Transcript Linealización:

Control de Procesos
(Sistemas Reales)
Variables de Desviación
Linealización de Variables
Se define como Variables de desviación a las variables que
resultan de Restarla de sus estados de equilibrio (Estados
estacionarios o de Referencia)
La ventaja importante que trae aparejada es que todas
las derivadas tienen valor cero en su Condición Inicial,
por efecto del cambio de coordenadas
Linealización:
Si algún parámetro es no Cte. Ej.: En la
relación Caudal_Nivel en régimen
turbulento en el que Q  a * h
se ve que
la función caudal no es lineal con el nivel h
Se puede Linealizar aplicando expanción
por Serie de Taylor.
g( x )
dg( x )
2
1 d g( x )
 g( 0 ) 
( 0 ) dt 
2
dt
2 dt
d t  ...
2
(0)
De igual forma si el área no fuese Cte sino función del
Nivel se debe obtener en el punto de trabajo la
derivada del Volumen respecto al Nivel para
determinar la Capacidad Hidraulica
g ( x )  g( 0 )
Q
dg

dx ( 0 )
q(0)
Para el caso Particular
qs  qs(0)  (h  h(0) ) / R
dh
R
dQ
h(0)
( 0)

2h( 0)
q( 0)
el doble que la relación para flujo laminar
h
Haciendo un balance de masa
qe ( t )  qs ( t ) 
dV( t )
dt
A
qe
dh( t )
dt
Restando del estado estacionario
qe ( 0 )  qs ( 0 ) 
dV( 0 )
dt
A
0

qs





H (s)
Qe(s) 
 A H (s) S
R

q s  qs ( t )  qs ( 0 )
si qe ( t ) qe ( 0)  qe ; h( t )  h( 0)  h
Aplicando Laplace
R
h

R
L a Func. De Transferencia

H (s)

Qe( S )
R

; T  RA
T S 1
Balance para el tanque 2
dh2
h2  h1
qe 2  qi  A2
; qi 
dt
R2
qe1
qe2
Para el tanque 1
h1
h2
A2
dh1
h1
qe1  qi  qs1  A1
; qs 1 
dt
R1
A1
R2
qi
R1
qs1
Pasando al campo trasformado a Cond Inic Nulas ; Linealizado
Reemplazando qi y qs1 queda

Q e 2( s )

Q e1( s )


H 2( s ) H 1( s )
 A2 H 2( s ) S 

R2
R2


si
T2  A2 R2



T1  A1 R1
H 2( s ) H 1( s ) H 1( s )
 A1 H 1( s ) S 


Ti  A1 R2
R2
R2
R1
El diagrama en bloque
qe2
1
A2 S
h2
qe1
1
R2
1
A1 S
h1
qi
qs
1
R1
Su Funcion de Transferencia
R1(Q2  Q1(1  T 2S ))
H1 
T1T 2S ^ 2  (T1  T 2  Ti) S  1
Mezcla Liquida
q1,c1
Balance de masa
dc
q1 c1 q2 c2 q1 q2  cV
dt
K1 
K3
c1(0)
q1(0) q2(0)
c2(0)
q1(0) q2(0)
; K2
; K4 
(V=cte)
q1(0)
q2,c2
V=Cte
q=q1+q2 ;c
q1( 0 ) q2(0)
q2(0)
q1(0) q2(0)
V
T
q1(0) q2(0)
El diagrama en Bloque Correspondiente
C1
Q1
K2
Ts  1
K1
Ts  1
C2
Q2
K3
Ts  1
K4
Ts  1
C
K1
Reactor Tanque isotérmico irreversible
q1, c1
dc
A
B
q1 c1  q c V r  V
k
dt
V,r
c1(0) c (0)
q 1(0)
V
q,c

;K 
; T
q1( 0) V k
2
q1
C
q1( 0) V k
q1( 0) V k
K1
Ts  1
K2
Ts  1
C
Modelo _ Intercambiador de Calor
 2e q2e 2 C p2
1e q1e 1 C p1
 1 s q1 s 1 C p1
V2
V1
UA
 2 s q2 s 2 C p2
q1 1C p1(1e  1s ) U A(1s  2s ) V1 1C p1
d 1s
dt
d 2s
q2 2C p2( 2e  2s )U A(1s  2 s )V2  2C p2
dt
Transformando y agrupando se tiene




K11e  K 2Q1 K 3 2s (T1 s1)1s
Donde las Ctes son:
1C p1q1( 0 )
K1 
U A 1C p1q1( 0 )
1C p11e( 0 ) 1s( 0 ) 
K2 
U A 1C p1q1( 0 )
UA
V

C
1
1
p1
K3 
1 T 
1
U A 1C p1 q1( 0 )
U A 1C p1q1( 0 )
Para la segunda ecuación se tiene



K 4  2e  K 5Q 2  K 6 1s (T2 s1) 2 s

2C p 2 q2( 0)
K4
U A 2C p 2 q2( 0)
 2C p 2 ( 2e( 0)  2s( 0) )
K5
U A 2C p 2 q2( 0)
V2  2C p 2
UA
K6
1 T2 
U A 2C p 2 q2( 0 )
U A  2C p 2 q2( 0 )
El Diagrama en Bloque del
Intercambiador es:
4
6
Obtener G* = Temp2salida/Temp1entrada
La Funcion de Transferencia
G 
*

 2s

 1e
K6
T2 s1
K1

K6 K3
(T1 s1) 1
(T1 s1)(T2 s1)
Operando queda
G *
K1 K 6
1K 3 K 6
K1
1+ T1 s
T
1
+
T2
 sT T
K6
1+ T2 s
+
K3
1 + T1 s
1
2
s
2
Para que el sistema sea estable, x  1 ; luego:
0  1K3 K6  1 y
K1 K6
1K3 K6
0
T1 T2
1

2 T1 T2 1K3K6
Todas las funciones de Transferencia tienen el
mismo denominador.
Para un escalón de excitación, la evolución temporal
es una sigmoide.