Transcript fIIfei_06

FIIFEI-06
Elektromagnetická indukce
http://stein.upce.cz/msfei13.html
http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_06.ppt
Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE
EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)
26. 11. 2013
1
Hlavní body
• Elektromagnetismus
•
•
•
•
•
•
Úvod
Posunující se nebo rotující vodivá tyčka
Faradayův a Lenzův zákon
Princip elektromotoru
Foucaltovy proudy
Vlastní a vzájemná indukčnost
26. 11. 2013
2
Úvod do elektromagnetismu.
• Elektromagnetismus je disciplína, zabývající se
vzájemným vztahem elektrických a magnetických
jevů
• Mnoho vědců se v historii tímto vztahem zabývalo.
Když bylo známo, že elektrické proudy vytvářejí
magnetické pole a interagují s ním, naskytla se
přirozená otázka, zda také magnetické pole také
produkuje pole elektrické.
• Jednoduché pokusy selhávaly!
26. 11. 2013
3
Faradayův pokus I
• Michael Faraday (1791-1867) používal dvě
cívky na jednom toroidálním jádru. Pomocí
zdroje vytvářel proud v první cívce a na
druhou měl připojen galvanometr.
Pravděpodobně nebyl první, kdo zjistil, že
galvanometrem netekl proud, ať bylo
magnetické pole jakkoli silné.
26. 11. 2013
4
Faradayův pokus II
• Byl ale první kdo si všiml, že galvanometr
ukazoval silnou výchylku při připojení
zdroje a výchylku na druhou stranu, při jeho
odpojení .
• Správně došel k závěru, že galvanometr
nereaguje pouze na přítomnost
magnetického pole, ale na jeho časové
změny.
26. 11. 2013
5
Jednoduchý pokus I
• Jev elektromagnetické indukce můžeme ukázat
ještě jednodušeji, pomocí permanentního magnetu
a cívky s několika závity drátu, připojených k
galvanometru.
• Budeme-li vsouvat magnet do cívky, bude na
galvanometru výchylka jedním směrem. Budemeli jej vysouvat, směr výchylky bude opačný. Když
magnet otočíme, bude orientace všech výchylek
opačná.
26. 11. 2013
6
Jednoduchý pokus II
• Budeme-li v předchozím pokusu navíc sledovat
orientaci magnetu a výchylek, zjistíme, že proud,
vzniklý pohybem magnetu má takový směr, že
magnetické pole, jím vytvořené, směřuje proti
změnám, která ho vyvolala.
• Můžeme si také všimnout, že permanentní magnet
může zůstat v určité pevné vzdálenosti a pro
vyvolání indukovaného proudu jej stačí naklonit.
26. 11. 2013
7
Pohyblivá vodivá tyč I
• Připojme zdroj ke dvěma rovnoběžným
kolejničkám, ležícím v rovině, kolmé k
magnetickým siločárám. Položme na ně dvě
vodivé tyčinky. V jedné budou nosiče kladné, ve
druhé záporné.
• Vidíme, že vzhledem k tomu, že se náboje opačné
polarity pohybují při stejném směru proudu na
opačnou stranu, bude síla působící na náboje
rozdílné polarity a tedy i síla působící na obě
tyčky stejná. Je to vlastně princip elektromotoru.
26. 11. 2013
8
Pohyblivá vodivá tyč II
• Než uvedeme obecný zákon elektromagnetické
indukce, je užitečné prozkoumat speciální případ
vodivé tyčky délky L, pohybující se rychlostí v
kolmo na siločáry homogenního magnetického
pole o indukci B, které vycházejí z podložky.
• Předpokládejme kladné volné nosiče náboje, které
nemohou tyčku snadno opustit. Protože je nutíme
pohybovat se v magnetickém poli, působí na ně
Lorentzova síla.
26. 11. 2013
9
Pohyblivá vodivá tyč III
• Náboje jsou ale v rámci tyčky volné a proto
se budou pohybovat ve směru síly a jeden
konec tyčky se nabije kladně.
• Na druhém konci bude kladný náboj
scházet, takže se nabije záporně.
• Objevuje se ale nové elektrické pole a s ním
i elektrická síla působící na náboj. Má vždy
opačnou orientaci než síla Lorentzova.
26. 11. 2013
10
Pohyblivá vodivá tyč IV
• Při konstantních podmínkách bude rychle
dosaženo rovnováhy, kdy výslednice sil
působících na náboje bude nulová a nabíjení
se tím pádem zastaví:
qvB = qE = qU/L  UE = BLv
• Budou-li volné nosiče náboje opačné
polarity, nic se makroskopicky nezmění!
Nezáleží ani na velikosti jejich náboje.
26. 11. 2013
11
Magnetický indukční tok I
• Viděli jsme, že pohyb vodiče v
magnetickém poli v něm vede k indukci
napětí, tzv. elektro-magnetické indukci.
• Jedná se o speciální případ, kdy dochází k
časové změně magnetického indukčního
toku nebo magnetického toku.
26. 11. 2013
12
Magnetický indukční tok II
• Magnetický indukční tok je definován:
 
d m  B  dS

Reprezentuje míru magnetické indukce B ,
která proteče kolmo malým elementem
plochy, která je popsána
vektorem
své

vnější normály dS.
• Skalárním součinem je ošetřena kolmost.
26. 11. 2013
13
Gaussova věta magnetismu
• Celkový tok magnetické indukce procházející skrz
libovolnou uzavřenou plochu je nulový.
• Fyzikálně věta vyjadřuje skutečnost, že nelze
oddělit magnetické póly a magnetické siločáry
jsou vždy uzavřené.
• Každá siločára, která protne libovolnou uzavřenou
plochu ji musí na jiném místě protnout v opačném
smyslu.
26. 11. 2013
14
Faradayův zákon I
• Elektromagnetickou indukci obecně popisuje
Faradayův zákon, který říká, že velikost
indukovaného elektromotorického napětí v
určitém obvodu je rovna velikosti časové změny
magnetického toku tímto obvodem:
 
d m
d (B  S )
U  

dt
dt
• Znaménko minus popisuje orientaci napětí, což
popisuje zvláštní zákon (pravidlo).
26. 11. 2013
15
Faradayův zákon II
• Magnetický tok je skalární
součin
vektoru

magnetické indukce B a vektoru normály

plošky s . Principiálně se mohou v čase
měnit nezávisle tři veličiny:
• B … například v transformátorech
• S … například v příkladu s tyčkou
 
• vzájemná poloha S a B… generátory
26. 11. 2013
16
Lenzův zákon
• Lenzův zákon se zabývá orientací indukovaného
elektromotorického napětí:
• Indukované elektromotorické napětí vyvolá proud
takového směru, že magnetické pole, jím
vyvolané, působí proti změně magnetického toku,
která ho vyvolala.
• Není-li obvod uzavřen, můžeme si jeho uzavření,
abychom určili směr proudu, představit.
26. 11. 2013
17
Pohyblivá vodivá tyč V
• Ilustrujme Lenzův zákon na předchozím příkladu
vodivé tyčky, která se nyní bude pohybovat po
dvou paralelních vodičích (kolejnicích) do prava.
• Propojíme-li kolejnice vlevo, magnetický tok
roste, protože se zvětšuje plocha, vymezená
tyčkou, kolejnicemi a propojkou. Proud v tomto
případě musí téct proti směru hodinových ručiček,
aby pole, které vytváří bylo orientovéno proti poli
původnímu a kompenzoval se růst toku.
26. 11. 2013
18
Pohyblivá vodivá tyč VI
• Propojíme-li kolejnice vpravo, magnetický tok
klesá, protože se zmenšuje plocha, vymezená
tyčkou, kolejnicemi a propojkou. Proud v tomto
případě musí téct ve směru hodinových ručiček,
aby pole, které vytváří bylo orientováno shodně s
polem původním a kompenzoval se pokles toku.
• Směr proudu vlastní tyčkou je v obou případech
shodný a odpovídá předchozímu odvození.
26. 11. 2013
19
Jednoduchý pokus III
• Vraťme se k demonstraci s pevným
magnetem a galvanometrem.
• Z výchylky přístroje vidíme směr proudu,
když se přibližujeme smyčce a když se
vzdalujeme. Můžeme zjistit, který pól
magnetu je severní a ověřit to v
magnetickém poli Země.
26. 11. 2013
20
Rotující vodivá tyč I
• Vodivá tyč o délce L s úhlovou rychlostí  kolmo
na siločáry homogenního magnetického pole o
indukci B. Jaké je indukované napětí?
• Tyč “kosí” siločáry, takže dochází ke změně
magnetického toku a napětí je indukováno. Každý
kousíček tyčky se však pohybuje s jinou rychlostí
a napětí na něm bude jiné. Celkové napětí ale bude
součtem napětí na jednotlivých kousíčcích a stačí
tedy integrovat .
26. 11. 2013
21
Pohyblivá vodivá tyč VII
• Otázka :
• Musíme konat práci abychom pohybovali
vodivou tyčkou v magnetickém poli?
26. 11. 2013
22
Pohyblivá vodivá tyč VIII
• Odpověď:
• Jen do ustavení rovnováhy, tedy polarizace
náboje na tyčce. Potom již NE, protože po
ustavení rovnováhy mezi elektrickými a
magnetickými silami neteče žádný proud!
• Když ale kolejnice přemostíme, např.
Odporem, situace se mění. Proč?
26. 11. 2013
23
Přenos energie
• Elektromagnetická indukce je základem
nejčastějšího způsobu výroby a přenosu
elektrické energie.
• Výhoda je, že elektrická energie je vyráběna
v elektrárnách, efektivně a na vhodném
místě a potom je relativně snadno a s
malými ztrátami přenášena na místo
spotřeby, které může být značně vzdáleno.
• Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.
26. 11. 2013
24
Pohyblivá vodivá tyč IX
• Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro
pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po
dosažení rovnovážného napětí UE = BLv
neteče proud.
• Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I,
bude na ni působit síla směrem doleva v
klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali :
F = BIL.
26. 11. 2013
25
Pohyblivá vodivá tyč X
• Když tyčkou pohybujeme a kolejnice propojíme
tak, že celková rezistance obvodu bude R, poteče
proud daný Ohmovým zákonem I =UE/R.
• V důsledku platnosti principu superpozice, působí
na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li
tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat
výkon : P = Fv = BIlv = U I = RI2, který je tedy
roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo.
26. 11. 2013
26
Překonávání momentu síly I
• Lze očekávat, že podobně jako je nutné
překonávat sílu při translačním pohybu
tyčky, je nutné při její rotaci překonávat
moment síly.
• Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé
tyčce. Musíme změnit translační veličiny na
rotační :
P = Fv = T
26. 11. 2013
27
Překonávání momentu síly II
• Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L,
která se může otáčet kolem jednoho svého konce v
homogenním magnetickém poli o indukci B,
proud I, působí na ni moment síly.
• Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro
určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její
vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.
26. 11. 2013
28
Překonávání momentu síly III
• Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce
rezistorem R, poteče proud I = U/R. V
důsledku principu superpozice musíme tím
pádem při rotaci překonávat moment síly.
Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí 
musíme dodat výkon : P = T = BIL2/2 =
UI = RI2, který je opět roven výkonu, jenž
se na rezistoru R změní v teplo.
26. 11. 2013
29
Princip elektromotoru I
• Z výše uvedeného vidíme, že rotační i translační
pohyby vedou k obdobným závěrům. Proto se
zatím bez újmy na obecnosti vrátíme k vodivé
tyčce, která se může pohybovat přímočaře a bez
tření po kolejnicích.
• Nechť je tyčka v klidu a ke kolejnicím připojíme
vnější zdroj. Poteče rozběhový proud I0, daný
napětím zdroje U a rezistancí obvodu R :
I0 = U/R.
26. 11. 2013
30
Princip elektromotoru II
• Jemu odpovídá jistá rozběhová síla :
F0 = BLI0 = BLU/R
• Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v
obvodu, stejně jako kdyby tyčkou pohyboval
vnější činitel, elektromotorické napětí. Jeho
velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho
polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle
Lentzova zákona. Nazýváme ho proto
elektromotorické proti-napětí (counter EMF).
26. 11. 2013
31
Princip elektromotoru III
• Za pohybu bude celkový proud superpozicí
původního proudu a proudu způsobeného
elektromotorickým proti-napětím a zjevně
závisí na rychlosti tyčky:
I(v) = [U - UE(v)]/R = (U – vBL)/R
• Síla působící na tyčku potom závisí právě
na tomto celkovém proudu : F(v) = BLI(v)
26. 11. 2013
32
Princip elektromotoru IV
• Není-li tyčka mechanicky zatížena bude se zprvu
pohybovat zrychleně. S rostoucí rychlostí se ale
zvětšuje indukované elektromotorické napětí, tím i
protiproud a tedy se snižuje celkový proud a tudíž i
síla, působící na tyčku.
• Děj vede k rovnováze, při které napětí indukované je
rovno napětí zdroje. Zde mizí proud a tedy i síla a
tyčka se dále pohybuje rovnoměrně tzv. volnoběžnou
rychlostí ve = U/BL.
26. 11. 2013
33
Princip elektromotoru IV
• Volnoběžná rychlost volné tyčky ve tedy závisí na
napětí zdroje U.
• Předpokládejme dále, že tyčka je zatížena jistou
silou v intervalu od nuly po sílu rozběhovou
F  (0, F0)
• S rostoucí zátěží proud lineárně poroste a rychlost
bude lineárně klesat :
I = F/BL
v = (I0-I).R/BL
26. 11. 2013
34
Princip elektromotoru V
• Úpravou původního vztahu pro proud
získáme zajímavou informaci o výkonech :
I = I0 – BvL/R  BvL/R = I0 – I
rozšíříme proudem I a zavedeme sílu F = BIL
Pm = Fv = RI0I – RI2 = UI – RI2 = P – Pz
26. 11. 2013
35
Princip elektromotoru VI
• Mechanický výkon Pm = Fv nabývá maxima při
•
•
•
•
síle F = F0/2. Zde jsou také proud a rychlost rovny
polovině svých rovnoběžných hodnot.
Ohmický ztrátový výkon Pz = RI2 roste
kvadraticky s růstem zátěže i proudu.
Výkon zdroje P, který je jejich součtem, roste
lineárně.
Efektivita výkonu Pm/P lineárně klesá.
K obdobným závěrům lze dojít i u elektromotorů
otáčivých.
26. 11. 2013
36
Princip elektromotoru VII
• Elektromotory bývají obvykle optimalizovány na
maximální mechanický výkon: Jejich pracovní
otáčky jsou polovinou otáček volnoběžných a
pracovní proud je polovinou proudu rozběhového.
Na tyto parametry je navrženo chlazení, aby je
motor mohl dlouhodobě vydržet.
• Chlazení obvykle souvisí s otáčkami a je-li motor
přetížen a velmi se zpomalí nebo dokonce zastaví,
spálí se, přestože proud je necelým dvojnásobkem
proudu pracovního.
26. 11. 2013
37
Foucaultovy proudy I
• Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou
tyčku zcela ponořenou do homogenního
magnetického pole.
• Je-li ale vodič třírozměrný a není úplně
ponořen nebo pole není homogenní,
objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovy
proudy.
26. 11. 2013
38
Foucaultovy proudy II
• Novým jevem je, že indukované proudy
nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly,
které kladou odpor pohybu. Ten je buď
tlumen nebo musí být dodáván výkon k jeho
udržení.
26. 11. 2013
39
Foucaultovy proudy III
• Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení
tepla, takže jsou zdrojem ztrát výkonu.
• V případech, kde jsou ztráty naškodu musí být
maximálně eliminovány speciální konstrukcí
jader elektromotorů a transformátorů. Využívá
se například konstrukce z navzájem
izolovaných plechů.
• Mohou ale být také využity, například k
plynulému brždění některých pohybů (třeba u
magnetických vlaků).
26. 11. 2013
40
Vlastní indukčnost I
• Viděli jsme, že po připojení volné vodivé
tyčky, ponořené do magnetického pole,
objevuje se elektromotorické protinapětí,
které má opačnou polaritu než napět budící.
• Dokonce i jednoduchý obvod realizovaný
smyčkou vodiče bez vnějšího magnetického
pole se bude chovat kvalitativně stejně.
26. 11. 2013
41
Vlastní indukčnost II
• Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý
proud. Je vlastně ponořen do magnetického pole
generovaného tímto jeho vlastním proudem.
• Chceme-li v tomto okamžiku změnit proud,
měníme magnetické pole a tím i magnetický tok a
objevuje se elektromotorické napětí, vyvolávající
proud jehož účinky působí proti změně, o níž se
snažíme.
• Chceme-li proud zvýšit, musíme konat práci,
dokonce příslušnou rychlostí.
26. 11. 2013
42
Vlastní indukčnost III
• Uděláme-li v obvodu N závitů, tento efekt se N
krát znásobí.
• Lze očekávat, že elektromotorické napětí
indukované v tomto případě závisí na:
• geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru
• rychlosti změny proudu
• Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu
zahrnout do veličiny zvané (vlastní) indukčnost
(cívky) L.
26. 11. 2013
43
Vlastní indukčnost IV
• Potom zákon elektromagnetické indukce píšeme :
dI
U  L
dt
• Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v
elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory,
abychom vytvořili elektrické pole v určitém
prostoru. Nyní používáme cívky, abychom
vytvořili pole magnetické.
• Cívky mají obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.
26. 11. 2013
44
Vlastní indukčnost V
• Mějme dlouhý solenoid s N závity.
• Protéká-li jím jistý proud I, bude procházet jeho
každým závitem stejný magnetický tok m1.
• Dojde-li ke změně tohoto toku, indukuje se v
každém závitu stejné elektromotorické napětí.
Protože závity jsou vlastně zapojeny do série,
bude celkové naindukované napětí N násobek
napětí v jednom závitu.
• Mírně přizpůsobíme Faradayův zákon a použijeme
předešlou definici indukčnosti.
26. 11. 2013
45
Vlastní indukčnost VI
d m1
dI
U   N
 L
dt
dt
• Jsou-li N a L konstantní, obdržíme jednoduchou
integrací indukčnost:
N m1
N m1  LI  L 
I
• Jednotkou magnetického toku je 1 weber
1 Wb = 1 Tm2
• Jednotkou indukčnosti je 1 henry
1H = Vs/A = Tm2/A = Wb/A
26. 11. 2013
46
Vlastní indukčnost VII
• Magnetický tok závity závisí na proudu a
geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S
a materiálu s relativní permeabilitou r platí:
N m1  NS
 0  r NI
L
SN 2
l
l
• V elektronice a elektrotechnice se používají cívky,
součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost.
26. 11. 2013
47
Vzájemná indukčnost I
• Dvě cívky blízko sebe, se mohou ovlivňovat
prostřednictvím magnetického pole. Toto
ovlivňování popisujeme vzájemnou indukčností.
• Jedná se o celkový tok v jedné cívce jako funkce
proudu v cívce druhé.
• Mějme dvě cívky Ni, Ii na společném jadře nebo
blízko sebe.
• Budiž 21 tok v každém závitu cívky 2, způsobený
proudem v cívce 1.
26. 11. 2013
48
Vzájemná indukčnost II
• Potom definujeme vzájemnou indukčnost M21 jako
celkový tok ve všech závitech cívky 2 na
jednotkový proud (1 ampér) v cívce 1:
M21 = N221/I1  I1M21 = N221
• Indukované napětí ve 2. cívce přímo z Faradayova
zákona a s použitím vzájemné indukčnosti je :
U2 = - N2d21/dt = - M21 dI1/dt
• Použití M21 má smysl, když se vzájemné působení
cívek nemění v čase. Obecně závisí na geometrii
obou cívek a vlastnostech prostředí mezi nimi.
26. 11. 2013
49
Vzájemná indukčnost III
• Lze dokázat, že vzájemná indukčnost obou
cívek je stejná M21 = M12 .
• Skutečnost, že proud v jedné cívce indukuje
napětí v cívce druhé, má řadu praktických
aplikací.
• Používá se například k napájení
kardiostimulátorů, aniž by se vedly vodiče
tkání.
• Nejdůležitějším využitím jsou transformátory.
26. 11. 2013
50
Transformátor I
• Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí jedna,
dvě nebo více cívek stejný (časově proměnný)
magetický tok. Cívka, ke které je připojeno
vstupní napětí a která tento tok vytváří, se nazývá
primární. Ostatní jsou sekundární. (Existují i
autotransformátory s jednou cívkou a odbočkami)
• Transformátory se užívají hlavně k převodu napětí
a proudu nebo přizpůsobení vnitřního odporu
(impedančnímu přizpůsobení).
26. 11. 2013
51
Transformátor II
• Ilustrujme princip funkce transformátoru na
jednoduchém typu se dvěma cívkami, které
mají N1 a N2 závitů. Předpokládejme, že
sekundární cívkou teče zanedbatelný proud.
• Vstupní napětí musí být časově proměnné.
• Každým jedním závitem každé cívky
prochází stejný tok a indukuje se v něm
elektromotorické napětí U1 :
U1 = - d/dt
26. 11. 2013
52
Transformátor III
• Připojíme-li k primární cívce napětí U1,
bude magnetizace jádra růst do doby, než se
indukované elektromotorické napětí
vyrovná napětí vstupnímu:
U1 = N1U1
• Napětí na sekundárním vinutí je také
úměrné počtu závitů:
U2 = N2U1
26. 11. 2013
53
Transformátor IV
• Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná
počtu jejich závitů :
U1/N1 = U2/N2
• Obtížnější případ je porozumět funkci
transformátoru, když je zatížen a velmi
obtížné je navrhnout dobrý transformátor s
velkou účinností, která se blíží 100%, což je
velice důležité pro přenos energie.
26. 11. 2013
54
Transformátor V
• Předpokládejme, že máme transformátor s
účinností blízkou 1.
• Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo
úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou
úměrné jejich čtverci.
P = I1U1 = I1U2N1/N2 = I2U2
I1N1 = I2N2
R1/N12 = R2/N22
26. 11. 2013
55
Energie magnetického pole I
• Indukčnost brání změnám protékajícího proudu.
• Znamená to, že k dosažení stavu, kdy cívkou
protéká určitý proud, bylo potřeba vykonat jistou
práci.
• Tato práce se přemění do potenciální energie
magnetického pole. Roste při zvyšování proudu a
klesá při jeho snižování.
• Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit,
musíme dodat výkon, úměrný proudu a také jeho
změně v čase, které chceme dosáhnout.
26. 11. 2013
56
Energie magnetického pole II
• Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí,
abychom byli schopni posunovat náboji proti poli
indukovaného elektromotorického napětí :
P = IU = ILdI/dt 
dW = Pdt = LIdI
• Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu
I, musíme integrovat :
W = LI2/2
26. 11. 2013
57
Hustota energie magnetického
pole I
• Podobně, jako tomu bylo u nabitého
kondenzátoru, i zde je energie obsažena v
poli, nyní samozřejmě magnetickém.
• Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u
homogenního pole dlouhého solenoidu :
• Známe vztahy pro indukčnost L a indukci B
L = 0N2S/l
B = 0NI/l  I = Bl/0N
26. 11. 2013
58
Hustota energie magnetického
pole II
W
0 N S
2
2l
2
Bl 2
B
(
) 
Sl
0 N
2 0
• Protože Sl je objem solenoidu, kde lze očekávat
2
soustředěnou většinu energie, můžeme
B
wm 
20
pokládat za hustotu energie magnetického pole.
• Tento výraz platí obecně v okolí každého bodu i v
nehomogenních polích.
26. 11. 2013
59
Skalární součin


c  a b
Ať
Definice I (ve složkách)
c 
n
a b
i 1
i
i
Definice II
 
c  a b co s
Skalární součin je součin velikosti jednoho
vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého
do jeho směru.
^
Vektorový součin I
  
Ať c  a  b
Definice (ve složkách)
ci   ijk a j bk

Velikost vektoru c

 
c  a b sin 
Velikost vektorového součinu je rovna obsahu
 
rovnoběžníku tvořeného vektory
. a, b
Vektorový součin II

Vektor c je kolmý
k rovině vytvořené


vektory a a b a společně vytváří pravotočivý
systém.

ux

c  ax
bx

uy

uz
ay
az
by
bz
ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)}
^
Gaussova věta magnetismu
• Přesná definice:
 d
m


  B  dS  0
^
Rotující vodivá tyčka I
• Napřed se zamyslíme nad směry: půjdou-li
siločáry z podložky a tyčka se bude otáčet v
kladném smyslu proti směru hodinových ručiček,
nabíjí se střed otáčení záporně. Napětí dU
indukované na kousku dr:
dU  Bv(r )dr
• Celkové elektromotorické napětí :
L
L
2
BL
U   Bv(r )dr  B  rdr 
2
0
0
^
Rotující vodivá tyčka II
• Moment síly působící na na kousek dr vzdálený r
od středu otáčení vodivé tyčky délky L , kterou
protéká proud I kolmo na magnetické pole B je:
dT  rdF  BIrdr
• Celkový moment síly tedy je:
L
2
BIL
T   BIrdr 
2
0
^
Rotující vodivá tyčka III
• Záporný pól zdroje U připojíme na střed. Je-li
odpor obvodu R, budou rozběhový proud I0 a
moment T0 :
I0
BUL2
T0 
2R
U

;
R
Otáčí-li se tyčka s jistou úhlovou rychlostí
, indukuje se v ní elektromotorické
protinapětí a celkový I proud je :
U 
I 
R
BL2
2
 I0
BL2

2R
Rotující vodivá tyčka IV
• Volná tyčka dosáhne rovnovážné úhlové
rychlosti e , když se napětí vyrovnají :
e 
2U
BL2
Při zatížení jistým momentem 0 < T < T0
budou celkový proud I a úhlová rychlost  :
2T
I 
BL2
   (I0
2R
 I)
BL2
Rotující vodivá tyčka V
• Závěry pro výkony jsou obdobné jako u
pohybu translačního :
Bl 2
  I 0  I  (* IR)
2R
Pm  T  UI  RI 2  P  Pz
Zařízení může pracovat v režimu
elektromotoru 0 <  < e nebo v režimu
generátoru pro  vně tohoto intervalu:
^