Transcript HIMPUNAN

HIMPUNAN
MATEMATIKA DISKRIT
Himpunan





Definisi
Notasi
Operasi-operasi dasar
Sifat-sifat
Latihan
Matematika Diskrit
1
Definisi

Himpunan :


Dengan kata lain :


Sembarang kumpulan objek
Kumpulan dari objek-objek tertentu yang
merupakan suatu kesatuan
Elemen dari himpunan :

Objek-bajek itu sendiri
Matematika Diskrit
2
Notasi


Dengan menulis semua elemen-elemennya
diantara tanda akolade  { }
Dengan menyebutkan suatu sifat karakteristik
dengan mana dapat ditentukan, apakah satu
objek anggota dari himpunan tersebut atau
bukan
 { (simbol sembarang elemen | sifat
karakteristik elemen tersebut }
Matematika Diskrit
3
Notasi










{x1, …, xn}
{x|p(x)}
xX
xX
X=Y
yang sama)
|X|

XY
(x)
X atau X’
: himpunan yang terdiri dari unsur x1, …, xn
: himpunan semua x dengan x adalah unsur sifat p(x)
: x adalah unsur dari X
: x bukan unsur dari X
: kesamaan himpunan (X dan Y mempunyai unsur-unsur
: jumlah unsur di X
: himpunan kosong
: X adalah subhimpunan dari Y
: pangkat himpunan (himpunan kuasa) dari X
: komplemen dari X
Matematika Diskrit
4
Operasi-operasi Dasar




Gabungan (Union)
Irisan (Intersection)
Penjumlahan
Selisih
Matematika Diskrit
5
Gabungan (Union)



Misal : A gabungan B (semua unsur di A dan B)
Notasi : A U B
Diagram Venn :
S
A
S
B
B
A
atau
AB

Contoh :
 A = { 1,2,3,4} dan B = {2,4,6,8}
 A U B = {1,2,3,4,6,8}
Matematika Diskrit
AB
6
Irisan (intersection)


Notasi : A  B
Diagram Venn :
S
A
B
AB

Contoh :
AB
A = { 1,2,3,4} dan B = {2,4,6,8}
A  B = {2, 4}
Matematika Diskrit
7
Penjumlahan


Notasi : A + B
Diagram Venn :
S
A
B
S
Diarsir
A+B
A+B

A
B
Diarsir
B+A
B+A
Contoh :
A = { 1,2,3,4} dan B = {2,4,6,8}
A + B = {1,3,6,8}
Matematika Diskrit
8
Selisih


Notasi : A – B atau B - A
Diagram Venn :
S
A
B
S
Contoh :
B
Diarsir
A-B
A-B

A
Diarsir
B-A
B-A
A = { 1,2,3,4} dan B = {2,4,6,8}
A - B = {1,3}
Matematika Diskrit
9
Selisih Simetrik

A  B = (A  B) – (A  B)
Matematika Diskrit
10
Contoh
Diketahui :
 S = {1,2,3,…, 10}
 A = {1,2,3,5,7}
 B = {2,3,4,8,10}
Matematika Diskrit
Tentukan :
 A  B
 A  B
 A + B
 A – B
 B – A
 Ā
 B’
 (A  B)’
 A  B
11
Solusi

S

A
1
7
5
B
2
3
9

10
4

8



6


Matematika Diskrit
A  B = {1,2,3,4,5,7,8,10}
A  B = {2,3}
A + B = {1,4,5,7,8,10}
A – B = {1,5,7}
B – A = {4,8,10}
A = {4,6,8,9,10}
B = {1,5,6,7,9}
(A  B)’ = {4,6,8,9,10}
A  B = (A  B) – (A  B)
= {1,2,3,4,5,7,8,10} - {2,3}
= {1,4,5,7,8,10}
12
Sifat-sifat
1.
2.
3.
4.
5.
Hukum assosiatif
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
Hukum komutatif
AB=BA
AB=BA
Hukum distributif
A  (B  C ) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C ) = (A  B)  (A  C)
Hukum identitas
A=A
AS=A
Hukum komplemen
A  A = S
A  A = 
Matematika Diskrit
6.
7.
8.
9.
Hukum idempoten
AA=A
AA=A
Hukum ikatan
AS=S
A=
Hukum penyerapan
A  (A  B) = A
A  (A  B) = A
Hukum involusi
A A
10.
Hukum de Morgan untuk
himpunan
A  B   A  B A  B  A  B
13
Latihan
Diketahui :

S = {1,2,3,…, 10}

A = {1,4,7,10}

B = {1,2,3,4,5}

C = {2,4,6,8}
Tentukan :
1.
AB
2.
BC
3.
A–B
4.
B–C
5.
AB
6.
B’  (C – A)
7.
A  (B  C)
8.
(A  B) – C
9.
(A  B) – (C – B)
10.
Matematika Diskrit
A  B  C
14
Pertemuan Minggu Depan
Logika
Matematika Diskrit
15