Transcript T. - IEEE
DINAMIKA I UPRAVLJANJE
Vremenski tijek odstupanja uslijed poremećaja naziva se dinamičko
ponašanje.
Regulirati dinamičko ponašanje znači održavati rad sklopa u blizini
nazivnog, bez obzira na poremećaje i kvarove.
1. Struktura upravljačkog sustava
Primjer: Upravljanje bez povratne veze, ali s unaprijednom vezom
Zadano: R = 2 , C = 220 F, L = 0,25 mH.
Želi se: održati srednju vrijednost izlaznog napona unutar 5 % nazivne
vrijednosti od –9 V usprkos pada ulaznog napona od 12 V na 8 V.
D
Vo
Vin
1 D
DVin Vo (1 D)
Vo
9
9
D
0,43
Vin Vo 12 9 21
0,43
Vo
8 6 V
1 0,43
Bit unaprijedne veze:
D
Vo
Vin konst.
1 D
Vo
9
9
D
0,53
Vin Vo 8 9 17
Tijek prijelazne pojave se ne može
objasniti statičkim modelom.
Zaključci:
nadvišenje odziva je veće od željenog 5 %,
titraji traju jednako dugo kao i bez unaprijedne veze,
titraji se ne mogu objasniti upotrebom statičkog modela.
Primjer: Istosmjerni elektromotorni pogon
Komutacijske reaktancije su
zanemarive.
Želi se: održavati struja armature konstantnom.
Pitanje: struktura upravljačkog sklopa?
Blokovska shema pogona
PI regulator
Njegova bit je proporcionalni dio. Jednostavno razmišljanje: treba
promijeniti kut upravljanja od nazivne vrijednosti za vrijednost koja je
proporcionalna pogrješci Iref – Id. Kada je pogrješka pozitivna regulator
smanjuje kut upravljanja, jer se time povećava srednja vrijednost struje
Id. Obratno je kada je pogrješka negativna.
Integralni dio djeluje na integral pogrješke, on radi sporije i smanjuje
pogrješku u ustaljenom stanju zbog kolebanja parametara i nesavršenosti
modela.
2. Izbor modela pretvaračkog sklopa
Središnja odluka u procesu projektiranja upravljanja. U različitim fazama
ili na različitim razinama projektiranja mogu biti potrebni različiti
dinamički modeli. Za analizu dinamičkog ponašanja pretvaračkih
sklopove korisni su:
usrednjeni modeli i
modeli u prostoru stanja.
Sada ćemo na primjeru pokazati da su dinamički modeli nužni, tj. da se
upravljački sklop ne može projektirati na bazi razumijevanja statičkih
karakteristika.
Primjer: Problemi upravljanja proporcionalnom povratnom vezom kod
uzlazno-silaznog pretvarača.
Povratna veza: potrebno je izmjeriti odstupanje izlaznog napona od
željene vrijednosti Vo = –9 V i na osnovu tog nesklada promijeniti D od
~
nazivne vrijednosti na D d
Statička karakteristika:
D
Vo
Vin
1 D
navodi na sljedeći zakon upravljanja: ako je Vo previše negativan
(pogrješka v~o Vo Vref negativna) treba smanjiti D, ako je previše
pozitivan treba povećati D.
Konstanta pojačanja h mora biti negativna.
I što je dobiveno (skok napona napajanja je od 12 V na 8 V, kao i u
ranijem primjeru)?
Povećanje negativnog h dovodi do titraja. Pozitivni h ne dovodi odmah
do katastrofe, čak za pozitivni h sustav može biti i stabilan. Očito, sustav
se ne može razumjeti na bazi statičke karakteristike.
Uočite da ovi dijagrami prikazuju vremenski tijek srednje vrijednosti
izlaznog napona. Ovako definirana srednja vrijednost odnosi se na jedan
trenutak (završetak intervala u kojem se računa srednja vrijednost) i zato
se naziva trenutačna srednja vrijednost.
3. Usrednjavanje strujnog kruga
Usrednjeni modeli su tradicijski razvijeni za visokofrekvencijske
istosmjerne pretvarače. Odgovorit ćemo na pitanja:
kako izgraditi električne krugove koji opisuju usrednjeno
ponašanje,
kako ih linearizirati.
Trenutačna srednja vrijednost varijable
Kod mnogih sklopova u prvom redu nas zanimaju srednje vrijednosti
napona i struja, a tek onda trenutačne vrijednosti, npr.
kod istosmjernih pretvarača,
kod istosmjernih elektromotornih pogona,
kod PWM-izmjenjivača.
Cilj: metoda analize trenutačnih srednjih vrijednosti varijabli strujnog
kruga u prijelaznim stanjima.
1
x (t )
T
t
t T
x()d
Usrednjavanje strujnog kruga
KZN i KZS vrijede i za trenutačne srednje vrijednosti. Razlog je u tome
što su KZN i KZS linearne i vremenski neovisne (LVN) jednadžbe.
Otpor
vR (t ) RiR (t )
vR (t ) RiR (t )
Induktivitet
diL (t )
vL (t ) L
dt
diL (t )
vL (t ) L
dt
Kapacitet
1
iC (t )
C
1
iC (t )
C
dvC
dt
dvC
dt
di (t )
L
vL (t )
dt
t Ts
1
t di(t ) L
t Ts
v
L
()d( )
t
1
i (t Ts ) i (t ) Ts vL (t )
L
i (t Ts ) i (t )
L
vL (t )
Ts
Budući da je:
di (t ) i(t Ts ) i(t )
dt
Ts
Slijedi:
di (t )
L
vL (t )
dt
Recept izgradnje usrednjenog kruga:
svi trenutačni naponske i strujne varijable zamjenjuju se
trenutačnim srednjim varijablama,
svi LVN-elementi ostaju nepromijenjeni.
Ostaje pitanje što je sa zamjenom nelinearnih ili vremenski promjenljivih
elemenata. O tome kasnije. Očito je da se sklopke na zamjenjuju
sklopkama, jer na pristupima sklopke postoji i srednja vrijednost napona
i srednja vrijednost struje.
Primjer: Usrednjeni krug reguliranog elektromotornog pogona
Valni oblik napona vd.
Usmjerivač s napojnom mrežom zamijenjen je naponskim izvorom; to je
moguće, jer je izlazni napon potpuno definiran kutom upravljanja .
Sada je lako odgovoriti na pitanje: kako se mijenja trenutačna srednja
vrijednost id ako se kut upravljanja skokovito smanji?
Primjer: Usrednjeni krug silazno-uzlaznog pretvarača u isprekidanom
načinu rada
Da li struja kroz diodu
opada linearno?
Treba izračunati srednju struju kroz
diodu:
x
Vin DT Vin DT 1 1
id (t )
L
vo (t ) 2 T
Vin2 D 2T
id (t )
2 Lvo (t )
vo Vin DT 1
L
L
x
Vin DT
x
vo
Vin2 D 2T
id (t )
2Lvo (t )
Zašto “minus”?
Uočite nelinearnu
ovisnost o Vin, D i o vo
Struju diode zamjenjuje naponski upravljani strujni izvor. Ova struja
se ponekad naziva injektirana struja.
Trenutačna srednja vrijednost sklopne funkcije
Njezina srednja vrijednost pojavljuje u izvodu usrednjene sklopke.
Sklopka se zamjenjuje elementom koji
na svojim prilazima ima jednake
srednje vrijednosti struja odn. napona.
iy (t ) q(t )ix (t )
Ili drugi primjer:
Shema na slici a) obuhvaća takve pretvarače kao što su i PWMizmjenjivač i silazni istosmjerni pretvarač.
upravljiva sklopna mreža
q(t) je sklopna funkcija
q (t ) d (t )
Još o sklopnoj funkciji q(t)
Kod silaznog istosmjernog pretvarača poprima vrijednosti 1 i 0, a kod
PWM-izmjenjivača +1, 0 i –1.
Trenutačna srednja vrijednost sklopne funkcije q (t ) d (t ) naziva se
kontinuirani faktor vođenja. Uočite da d(t) može biti i negativan.
Ako se d(t) mijenja obrnuto proporcionalno s
Vin iz usrednjenog kruga mogu se potisnuti
učinci promjena ulaznog napona (unaprijedna
veza). Takva unaprijedna veza uklanja učinke
promjena ulaznog napona iz ustaljenog i iz
prijelaznog stanja.
6. Generiranje sklopne funkcije
Usrednjavanje sklopke
Pretpostavke:
– mala valovitost, vyz(t) = vC i ix(t) = iL,
– spore promjene, vyz (t ) i ix (t ) se značajno
ne promijene od periode do periode,
– neisprekidani način rada.
i y (t ) q(t )ix (t )
i y (t ) q (t )ix (t ) d (t )ix (t )
vxz (t ) q(t )v yz (t )
vxz (t ) q (t )v yz (t ) d (t )v yz (t )
Upravljačko-ovisni uvjeti:
i y (t ) q(t )ix (t )
vxz (t ) q(t )v yz (t )
i y (t ) q (t )ix (t ) d (t )ix (t )
vxz (t ) q (t )v yz (t ) d (t )v yz (t )
i y (t ) d (t )ix (t )
v xz (t ) d (t )v yz (t )
i y (1 d ) (ix i y )d
v xz (1 d ) (v yz vxz )d
i y d iz d jer je ix i y iz
v xz d v yx d jer je v yx vxz vzy 0
Primjer: Usrednjeni krug uzlazno-silaznog pretvarača u neisprekidanom
načinu rada
Uočite da je usrednjeni krug nelinearan, jer strujne i naponske varijable
nelinearno ovise o d(t). Ako je d(t) konstantan, krug je linearan i
vremenski nepromjenjiv, pa je analiza jednostavna.
A
Ako je D = konst. dobiju se transformatorske jednadžbe za ustaljeno
stanje. Uvjet IC = 0, strujna jednadžba transformatora daje strujnu
transformatorsku jednadžbu.
A
I in D I o D
D
I o I in
D
Zašto “minus”?
A
Uvjet VL = 0, naponska jednadžba transformatora daje naponski
transformatorsku jednadžbu.
A
D
Vin Vo
D
D
Vo Vin
D
Struja IL dobije se iz jednadžbe čvora A (uvjet IC = 0):
Vo Vo D
IL 0
R RD
Vo
Vo
D
I L 1
R D
RD
A
Prijenosna funkcija
vo ( s)
za konstantan d(t)
vin ( s)
D
vin sL (i p is ) vs
D
1
0 vs (is iR )
sL(is i p )
sC
1
0 vo (iR is )
sC
Nakon dužeg računa dobije se:
DD
1
LC
vo ( s)
vin ( s) s 2 1 s D2 1
RC
LC
Prijenosna funkcija jednaka je L-transformatu impulsnog odziva sustava:
X i (s) G(s) X u (s)
jer je:
L(t ) 1
Ova prijenosna funkcija se može upotrijebiti za računanje odziva na
skokovitu promjenu ulaznog napona samo pod pretpostavkom da je
trajanje prijelazne pojave bitno duže od periode usrednjavanja T.
Za razmatrani uzlazno-silazni pretvarač, odziv izlaznog napona na
skokovitu promjenu ulaznog napona (bez povratnih veza) je:
vo (t ) c e
D
t
RC
sin(Dt )
D2
1
2 2
LC 4 R C
Vremenska konstanta
2RC iznosi 88 s ili 44
periode, a perioda 2/D
2924 s ili 146 perioda.
Istovrsni račun može se provesti i za unaprijednu vezu, međutim mora se
uzeti u obzir da se, pored vin, i D skokovito promijeni na vrijednost koju
određuje vin nakon svoje skokovite promijene.
Dalje bi se mogli zapitati kako nadomjesni serijski otpor kondenzatora
utječe na dinamičko ponašanje.
4. Linearizirani modeli
Primjer: Linearizacija kruga uzlazno-silaznog pretvarača u
isprekidanom načinu rada
Izvedeno je:
Vin2 D 2T
id (t )
2Lvo (t )
Ustaljeno stanje:
Vin2 D 2T
Vo RId R
2 LVo
2 2
V
2
in D T
Vo R
2L
RT
Vo Vin D
2L
Izvod modela pokazuje da se D i Vin smiju sporo mijenjati, pa u tom
slučaju vrijedi:
vin2 (t )d 2 (t )T
id (t )
2 Lvo (t )
Neka je ulazni napon konstantan i jednak Vin. Neka se d(t) promijeni:
~
d (t ) D d (t )
Poremećaje doživljavaju id (t ) i vo (t ):
~
id (t ) I d id (t )
v (t ) V v~ (t )
o
o
d
Taylorov red:
h
h2
f (a h) f (a) f (a)
f (a)
1!
2!
f ~
f ~
~
id (t )
vo (t )
d (t )
vo (t )
d (t )
Vin2 d 2 (t )T
id (t )
2Lvo (t )
~
Vin2TD 2 1 ~
Vin2T
2 vo (t )
2 Dd (t )
2 L Vo
2 LVo
Vin2TD 2 ~
Vin2TD ~
vo (t )
d (t )
2
2 LVo
LVo
1 ~
2T ~
vo (t ) Vin
d (t )
R
LR
2 2
V
DT
Vo2 R in
2L
1 ~
2T ~
~
id (t ) vo (t ) Vin
d (t )
R
RL
Model sklopa za male signale može izravno sugerirati rješenje
upravljanja.
1 ~
2T ~
~
id (t ) vo (t ) Vin
d (t )
R
RL
Očito, ako se paralelno kapacitetu doda otpor, povećava se prigušenje, pa
odstupanje v~o brže pada prema nuli. Razumljivo, ne smije se dodati
fizički otpor, jer se smanjuje djelotvornost pretvarača. No, ako se
proporcionalnom povratnom vezom postigne:
~
d (t ) hv~o (t )
učinak je isti kao da se strujni izvor zamijenio vodljivosti: hVin 2T / RL
Proporcionalno-integralno upravljanje ima isti učinak kao zamjena
strujnog izvora paralelnim spojem otpora i induktiviteta. Taj induktivitet
je uzrok što je ustaljena vrijednost od v~o jednaka nuli, čak i ako parametri odstupaju i ako su poremećaji konstantni.
2T ~
2T ~
1 ~
~
i Vin
d (t ) Vin
vodt vodt
RL
RL
Le
Linearizacija
Dva su koraka:
– svaki napon i svaka struja zamijeni se svojim odstupanjem,
odstupanja zadovoljavaju KZN i KZS,
– svaki nelinearni element zamijeni se lineariziranom inačicom.
Linearizacija usrednjene sklopke
~
d (t ) D d (t )
~
d (t ) D d (t ) itd.
~
~
d (t )ix (t ) D d (t ) I x ix (t )
~
~ ~
~
DI x I x d (t ) D ix (t ) d (t ) ix (t )
~
~
d (t )ix (t ) DI x I x d (t ) D ix (t )
~
d (t )v yz (t ) D d (t ) V yz v~yz (t )
~
~ ~
~
DV V d (t ) Dv (t ) d (t )v (t )
yz
yz
yz
yz
~
d (t )v yz (t ) DVyz V yz d (t ) Dv~yz (t )
~
~
d (t )ix (t ) DI x I x d (t ) Dix (t )
~
d (t )v yz (t ) DVyz Vyz d (t ) Dv~yz (t )
Ovaj linearizirani krug može se pretvoriti u ekvivalentni krug:
Dokaz da su krugovi ekvivalentni
~
d
D~
~
iy I x
iz
D D
~
d
D ~ ~
~
~ ~ ~
iy I x
ix iy jer je iy iz ix
D D
~
D
d ~ D
~
iy 1 I x
ix
D
D
D
~
d ~ D
~ 1
iy
Ix
ix
D
D
D
~
~
~
iy I x d D ix
~
V yz d ~ D
~
vxz
v yx
D
D
~
V yz d D ~ ~
~
vxz
vxz v zy jer je v~yx v~xz v~zy 0
D D
~
D V yz d D ~
~
vxz 1
vzy
D D
D
~
~
v V d Dv~
xz
yz
yz
~
~
~
iy I x d D ix
~
~
vxz Vyz d Dv~yz
Dakle, krugovi su ekvivalentni.
Primjer: Linearizirani krug uzlazno-silaznog pretvarača u
neisprekidanom načinu rada
~ 0 ):
Prijenosna funkcija ( v
in
Vin
s
~
vo ( s ) I L
LI L
~
2
1
D
C
d (s)
s2
s
RC
LC
Još se može izračunati:
– izlazna impedancija,
– ulazna impedancija,
– drugi relevantni prijenosni omjeri.