Transcript 離散動態系統
計算動態系統 2012年3月20日 1 Outline Motivation Dynamical System Computational Dynamical System Chaos Examine Chaos Examples 2 前言 借助電腦高速計算的能力，來解決現代科學、工程、 經濟或人文上的複雜問題。 - 通常實際的問題，可以根據物理定律或假設，導出反 應此現象的數學公式或模型。 - 透過數學分析與計算方法，再經由電腦程式計算之後 ，模擬與估計，進而預測此物理現象。 狹義的科學計算，是針對某特定的數學問題，設計 有效的計算方法來求解，即為數值計算。 3 4 5 6 7 8 9 What's a Dynamical System? 動態系統，也稱 動力系統。 關心所描述的對象之變化情形。 在數學上的概念是動態系統中存在 一個固定規則，描述了幾何空間中 的一個 點 隨著時間 變化情況。 10 What's a Dynamical System? 固定規則，描述幾何空間中的點隨著時間 變化情況。 例如：描述 鐘擺晃動、管道中水的流動， 或者 湖中每年春季魚類的數量，凡此等等 的數學模型都是動態系統。 11 What's a Dynamical System? 確切來說, 動態系統就是要研究 運動方程的解，對象包括自然界各種 物理系統（行星軌道）、生態系統、 工程系統（電路問題）及經濟股市等 等。 當前混沌系統是動態系統研究熱 點之一。 12 Dynamical System 形式上來說，動態系統可分為： （1）離散動態系統 (discrete D.S.) 遞迴關係式 （2）連續動態系統 (continuous D.S.) 常微分方程, 偏微分方程 延遲微分方程 (delay D.E.) （3）隨機動態系統 (stochastic D.S.) 13 Computational Dynamical System （1）離散動態系統: （2）連續動態系統: 常微分方程 偏微分方程 延遲微分方程 （3）隨機動態系統 14 Computational Dynamical System 求解常微分方程的數值計算方法中，最 簡單的是Euler method。由於廿世紀中 期之後，電子計算機的發達且蓬勃發展， 使得運用數值方法來求微分方程的解已 經是一門相當專門的學科。 15 Computational Dynamical System MatLab高階常微分方程數值計算方法: one-step solver: Runge-Kutta method (ode23, ode45) multistep solver: Adams-BashforthMoulton method (ode113) 16 連續動態系統: Lorenz system 17 Chaos 1963年美國氣象學家 Edward N. Lorenz提出混沌理論（Chaos），非 線性系統具有的多樣性和多尺度性。 混沌理論解釋了決定系統可能產生隨 機結果。此理論最大貢獻是用簡單的 模型獲得明確之非週期結果。在氣象、 航空及太空等領域的研究裡有重大的 作用。 18 連續動態系統: Duffing equation 19 連續動態系統: Van der Pol oscillator 20 連續動態系統: Rössler system 21 離散動態系統: tent map 22 離散動態系統: tent map 23 離散動態系統: logistic map 24 離散動態系統: Hénon map 25 離散動態系統: predator-prey map 26 動態系統模型: 3 vortices system 27 動態系統模型: modified logistic map 28 動態系統模型: 3 2D charged particles 29 Discrete Dynamical System 離散動態系統的解，有哪些種可能性 ? 30 Continuous Dynamical System 連續動態系統的解，有哪些種可能性 ? 31 Solutions in Dynamical System （1）離散動態系統的解: 發散(infinity) 、固定點、週期解、 擬週期(quasi-periodic)、? （2）連續動態系統的解: 發散(infinity) 、平衡點、週期解、 極限環(limit cycle) 、 擬週期(quasi-periodic)、 ? 32 Chaos 混沌理論認為在混沌系統中，初始 條件十分敏感，其微小的變化，在經過 不斷放大，對未來狀態會造成極其巨大 的差別。 33 Chaos smoke of cigarette milk in coffee 34 Lorenz attractor 35 Chaos 1963年美國氣象學家 Edward N. Lorenz提出混沌理論（Chaos），非 線性系統具有的多樣性和多尺度性。 混沌理論解釋了決定系統可能產生隨 機結果。此理論最大貢獻是用簡單的 模型獲得明確之非週期結果。在氣象、 航空及太空等領域的研究裡有重大的 作用。 36 Devanvey's chaos •敏感性(sensitivity)： 對初始條件非常敏感，差之毫釐失之千里。 •傳遞性(transitivity)： 可到處遍歷。 •週期解稠密性(density)： 存在任意週期。 37 Devanvey's chaos •傳遞性(transitivity)： 可到處遍歷。 38 Examine Chaos • bifurcation diagram period doubling bif.: logistic map intermittence bif.: tent map • Feigenbaum constant δ= 4.66920160910299067185320382… • spectrum analysis (fft) 39 Examine Chaos • Poincaré map (conti. D.S.) 40 Examine Chaos • Lyapunov exponent (Lyapunov characteristic exponent) • Poincaré recurrence • homoclinic orbit (snapback repellor) 41 Bifurcation diagram 42 Bifurcation diagram 43 Feigenbaum constant δ= 4.66920160910299067185320382… 44 FFT (Fast Fourier transform) 45 FFT (Fast Fourier transform) 46 Poincaré map 47 Poincaré map •發散(infinity)、平衡點 •週期解 •極限環(limit cycle) •擬週期(quasi-periodic) •chaos 48 Poincaré map 49 Poincaré map 50 Poincaré map 51 Poincaré map 52 Lyapunov exponent 53 Lyapunov exponent •[ Definition] global Lyapunov exponent • [Computation] local Lyapunov exponent (average the phase-space volume expansion along trajectory) 54 Local Lyapunov exponent 55 Local Lyapunov exponent 56 Poincaré recurrence positive topological entropy 57 Homoclinic orbit 58 Example: MLM: modified logistic map 59 Logistic map 60 Modified Logistic map 61 Properties of MLM • Chaotic map • No windows • Uniform distribution • Equivalent • Pseudorandom 62 MLM: chaotic map 63 MLM: no windows 64 MLM: no windows 65 MLM: Poincaré recurrence 66 MLM: uniform distribution (FFT) r = 5.9 67 MLM: equivalent (bits error rate analysis) 68 MLM: pseudorandom 69 MLM: pseudorandom (SP 800-22) 70 References V. Afraimovich, J. Schmeling, E. Ugalde, J. Urias, Spectra of dimensions for Poincare recurrences, Discrete Contin. Dyn. Syst. 6 (4) (2000) 901-914. S. M. Chang, M. C. Li and W. W. Lin, Asymptotic synchronization of modified logistic hyper-chaotic systems and its applications. Nonlinear Analysis: Real World Applications, Vol. 10, Issue 2 (2009), pp. 869–880. S. M. Chang, T. C. Lin and W. W. Lin, Chaotic and Quasiperiodic Motions of Three Planar Charged Particles. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 11, No. 7 (2001), pp. 1937– 1951. 71 References S. M. Chang, T. C. Lin and W. W. Lin, Dynamics of Vortices in Two-Dimensional Bose-Einstein Condensates. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 12, No. 4 (2002), pp. 739–764. S. L. Chen, S. M. Chang, T. T. Hwang and W. W. Lin, Digital secure-communication using robust hyper-chaotic systems. Int. J. Bifurcation Chaos, Vol. 18, No. 11 (2008), pp. 1–14. T. S. Parker & L. O. Chua, Practical Numerical Algorithm for Chaotic Systems, Ch.3, Springer-Verlag, 1989. B. Saussol, S. Troubetzkoy, S. Vaienti, Recurrence, dimensions and Lyapunov exponents, J. Statist. Phys. 106 (314) (2002) 623–634. 72 References List of chaotic maps. http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_chaotic_maps 動態系統, 動力系統, 混沌理論. http://zh.wikipedia.org/zh-tw/ Lyapunov Exponents, Chaos and Time-Series Analysis. http://sprott.physics.wisc.edu/phys505/lect05.htm 73