
速度（cm/s）
速度（cm/s）
5
断層面直交成分（NS）
断層面平行成分（EW）
断層面直交成分（NS）
0
-5
0
10
20
30
時間（秒）
-10
観測点１
-20
速度波形（観測点１）
-15
観測点２
-20
指向性パルス
速度波形（観測点２）
震源特性の計算例
地表断層によるフリングステップ
震源特性の計算例（フリングステップ）
指向性パルス
フリングステップ
フリングステップ
地表地震断層によるフリングステップ
(傾斜角30°の逆断層)
1
2
3
100 m
4
5
200 m
6
30°
7
Foot Wall
1m
UD
Free Surface
1 km
8
9
10
11
Homogeneous
Half-Space
(Vp = 5 km/s
Vs = 3 km/s)
12
1 km
1 sec
FP
FN
Hanging Wall
Slip Velocity
time
地表地震断層によるフリングステップ
(傾斜角30°の逆断層)
12
12
12
12
Hanging
Wall
地表地震断層
7
6
7
6
Foot
Wall
FP
FN
UD
1
1
速度波形
FP
7
7
6
6
FN
1
変位波形
UD
1
強震動予測レシピの使用上の注意点
地震調査研究推進本部、震源断層を特定した地震の強震動予測手法（「レシピ」、2009）
• レシピ：誰がやっても同じ答
が得られる標準的な方法論
⇒ 誰でも同じ結果にはならない！
• 強震動策定：膨大な数の
パラメータの組み合わせ、微妙な
同じレシピなのに・・
調整で結果に大きな差が出る。
⇒ 各パラメータの影響度の判断、最終イメージの有無
• 本来持つ震源・伝播過程の複雑さ：
レシピでは大幅に削除、単純化している。
⇒ 実用的な強震動を得るには多くの経験が必要！
特に、震源過程がそのまま現れる震源近傍は要注意
特性化震源モデル：単純化した震源モデル
slip (m) and slip velocity (m/s)
18
相模トラフ最大級地震（30 km x 30 km ＳＭＧＡ)
16
14
12
10
Slip
Slip Velocity
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
time (s)
7
8
9
10
すべり関数・すべり速度関数（中村・宮武関数）
強震動予測レシピによるアスペリティ
（アスペリティ設定に各種経験則）
単純な破壊過程：一様なすべり関数・破壊伝播速度
単純なグリーン関数：直達実体波～平行層地盤
⇒ 指向性パルスの場合、非常に単純なパルス波
海溝型超巨大地震（東北地方太平洋沖地震）
の震源モデルとすべり速度関数
川辺・釜江モデル（2013）
：周期10秒以下のＳＭＧＡ
A2
Yoshidaモデルのすべり速度分布
A3
A4
A1
Yoshidaモデル（2011）:周期20秒以上
海溝軸近くで約50mのすべり領域
Yoshidaモデル
ＳＭＧＡでのすべり速度関数
A5
1992年Landers 地震 •
Waldほかによるモデル •
断層面（15ｋｍ×75ｋｍ）を6×31に分
割：小断層サイズ2.5×2.4 km
各小断層に4×4点の積分点を分布
• すべり速度関数：継続時間1秒の三角
形関数を1秒間隔で6つ重ね合わせ
• 破壊伝播速度：2.7 kmで一定
• グリーン関数：固い地盤を平行成層モデ
ルで波数積分法でモデル化（1 Hｚ以下）
Mw＝7.2
N40W
LUC
約75ｋｍ
☆
MVB
JSH
JSH
※Wald and Heaton(1994)
観測記録と計算波形の比較（LUC）
120
Fault Parallel Component (N40W)
120
100
100
FP (simulation)
FP (observation)
60
断層平行成分
40
20
0
-20 0
20
40
60
断層直交成分
40
20
0
-20 0
20
180
160
Fault Parallel Component (N40W)
displacement (cm)
200
150
FP (simulation)
FP (observation)
100
変位波形
50
0
0
20
40
time (s)
60
速度波形
-80
250
40
-60
time (s)
-60
displacement (cm)
FN (observation)
60
-40
速度波形
-40
FN (simulation)
80
velocity (cm/s)
velocity (cm/s)
80
-50
Fault Normal Component (N130W)
60
time (s)
Fault Normal Component (N130E)
FN (simulation)
140
120
FN (observation)
100
80
60
40
変位波形
20
0
-20 0
-40
20
40
time (s)
60
波数積分法による強震動計算の流れ
○計算手順
①表面波の位相速度（分散曲線）を計算
（波数軸上の極に相当）：phs3sQ-v3.f
②波数積分法による強震動計算（振動数
領域）：grflt12sx1-v13.f
③フーリエ逆変換（時間領域）：grfftsp.f
入力データ例：grflt12s1-CEF.csv
（Camp Rock/Emerson Fault）
時間・周波数データ： phs3sQ-v3.f、grflt12sx1-v13.f
*** Data for Delta Time, Duration, and Minimum Period ***
Delta Time Number
(sec) of Time (must be Power of 2)
0.5
128
Minimum Period
Imaginary
(sec)Omega for Phinney's method
1
0.01
→時間刻みを0.5秒で128点（=27、継続時間=64
秒）で、最小周期１秒（＞時間刻みの２倍）で計
算。円振動数ωの虚数部を0.01とする（Phinney
法のため）。
地盤モデル（平行成層地盤）
Num. Density (g/cm3) Vp (km/s) Qp Vs (km/s) Qs Thickness (km)
1
2.3
3.8
100
1.98
30
1.5
2
2.6
5.5
600
3.15
300
2.5
3
2.7
6.2
600
3.52
300
22.0
4
2.87
6.8
600
3.83
300
6.0
5
3.5
8.0
600
4.64
300
0.0
入力データ例：grflt12s1-CEF.csv
（Camp Rock/Emerson Fault）
地盤データ： phs3sQ-v3.f、grflt12sx1-v13.f
*** MEDIUM DATA ***
NL (NUMBER
(Note: Frequency-Dependent
OF LAYERS)
Q; Qp(f) = Qp0 x f ** Qpf & Qs(f) = Qs0 x f ** Qsf)
5
Layer density(t/m3)Vp(m/s)
Number
Qp0 (Qp(f)=Qp0*f^Qpf)
Qpf Vs(m/s) Qs0 (Qs(f)=Qs0*f^Qsf)
Qsf Thichness(m)
1
2.3
3800
100
0
1980
30
0
1500
2
2.6
5500
600
0
3150
300
0
2500
3
2.7
6200
600
0
3520
300
0
22000
4
2.87
6800
600
0
3830
300
0
6000
5
3.5
8000
600
0
4640
300
0
0
→５層地盤。Q値の振動数依存なし。
密度、Vp、Qｐ、Vs、Qｓ、層厚
震源モデル：３つの断層面の重合わせ
Camp Rock/Emerson
Fault (CEF)
Homestead Valley
Fault (HVF)
Johnson Valley
Fault (JVF)
観測点
(Lucerne Valley)
震源
断層基準点・小断層番号ほか
入力データ例：grflt12s1-CEF.csv
（Camp Rock/Emerson Fault）
断層モデルデータ１： grflt12sx1-v13.f
*** Seimic Fault Parameters (after Wald and Heaton, BSSA, 1994 Combined Mo
Length (m) Width (m) Num. of Sub-Fault
Num. of Sub-Fault
along
Number
Length
ofalong
Gaussian
WidthPoints per Sub36000
15000
12
6
4
Start Time of
Strike
Rupture
(deg)(sec)
Dip (deg) Vr (m/s) dtr (s; average
random
delay
number
ruptute
for dtr
time(inte
at
0
320
90
2700
0
1
Location of Y(m)
Hypocenter: Z(m)
X(m)
(Note: X->North, Y->East, Z->Down)
21818
5119
7000
Location of Y(m)
Fault Origin: Z(m)
X(m)
(Note: X->North, Y->East, Z->Down)
50949
4015
15000
→断層長さ・幅、小断層分割数、ガウス点数
走向角、傾斜角、破壊伝播速度、フロント乱れ無
震源位置、断層基準点位置(X,Y,Z)
入力データ例：grflt12s1-CEF.csv
（Camp Rock/Emerson Fault）
断層モデルデータ２： grflt12sx1-v13.f
Number of Time
Interval
Windows
TimeSlip
(s) Velocity Func.(Rectangular=0; Triangle=1; Exponetia
すべり速度関数（小断層ごと）
6
1
1
二等辺三角形の重合せ（６個）
Time Window1st
Number
Half Rise2nd
Time
Half
(s)Rise Time (s)
1
0.5
0.5
2
0.5
0.5
すべり量（面積）
すべり速度
3
0.5
0.5
4
0.5
0.5
5
0.5
0.5
6
0.5
0.5
→すべり速度関数
時間（秒）
破壊開始時間
１秒
入力データ例：grflt12s1-CEF.csv
（Camp Rock/Emerson Fault）
断層モデルデータ３： grflt12sx1-v13.f
Slip and Rake Data Pattern (=1: Regular Patten (ex. grflt12s.f), =2: Time Window Ma
1
Sub-Fault Slip
Number
of 1st Time
Slip of
Windows
2nd Time
Slip(m)
ofWindows
3rd Time
Slip(m)
ofWindows
4th Time
Slip(m)
ofWindows
5th Time
Slip(m)
ofWindows
6th Time
(
1
0.02
0.13
0.24
0.11
0
0.15
2
0
0.34
0.08
0
0
0
3
0
0.29
0
0
0
0
4
0.33
0.42
0.13
0
0
0.02
Sub-Fault Rake
Number
of 1stRake
Timeof
Windows
2stRake
Time
(deg)
of
Windows
3stRake
Time
(deg)
of
Windows
4stRake
Time
(deg)
of
Windows
5stRake
Time
(deg)
of
Windows
6st Time
(
1
180
180
180
180
180
180
2
180
180
180
180
180
180
3
180
180
180
180
180
180
4
180
180
180
180
180
180
→小断層・すべり時間ごとのすべり量・すべり角
入力データ例：grflt12s1-CEF.csv
（Camp Rock/Emerson Fault）
波数積分データ： grflt12sx1-v13.f
*** Data for Static Wavenumber Integration using Greenfield's Quadrature ***
The first corner
Initial Number
(om*k) on
of real
Intgegration
axis (ex. Points
2.0) for Adaptive Newton-Cotes Quadra
2
16
The second
Initial
corner
Number
(om*k)
of on
Intgegration
imag. axis Points
(ex. 10.0)
for Adaptive Newton-Cotes Quadra
10
32
*** Data for Dynamic Wavenumber Integration using Simpson's and Filon's quadra
Number of Integration Points from 0 to om/Ryleigh(min)
200
Number of Integration Points from om/Ryl(min) to om/c(final)
50
Factor for c(final): c(final)=Ryl(min)/Factor (Ex., 10)
10
→静的項：積分路変換法＋Newton-Cotes則
動的項：Simpson則（小波数）、Filon積分法（大波数）
入力データ例：grflt12s1-CEF.csv
（Camp Rock/Emerson Fault）
フーリエ変換・観測点データ： grflt12sx1-v3.f
*** CHANGE OF SIGNS OF IMAGINARY PARTS OF FINAL RESULTS (FOR FFT) ***
Change sign (=1), or do not change sign (=0)
1
*** OBSERVATION POINT ***
NUMBER OF Obserbvation Points
1
Observation
Location:
Point Number
X Y(m)
(m)
Z (m)
1
63578
-9182
0 : Luc
→フーリエ変換の虚数部の符号を逆転（地震学
定義→工学変換）
観測点：LUCの座標位置（X,Y,Z）
① 表面波・位相速度の計算
（分散曲線、Medium Response）
• phs3sQ-v3.f
Medium Response of Love Wave (Up to Mode 5)
Dispersion Curves of Love Wave (Up to Mode 5)
5000
4.50E-08
4.00E-08
4500
U 0 3.50E-08
4000
C 1
Medium Response
Phase and Group Velocities (m/s)
C 0
U 1
3500
C 2
3000
3.00E-08
M 0
2.50E-08
U 2
M 1
C 3 2.00E-08
M 2
U 3
2500
M 3
C 4 1.50E-08
U 4
2000
C 5
位相速度
群速度
1500
M 4
M 5
1.00E-08
U 5 5.00E-09
0.00E+00
1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
frequencies (Hz)
Love波の分散曲線
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
frequency (Hz)
Love波のMedium Response
レイリー波のH/Vスペクトル
1000
H/Vスペクトル（レイリー波）
100
H/V
10
1
0
0.2
0.4
0.6
0.1
0.01
0.8
M 0
M 1
M 2
M 3
M 4
M 5
M 6
0.001
Frequency (Hz)
1
② 波数積分法による波形計算
（振動数領域、速度波形出力）
・grflt12sx1-v13.f
修正表示定理（Hisada and Bielak, 2002）
U k (Y ; ) Tik ( X , Y ; ) TikS ( X , Y ) Di ( X ; )d
TikS ( X , Y )Di ( X ; )d
動的グリーン関数
（実体波・表面波）
静的グリーン関数
（断層面近傍の項）
③ フーリエ逆変換（フィルター、時間領域）
・grfftspx.f
100
FP
FN
Z(UD)
速度(cm/s）
75
50
25
0
-25
0
10
20
40
30
時間（秒）
-50
変位（ｃｍ）
LUC（CEF断層のみ）
200
LUC（CEF断層のみ）
150
FP
FN
Z(UD)
100
50
0
0
-50
速度波形（出力波形）
10
20
30
40
時間（秒）
変位波形（速度波形を時間積分）
1994年Northridge地震（逆断層）
震源モデルと強震観測点
A’
Mｗ 6.9
断層面延長線
FP
FN
断層面
延長線
断層面
＋15°線
5 km
断層面
＋15°線
15°
15 km
A
傾斜角
Wald ほか(1996)の震源モデル
Bull. Seism. Soc. Am., Vol.86, No.18, S49-S70
震源
40°
Ｗａｌdほか（1996）による
震源・地盤モデル
• 断層面（１８ｋｍ×２４ｋｍ）を14×14に分割：
小断層サイズ1.3×1.7 km
• 各小断層に５×５点の積分点を分布
（→ ４×４点のガウス積分点で近似）
• すべり速度関数：継続時間0.6秒の三角形関
数を0.4秒間隔で３つ重ね合わせ
• 破壊伝播速度：3 kmで一定
• グリーン関数：岩盤・堆積層を平行成層モデ
ルで波数積分法でモデル化（1 Hｚ以下）
Bull. Seism. Soc. Am., Vol.86, No.18, S49-S70
3
slip velocity
slip
3
2
slip velocity (m/s) & slip (m)
強震動生成域２-2-145度
4
Ａ２
2
1
1
0
0
0.3
0.6
0.9
time (s)
1.2
1.5
Ａ１
強震動生成域２-1-145度
5
slip velocity
slip
4
3
2
1
0
0
0.3
0.6
0.9
time (s)
1.2
1.5
震源
slip velocity (m/s) & slip (m)
slip velocity (m/s) & slip (m)
slip velocity (m/s) & slip (m)
Waldモデルの震源断層モデルとすべり速度関数
強震動生成域１-3-145度
4
3
3
2
2
1
1
0
slip velocity
slip
0
0.3
0.6
0.9
time (s)
1.2
1.5
強震動生成域１-1-145度
7
6
5
4
3
2
1
0
slip velocity
slip
0
0.3
0.6
0.9
time (s)
1.2
震源逆解析によるすべり分布（Wald and Heaton, 1996）
特性化震源モデルとの違い（A1とA2を二つのアスペリティーと仮定）
・震源断層に対するアスペリティーの面積比：A1が15％、A2が8%、A1+A2が23％
・震源断層に対するアスペリティーの平均すべり比：A1が1.5、A2が2.1、A1+A2が1.7倍
・震源断層に対する背景領域の平均すべり比：0.37倍 ⇒ 無視できない
・アスペリティー内のすべり速度関数：中村・宮武関数と異なり、非常に複雑な関数
⇒ 震源近傍の複雑な強震波形を再現するには、複雑な震源破壊過程が必要
1.5
地盤モデル（Ｗａｌdほか、1996）
Layer
Density
(kg/m3)
Vp
(m/s)
Qp
Vs
(m/s)
Qs
1
1700
800
40
300
2
1800
1200
60
3
2100
1900
4
2400
5
Thickness (m)
Rock
Sediment
20
-
100
500
30
-
200
100
1000
50
500
200
4000
200
2000
100
1000
2700
5500
400
3200
200
2500
6
2800
6300
400
3600
200
23000
7
2900
6800
600
3900
300
13000
8
3300
7800
600
4500
300
-
観測波と計算波（Waldモデル）との比較
100
80
80
FN(low)
CMP-FN
60
FN(low)
CMP-FN
60
40
40
20
20
0
0
5
10
15
20
25
30
-20
-40
-60
-80
0
断層
直交
成分
-20
0
5
10
15
20
25
30
-40
-60
-80
-100
-100
-120
-120
60
25
40
20
FN(low)
SSU-FN
15
10
0
5
0
5
10
15
20
25
30
-20
0
-5
FN(SCSe-low)
SCS-FN(N32E)
20
0
5
10
15
20
25
30
震源
-10
-40
-60
-15
-20
-80
-25
-100
-30
40
50
40
50
FN(low)
CMP-FN
30
20
30
10
20
10
0
10
0
0
-10
0
0
5
10
15
20
25
30
-10
-10
0
5
10
15
20
25
5
10
15
20
25
30
30
-20
-20
-20
-30
-50
30
FN(low)
CMP-FN
40
20
-40
FN(low)
VNY-FN
60
周期１秒以上
-30
-30
-40
-40
-50
Wald ほか(1996)
1999年台湾・集集地震（Mw 7.5）
121°E
TCU068
TCU102
TCU052
TCU144
TCU065
TCU072
TCU075
24°N
TCU129
24°N
TCU089
TCU078
（ｍ）
0
40km
Wu他（2001）によるすべり分布
121°E
•
•
•
•
•
断層面（82 ｋｍ×42 ｋｍ）を41×21に分割：小断層サイズ2×2 km
各小断層に1×1点の積分点を分布
すべり速度関数：継続時間1秒の三角形関数を0.5秒間隔で47重ね合わせ
破壊伝播速度：3.0 kmで一定
グリーン関数：固い地盤（最表層Vs：上盤=2040 m/s,下盤= 900 m/s）を平
行成層モデルで波数積分法でモデル化（0.64秒以上）
Wuほか、Bull. Seism. Soc. Am., 91, 5, pp.1128–1143, October 2001
Wu他(2001)の断層すべりモデル
Slip Velocity (m/s)
0.5
震源
Sub-Fault No.276 (Hypocenter)
0.4
SR35:276
SR125:276
0.3
0.2
0.1
0
0
5
15
10
20
25
time (s)
最大すべり(16.7 m)
←―――――――――――――――――――――――→
震源
北
（ｍ）
3.5
Slip Velocity (m/s)
南
震源のすべり速度
Sub-Fault No.76 (Max Slip)
3
2.5
３５°
１２５°
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
time (s)
最大すべり要素
のすべり速度
25
UD
Wuモデルによる
計算（上盤）
NS
EW
UD
NS
EW
UD
NS
EW
UD
NS
EW
UD
UD
NS
NS
EW
EW
UD
UD
NS
NS
EW
EW
UD
UD
NS
EW
UD
NS
EW
NS
EW
UD
NS
EW
Wuモデルによる
計算（下盤）
強震動予測手法のベンチマークテスト
（代表的な３手法、単純から複雑モデルへ）
○強震動予測手法の精度検証
○代表的な３つの強震動計算手法（同一の震源・地盤モデル）：
・理論的手法（波数積分法、離散化波数法、薄層法など）
・数値解析手法（差分法、有限要素法など）→（その２）
・統計的グリーン関数法に代表される統計的手法→（その３）
○単純なモデルから徐々に複雑化・２段階ステップ：
・点震源・面震源と単純地盤：ステップ１・２（2009年度終了）
・点震源・面震源と複雑地盤：ステップ３・４（2010年度終了）
・関東平野・中・巨大地震：ステップ５・６（2011年度終了）
・首都直下地震・南海トラフ地震：ステップ７（2013年度終了）
・首都直下地震・南海トラフ地震：ステップ８（2014年度）
○成果：日本建築学会技術報告集（2010～2013）
○HPによるデータ公開: http://kouzou.cc.kogakuin.ac.jp/test/home.htm
ベンチマークテストの参加者・手法（理論手法）
No Participant
1
Hisada &
Matsumoto
2
Nagano
3
Nozu
4
Miyakoshi
& Asano
5
Nakagawa
Method
Wavenumber
Integration
Thin Layer
Method
Discrete
Wavenumber
Discrete
Wavenumber
Wavenumber
Integration
Code
Step1 Step2 Step3 Step4 Step5 Step6
Hisada
○
○
○
○
○
○
Nagano
○
○
○
○
○
○
Nozu
○
○
△
×
○
×
O.Coutant
○
○
△
×
○
○
Hisada
○
○
○
○
×
×
○: 全ての課題参加, △: 一部の課題参加, ×不参加
・理論的手法（３次元波動場・地盤は平行成層）
波数積分法（久田、中川）：波積分を数値積分で解く
離散化波数法（野津、宮越・浅野）：波数積分を空間のフーリエ級数で解く
薄層法（永野）：鉛直方向は数値解（基盤は剛仮定）、水平方向は理論解
震源・地盤モデル: ステップ１ (2009)
Model
T11
T12
T13
T14
Media
Bedrock
2 Layers Model
Q
Infinite (No Damping)
Table 4
Infinite
Source Depth
2 km
20 km
Frequencies
0 - 20 Hz
Output
6 points (+002, +006, +010, +030, +050, +100 km)
Reference
UHS.14)
LOH.14)
LOH.34)
LOH.14)
* Day, S. M. et.al. (2000). Final Report to PEER Center, pp.1-24.
X
(North)
+002 +006 +010 +030
+050
平行成層地盤モデル（ステップ１・２共通）
UD
tan -1 (3/4)
1 km
+100
Radial
Transverse
2 km Point Source
(T14=20 km)
Z
(Down)
Y
(East)
Medium
1
Medium 2
Layer
Thickness
Vp
Vs
Density
Sediment
1,000
(m/s) (m/s) (kg/m3)
4,000 2,000 2,600
Bedrock
-
6,000 3,464 2,700
(m)
Qp=Qs
40f
70f
震源モデルは点震源で、指数関数型の震
源時間関数 (T=0.1 s)
ステップ１の結果(T11、T13)
2
1
T11+100 (Transverse)
0.8
0.8
Hisada
1.4
velocity (m/s)
velocity (m/s)
1.6
1.2
Nagano
1
0.8
Nozu
0.6
Hisada
0.7
0.6
Nagano
0.5
0.4
Nozu
0.3
0.2
0.4
Miyakoshi
0.2
20
time (s)
30
Nagano
0.5
0.4
Nozu
0.3
Miyakoshi
0
10
40
0.6
0.1
0
10
Hisada
0.7
0.2
Miyakoshi
0.1
0
T11+100 (UD)
0.9
0.9
velocity (m/s)
1.8
1
T11+100 (Radial)
20
30
40
10
20
30
40
time (s)
time (s)
震央距離100 kmの速度波形 (T11：基盤１層地盤、減衰なし)
0.1
0.05
T13+100 (Transverse)
0.09
Nagano
0.05
0.04
Nozu
0.03
Hisada
0.035
velocity (m/s)
0.06
velocity (m/s)
0.07
0.08
0.04
Hisada
0.03
Nagano
0.025
0.02
Nozu
0.015
0.01
0.02
Miyakoshi
一定Ｑ（Futterman）
0.01
0
10
20
30
40 50
time (s)
60
70
80
Hisada
0.07
0.06
Nagano
0.05
0.04
Nozu
0.03
0.02
Miyakoshi
0.005
0
0
T13+100 (UD)
0.09
0.045
0.08
velocity (m/s)
0.1
T13+100 (Radial)
Miyakoshi
0.01
0
0
10
20
30
40 50
time (s)
60
70
80
0
10
20
30
40 50
time (s)
震央距離100 kmの速度波形 (T13：２層地盤、減衰あり)
60
70
80
Q値の導入法による結果比較（一定Ｑ値）
0.004
T13+100 (Radial)
0.045
虚数のみ
0.035
0.03
fref= 1.0 Hz
0.025
0.02
0.01
0.005
fref= 0.16 Hz
Miyakoshi（Q一定）
0.002
fref= 0.16 Hz 0.001
0.015
虚数のみ
宮腰＆久田
fref=
1.0 HzHz)
(fREF
=0.16
0.003
velocity (m/s)
velocity (m/s)
0.04
Miyakoshi
虚数のみ
15
1
i
V V 1
ln
Q
2
Q
REF
*
16
17
time (s)
→ 分散性あり
波形全体（Radial成分）
0.0003
-0.0007
0 10 20 30 40 50 60 70 80
time (s)
-0.001
fREF=1 Hz
Ｐ波初動
Range 60 - 63 (s)
0.0008
-0.0002 60
0
0
0.0013
Range 15 -18 (s)
velocity (m/s)
0.05
18
-0.0012
61
62
63
虚数のみ
fref= 1.0 Hz
fref= 0.16 Hztime (s)
Miyakoshi（Q一定）
fREF=1 Hz
虚数のみ
宮腰＆久田(fREF=0.16 Hz)
後続波形
モデルT13による速度波形のRadial成分（震央距離 -100 km）
→虚数のみでは因果性を満たさず。一定ＱはFutterman、但し、波形はfrefに依存
ステップ３ (T33+100:地表点震源、非減衰2層地盤)
10
9
T33+100(Radial)
4
3.5
HISADA
3
2.5
2
MIYAKOSHI
1.5
1
NAGANO
0.5
0
NAKAGAWA
Velocities(m/s)
Velocities(m/s)
5
4.5
T33+100(Transverse)
8
7
HISADA
6
5
MIYAKOSHI
4
3
2
NAGANO
NAKAGAWA
1
0
・久田・永野はほぼ一致
0
20
40
0
20
40
60
80 time(s) 100
・宮腰・中川はやや振幅が小さい（深さ５０ｍで近似）
速度波形（水平２成分）
・中川はさらにQ=1000、他はQ=9999
1
0.01
0.1
1
0.1
0.01
0.001
HISADA
10
1
0.01
1
0.01
0.001
NAKAGAWA
0.0001
0.1
time(s) 100
frequency (Hz)
0.1
MIYAKOSHI
NAGANO
80
T33+100 (Transverse)
frequency (Hz)
velocity amplitude (m)
velocity amplitude (m)
T33+100 (Radial)
60
HISADA
MIYAKOSHI
NAGANO
NAKAGAWA
0.0001
速度フーリエ振幅スペクトル（水平２成分）
10
理論的手法：ステップ４（面震源）
震源
破壊伝播
有効振動数
出力点
提出波形
X (North)
UD
NS
観測点の測線(-100kmから+100km)
36.9°
1 km
EW
2 km
4 km
Y (East)
6 km
Layer 1
Layer 2
震源(0,1,4) km
(Half-Space)
地中断層モデル
•
•
•
•
地盤は２層地盤を考慮（ステップ１・２と同じ）
震源時間関数は中村・宮武関数
破壊伝播の揺らぎも考慮
横ずれ断層による地表・地表断層を考慮
T42の破壊過程のゆらぎ
は入倉(1994)による
破壊開始時間へのランダム
性導入法による
t ij
ij
Vr
ij：破壊開始時間
w / 2Vr ij w / 2Vr
ランダム数
X (North)
観測点の測線(-100kmから+100km)
0 km
Y (East)
2 km
4 km
Layer 1
Layer 2
震源
(Half-Space)
(0,1,2) km
地表断層モデル
6
slip velocity (m/s)
モデル名
地盤
減衰
ステップ４（締切:2 0 1 0 / 1 1 / 1 ）
T4 1
T4 2
T4 3
T4 4
２層地盤
あり
なし
横ずれ断層（上端深さ 2 km：
横ずれ断層（上端深さ 0
中村- 宮武関数）
km：中村- 宮武関数）
2
2
1km 間隔 1km 間隔
連続
一定
ゆらぎ
0 ～5 Hz
±0 0 2 , ±0 0 6 , ±0 1 0 , ±0 3 0 , ±0 5 0 , ±1 0 0 km
（計 1 2 点）
１波形
３波形
１波形
中村・宮武型すべり速度関数
（fc=6 Hz、tr=0.667秒
Td=0.053秒、ｔs=1秒）
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
time (s)
0.8
1
ステップ４ (T44+002:地表・連続断層、減衰無2層地盤)
0.1
T44+002 (NS)
Nakagawa
Static
0.4
0
0
2
4
6
8
10
-0.05
-0.1
-0.15
T44+002 (EW)
0.5
velocity (m/s)
velocity (m/s)
0.05
0.6
Hisasda
Nagano
0.3
0.2
0.1
破壊フロントの連続性を満足せず time (s)
Hisasda
Nagano
Nakagawa
Static
0
0
2
4
6
8
-0.1
-0.2
time (s)
10
・減衰：永野・久田は無減衰(大きな一定Q値)、
変位波形（水平２成分、フリングステップの計算）
中川は振動数比例Ｑ→因果性を満足せず(Q(f)=Q0・fn)
修正表示定理（Hisada and Bielak, 2002）
U k (Y ; ) Tik ( X , Y ; ) TikS ( X , Y ) Di ( X ; )d
TikS ( X , Y )Di ( X ; )d
Tik ：動的グリーン関数
S
：静的グリーン関数
ik
T
ステップ５: 関東平野における実地震動
検討出力点のS波速度(m/s)と各層上端深さ(m)
KNO
T51震源
T53震源
T52震源
km
ステップ5の震源と19の出力点
T51モデルの震源パラメータ
震源緯度（°）
震源経度（°）
震源深さ（km）
走行角（°）
傾斜角（°）
すべり角（°）
地震モーメント（Nm）
ρ
Vp
Vs
(t/m3)
(m/s)
(m/s)
1
1.95
1800
500
2
2.05
2100
3
2.1
4
層番号
JSK
35.2133
139.0998
15.3
215
35
40
3.3×1016
Qp=Qs
層上端深さ（m）
KNO
JSK
500f*
0
0
700
700f
－
－
2300
900
900f
152
406
2.15
2400
1000
1000f
－
－
5
2.25
3000
1500
1500f
384
1736
6
2.3
3200
1700
1700f
－
－
7
2.45
4200
2400
2000f
616
－
8
2.6
5000
2900
2000f
676
－
9
2.65
5500
3200
2000f
1317
3067
10
2.7
6000
3530
2000f
1798
7830
11
2.8
6700
3940
2000f
4494
19575
*：fは振動数(Hz)
1Hzで表中のQ値になるように設定
T51：台形型の
震源時間関数
Sato, T. et al, Bull.
Seismo. Soc. Am.,
Vol.88, No.1,
pp.183-205, 1998
T51モデル結果
1.6
+0.205
1
+0.159
NAGANO
0.8
+0.160
0.6
+0.0293
0.2
+0.0297
HISADA et al.
NAGANO
0.15
NOZU
0.4
+0.160
+0.0294
NOZU
0.1
+0.0294
0.05
ASANO et al.
0.2
0
50
100
time (s)
obs
+0.0510
0.3
HISADA et al.
+0.0510
NAGANO
0.2
+0.0511
0.1
+0.0511
NOZU
ASANO et al.
ASANO et al.
0
0
+0.0546
0.4
obs
0.25
Velocity (cm/s)
HISADA et al.
T51-KNO-UD
0.5
+0.0414
0.3
+0.159
1.2
T51-KNO-EW
0.35
obs
1.4
Velocity (cm/s)
0.4
Velocity (cm/s)
T51-KNO-NS
1.8
0
50
0
100
time (s)
0
50
time (s)
100
T51-KNO速度波形比較（左からNS、EW、UD）
0.4
0.35
0.3
0.2
0.15
0.1
0.05
0.3
+0.0156
obs
+0.0155
HISADA et al.
NAGANO
+0.0156
NOZU
+0.0155
ASANO et al.
0
0
50
100
time (s)
Velocity (cm/s)
Velocity (cm/s)
0.25
+0.0564
T51-JSK-EW
0.12
+0.0433
0.1
obs
0.25 +0.0385
HISADA et al.
0.2 +0.0385
NAGANO
0.15 +0.0385
0.1
NOZU
+0.0386
0.05
ASANO et al.
0
0
T51-JSK-UD
0.14
50
100
time (s)
Velocity (cm/s)
T51-JSK-NS
0.35
0.08
0.06
0.04
0.02
+0.0304
+0.0103
obs
+0.0102
HISADA et al.
+0.0103
NAGANO
+0.0102
NOZU
ASANO et al.
0
0
T51-JSK速度波形比較（左からNS、EW、UD）
50
100
time (s)
2011年度ベンチマークテスト・T61モデル
19出力点と地盤モデルはステップ5と同様
T61モデルの震源パラメータ
破壊開始点
震源モデルパラメータ
震源断層長さ（km）
震源断層幅（km）
震源（破壊開始点）緯度（°）
震源（破壊開始点）経度（°）
震源（破壊開始点）深さ（km）
走行角（°）
傾斜角（°）
すべり角（°）
破壊伝播速度（km/s）
JSK
震源時間関数
KNO
地震モーメント（Nm）
km
T61（面震源）
130
70
35.3847
139.1144
10.651
294
16
各小断層毎に付与
3.0
10個の矩形型
重ね合わせ
（小断層合計）
9.94×10 20
1.6
Slip Vel. (m/s)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
T61モデルの震源断層すべり量分布(m)と
19の出力点
Sato, H. et al, Science, 309, pp.462-464, 2005
0
0
20
40
60
time (s)
破壊開始点の震源時間関数
T61モデル結果
T61-KNO-NS
400
300
+29.170
350
HISADA et al.
NAGANO
150
+28.890
100
ASANO et al.
Velocity (cm/s)
Velocity (cm/s)
+28.863
50
250
+45.497
NAGANO
150
+44.881
100
ASANO et al.
100
200
0
300
time (s)
+32.449
200
NAGANO
150
+32.242
100
ASANO et al.
50
0
0
HISADA et al.
250
50
0
+32.340
300
HISADA et al.
200
T61-KNO-UD
350
+44.710
300
250
200
T61-KNO-EW
Velocity (cm/s)
350
100
200
0
300
time (s)
0
100
200
300
time (s)
T61-KNO速度波形比較（左からNS、EW、UD）
T61-JSK-NS
300
180
160
+16.100
160
+17.490
HISADA et al.
140
HISADA et al.
140
HISADA et al.
NAGANO
150
+30.791
ASANO et al.
50
Velocity (cm/s)
Velocity (cm/s)
+30.995
100
120
+16.100
100
NAGANO
80
60
+16.113
40
ASANO et al.
20
100
200
300
time (s)
120
+17.455
100
NAGANO
80
60
+17.551
40
ASANO et al.
20
0
0
0
T61-JSK-UD
180
+30.910
250
200
T61-JSK-EW
Velocity (cm/s)
350
0
100
200
300
time (s)
0
0
T61-JSK速度波形比較（左からNS、EW、UD）
100
200
300
time (s)
おわりに
○波数積分法（理論的手法）の基礎
○震源特性の基本的な性質
○強震動計算例の紹介・計算コード・データの公開
http://kouzou.cc.kogakuin.ac.jp/Open/Green/
http://kouzou.cc.kogakuin.ac.jp/Open/Kyoshin/
○強震動予測手法のベンチマークテスト
http://kouzou.cc.kogakuin.ac.jp/benchmark.htm
参考文献
久田嘉章、成層地盤の解析手法、地盤震動 －現象と理論－、日本建築学会、pp.84102, Jan., 2005
Hisada, Y, and J. Bielak, A Theoretical Method for Computing Near-Fault Strong Motions
in Layered Half-Space Considering Static Offset due to Surface Faulting, with a
Physical Interpretation of Fling Step and Rupture Directivity, Bull. Seism. Soc.of
America,, Vol.93, No.3,pp.1154-1168, June., 2003
久田嘉章, 成層地盤における正規モード解及びグリーン関数の効率的な計算法, 日本建
築学会構造系論文集 第501号、pp.49-56、Nov.1997