Transcript PROGRAMACIÓN LINEAL

PROGRAMACIÓN
LINEAL
Objetivos




Conocer la utilidad de la programación
lineal en problemas de optimización.
Dominar el lenguaje propio de la
programación lineal.
Encontrar y representar regiones factibles y
soluciones óptimas mediante el método
gráfico.
Utilizar el comando solver para la
resolución de problemas de programación
lineal.
Conocimientos Previos
Las clases estarán dirigidas a alumnos
correspondientes al 5to año de
educación media o 1er año
universitario con orientación en
Administración de empresas, que
contengan los siguientes saberes
previos:
 Representación gráfica de rectas y de
desigualdades en el plano cartesiano.
 Resolución de sistemas de ecuaciones
lineales mediante regla de Cramer.
CLASE 1
Introducción a la
programación lineal,
método gráfico de
optimización
Método del punto
esquina, comando
Solver.
CLASE 2
CLASE 1
Contenidos:
 Introducción a la Programación Lineal
 Lenguaje de Programación
 Situación Inicial
 Método Gráfico
¿De dónde proviene el término
Programación Lineal?
La parte de “programación” del nombre
proviene de la terminología militar de la era de
la segunda guerra mundial. Cada programa era
una solución a un problema de asignación de
recursos, como por ejemplo ¿Qué programa de
distribución de combustible contribuirá mejor a
la victoria global?
La programación entendida de esta manera es
una gran herramienta de investigación de
operaciones y el término “lineal” hace
referencia a que un problema se pueda
describir utilizando ecuaciones y desigualdades
lineales.
¿Para que sirve la programación
lineal?
Lenguaje de Programación
Función
Objetivo
Restricciones
Es la función por
maximizar o minimizar
Son las limitaciones
existentes sobre las
variables. Constituyen un
sistema de desigualdades.
Soluciones
Factibles
Son las infinitas soluciones
para el sistema de
restricciones.
Solución
Óptima
Es una de las soluciones
factibles que le da valor
máximo o mínimo a la
función objetivo.
... Recordemos un
poco …
¿Cuál de los siguientes regiones
coloreadas en el gráfico corresponde a
la desigualdad
x y
 1
5 3
?
¿Cuál es la opción correcta?
Región
Violeta
Región
Celeste
INCORRECTO!!!
Debés revisar algunos
conceptos previos antes
de continuar…Volvé a
pensarlo…
CONTINUAR
MUY BIEN!!!
Ya estás en condiciones
de comenzar a ver de qué
se trata la programación
lineal …
SITUACIÓN INICIAL
Un fabricante produce dos tipos de corbatas, Old Smokey
y Blaze Away. Para su producción, las corbatas requieren
del uso de dos máquinas de coser A y B. El número de
horas necesarias para ambas esta indicado en la
siguiente tabla:
Máquina
A
Máquina
B
Old
Smokey
2h
4h
Blaze
Away
4h
2h
Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las
utilidades en los modelos son de $4 y $6 respectivamente.
¿Cuántas corbatas de cada tipo deben producirse por día
para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad
máxima?
Planteo del problema
Z  4x  6 y
Función
Objetivo
Es la función de
utilidades que
debo maximizar
Restricciones
Condiciones
de no
negatividad
 2 x  4 y  24
 4 x  2 y  24


Limitaciones
x  0
horarias de las
 y  0 máquinas A y B
Pasos a seguir para encontrar la cantidad de artículos
que deben venderse, de ambos modelos, para que la
utilidad sea máxima:
1.
2.
3.
Graficar las desigualdades que
indican las restricciones del
problema en el plano cartesiano.
Indicar la intersección de dichas
regiones, o sea, la solución al
sistema de inecuaciones planteado
(Región de soluciones factibles).
Encontrar en el interior de esa
región, cuál es el punto para en el
cual la función de utilidades
(Función objetivo) es máxima.
¿Cómo encontramos la región
de soluciones factibles?
A continuación
graficaremos paso a
paso las restricciones
del problema.
Condición de no negatividad: x  0, y  0
Solución
Región
excluida
Recta
incluida en
la solución
Primera Restricción: 2 x  4 y  24
Recta
excluida de
la solución
Segunda Restricción: 4 x  2 y  24
Región de
soluciones
factibles
Método gráfico
Para encontrar la
solución óptima
podemos utilizar
Método del punto
esquina
Comando Solver
Método Gráfico
2
Z
La recta Z  4 x  6 y  y   x  se llama recta de
3
6
isoutilidad debido a que todos sus puntos tienen la
misma utilidad, su pendiente es -2/3 y su ordenada al
origen varía según el valor de la utilidad Z.
El método gráfico consiste en buscar cuál de estas
rectas de isoutilidad cumple con dos condiciones:
 Tiene puntos en común con la región de soluciones
factibles.
 Tiene ordenada al origen máxima.
Buscá la recta de isoutilidad
máxima en Excel dándole
diferentes valores a la variable
Z (Utilidad):
Microsoft Excel
A
C
¿En qué punto de la región de
soluciones factibles la utilidad es
máxima?
D
B
Ninguno de
los anteriores
INCORRECTO!!!
Volvé a excel e intentalo de
nuevo …
VOLVER
Microsoft Excel
MUY BIEN!!!
Veamos entonces el
gráfico que contiene a la
región de soluciones
factibles y a la recta de
utilidad máxima …
Cualquier recta de
isoutilidad con una
utilidad mayor no
contendrá puntos en
la región factible.
Recta de
Utilidad
Máxima
A
D
B
C
Encontremos las coordenadas
del punto B …
Resolvé el sistema de ecuaciones
2 x  4 y  24

4 x  2 y  24
en excel mediante la regla de Cramer
utilizando determinantes
Microsoft Excel
Interpretemos el resultado …
¿Cuál de las siguientes conclusiones sería la correcta?
 Cuando se produzcan 40 unidades de cada producto la
utilidad será máxima y será de $4 por unidad.
Cuando se produzcan 4 unidades de corbatas Old
Smokey y 4 unidades de corbatas Blaze Away la utilidad
será máxima y será de $40.
 Cuando se produzcan 40 unidades de cada marca a un
precio unitario de $4 la utilidad será máxima.
INCORRECTO!!!
Volvé a pensarlo …
VOLVER
MUY BIEN!!!
B
Las ganancias
serán
máximas y
serán de $40
cuando se
produzcan 4
corbatas Old
Smokey y 4
corbatas Blaze
Away.
FIN
CLASE 2
Contenidos:
 Método del punto esquina.
Minimización en una región factible no
acotada.
Comando Solver.
Método del Punto Esquina
Como pudimos observar en el método gráfico la recta
de utilidad máxima encontrada contiene a un vértice de
la región factible (punto esquina). Por lo tanto podemos
deducir que:
Una función lineal definida sobre
una región factible acotada no
vacía, tiene un valor máximo
(mínimo) que puede hallarse en un
vértice (punto extremo, esquina)
Para mostrarlo recurriremos a la situación
problemática de la clase anterior, te invito a Excel a
buscar el valor máximo en los cuatro puntos
esquina: A, B, C y D.
Microsoft Excel
A
C
¿En cuál de los puntos la función
objetivo encuentra su máximo valor?
D
B
Ninguno de
los anteriores
INCORRECTO!!!
Volvé a pensarlo …
VOLVER
MUY BIEN!!!
B
El resultado
coincide
con el obtenido
en la clase
anterior.
Veamos otro ejemplo …
… Pero esta vez en una región factible no acotada.
Es decir que la región no estará encerrada por una
figura como en el ejemplo anterior …
Costo Mínimo
Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres
nutrientes: A, B y C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de
A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy
aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rápido cuesta $8
la bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de
C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa y contiene 2 unidades de cada
nutrimento. Si el cultivador desea minimizar el costo mientras se
satisfacen los requerimientos de nutrimentos, ¿Cuántas bolsas de
cada marca debe comprar?
A
B
C
Costo / Bolsa
Crece Rápido
3u
5u
1u
$8
Crece Fácil
2u
2u
2u
$6
Unidades
Requeridas
160
200
80
Planteo del Problema
C  8x  6 y
Función
Objetivo
Es la función de
costo que debo
minimizar
Restricciones
Condiciones
de no
negatividad
3 x  2 y  160
5 x  2 y  200

 x  2 y  80
x  0

 y  0
Región de Soluciones Factibles
5x  2 y  200
A
Región de
soluciones
factibles
3x  2 y  160
B
x  2 y  80
C
D
Encontremos los puntos Esquina …
Para poder aplicar el método del punto esquina debemos
encontrar todos los vértices, observando el gráfico:
A = (0,100) y D = (80,0)
Te invito a Excel a resolver los siguientes sistemas de
ecuaciones mediante la regla de Cramer:
Punto B
3x  2 y  160

5 x  2 y  200
Microsoft Excel
Punto C
3x  2 y  160

 x  2 y  80
Ahora vamos nuevamente a Excel a reemplazar los
cuatro puntos esquina en la función objetivo:
A = (0,100) B = (20,50) C = (40,20) y D = (80,0)
Microsoft Excel
A
C
¿En cuál de los puntos la función
objetivo encuentra su mínimo valor?
D
B
Ninguno de
los anteriores
INCORRECTO!!!
Volvé a Excel e intentalo de
nuevo …
VOLVER
Microsoft Excel
MUY BIEN!!!
Veamos entonces el
gráfico que contiene a la
región de soluciones
factibles y a la recta de
costo mínimo …
Respuesta al Problema de Minimización de Costos
A
Recta
de
isocosto
mínimo
B
C
El agricultor
deberá comprar
40 bolsas de la
marca “Crece
Rápido” y 20
bolsas de la
marca “Crece
Fácil” para
lograr minimizar
los costos en
$440.
D
Otro método para resolver
problemas de programación lineal
utilizando Excel
“Comando Solver”
Microsoft Excel
Situación a Resolver
Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas,
mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y
aluminio como se muestra en la siguiente tabla:
Madera
Silla
1u
Mecedora 1 u
Sillón
1u
Plástico
1u
1u
2u
Aluminio
2u
3u
5u
La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500
unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla,
mecedora y sillón se vende en $21, $24 y $36, respectivamente.
Suponiendo que todos los mubles pueden venderse determine,
utilizando el método simplex, la producción para que el ingreso
total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo?
Planteo del problema
Función
Objetivo
Restricciones
Vamos a
Excel a
ingresar estos
datos
Z  21x  24 y  36 z
 x  y  z  400
 x  y  2 z  500

2 x  3 y  5 z  1450
x  0

 y  0
¿Cuáles de los siguientes resultados es el correcto?
a) x  300
y  100
b) x  200
y  300
c) x  0
y  300
z  100
z  100
z  100
Z 0
Z  540
Z  10.800
INCORRECTO!!!
Volvé a Excel e intentalo de
nuevo …
VOLVER
Microsoft Excel
MUY BIEN!!!
Has alcanzado los
objetivos de esta
unidad!!!!
Integración y Fijación
Resolveremos el mismo problema de optimización
mediante todos los métodos aprendidos …
Una compañía de cargas maneja envíos para dos
compañías A y B. La empresa A envía cajas que pesan 3 kg
cada una y tienen un volumen de 2 m3, mientras qie la B
envía cajas de 1 m3 con un peso de 5 kg. Tanto A como B
hacen envíos a los mismos destinos y el costo de transporte
de la caja de A es $ 0,75 y para B de $ 0,50. La compañía
transportadora tiene un camión con espacio de carga para
2.400 m3 y capacidad máxima de 9.200 kg. En un viaje,
¿Cuántas cajas de cada empresa debe transportar el
camión para que la compañía de transportes obtenga el
máximo de ingresos? ¿Cuál es este máximo?
¿Cuál de los siguientes planteos es
correcto?
Función Objetivo:
Z  2400 x  9200 y
Función Objetivo:
Z  0, 75 x  0,50 y
Restricciones:
Restricciones:
 2 x  3 y  0, 75

 x  5 y  0,50
 2 x  y  2400

3 x  5 y  9200
INCORRECTO!!!
Volvé a leer el problema y
pensá bien cuáles son las
variables principales …
Volvé a pensarlo
¡¡¡Muy Bien!!!!
Ahora debemos graficar el problema para
ver que tipo de región de soluciones
factibles obtenemos
¿Es una región acotada?
Región de
soluciones
factibles
SI
NO
INCORRECTO!!!
Recordá que …
Ahora volvé a pensarlo …
¡¡¡Muy Bien!!!!
Ahora debemos encontrar los
cuatro vértices de esa región …
Puntos Esquina
B = (0,1840)
C = ¿?
D = (1200,0)
A = (0,0)
Coordenadas del punto C
Vamos a Excel a resolver el correspondiente sistema de
ecuaciones para encontrar las coordenadas de C y
luego a buscar en cuál de los puntos es máxima la
función objetivo …
Microsoft Excel
Ahora verifiquemos si esa solución
coincide con la que nos brinda el
comando Solver …
Microsoft Excel
¿Cuál de las siguientes respuestas
es correcta?
 El camión debe transportar 1100 cajas de la empresa A
y 1600 cajas de la empresa B para que los ingresos sean
máximos, y el máximo es de $ 400.
El ingreso máximo es de 1100 + 400 + 1600 = 3100.
 El camión debe transportar 400 cajas de la empresa A y
1600 cajas de la empresa B para que los ingresos sean
máximos, y el máximo es de $ 1100.
Ninguna de las anteriores.
INCORRECTO!!!
Volvé a pensarlo …
VOLVER
¡¡¡Muy Bien!!!
¡¡Has finalizado las clases de
Programación Lineal con
éxito, Felicitaciones!!
FIN