MATEMATIKA SATU

oleh : Eko Listiwikono

TEORI HIMPUNAN

I

. Dasar-dasar Himpunan:

1. Definisi Himpunan :Kumpulan obyek-obyek yang berbeda yang terdefinisi dengan jelas dan ditulis dengan huruf besar 2.Penyajian himpunan: mendaftar, simbul-simbul baku, notasi pembentuk himpunan(menulis syarat keanggotaan), dan diagram Venn.

3.Kardinalitas: jumlah anggota himpunan. Mis. Himp A notasi n(A) atau |A| 4.Himpunan Kosong: tdk memiliki elemen. Notasinya { } atau Ø 5.Definisi Himpunan Bagian: Himp A dikatakan himp bagian dari himp B, Jika dan hanya jika Setiap elemen A merupakan elemen dari B notasi A C B (B memuat A) Catatan, untuk sembarang himp A maka berlaku A C A dan Ø C A himp {Ø} bukan merupakan himp bag dari himp {{Ø}} karena masing masing himp mempunyai satu elemen yang berbeda 6.Himpunan yang sama: Notasi: A = B ↔ A C B dan B C A

7.Himpunan yang ekivalen Notasi: A~ B ↔ |A| = |B| yaitu kardinal dari kedua himp tsb sama n(A) = n(B) 8.Himp saling lepas: jika kedua himp. Tdk memiliki elemen yg sama Notasi: A // B 9.Himp Kuasa dari himp A adalah Suatu himpunan yang elemen elemennya merupakan himpunan bagian dari A, termasuk himp kosong dan himp A sendiri (ingat elemen elemennya berupa himpunan sebanyak 2 n ) Notasi P(A) II.OPERASI HIMPUNAN: 1.

IRISAN

A dari himp A dan B adl himp yg elemennya ada pada himp

dan

himp B notasinya A ∩ B ={x|xєA dan xєB} 2

. GABUNGAN

dr himp A dan himp B adl Himp yg elemennya merupakan himp A

atau

himp B. Notasinya AUB={x|x єA atau xєB} 3

. KOMPLEMEN

dr himp A terhadap himp semesta S adlh himp yg elemennya merupakan himp semesta S tetapi bukan himp A. notasinya A’ = {x|xєS dan x¢A} 4

. SELISIH

himpunan A dengan B (ditulis A – B) adalah himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B. Notasinya A-B = A ∩ B’

SELISIH dr himp A dan himp B adl himp yg elemennya merupakan elemen himp A dan bukan elemen himp B, notasinya A – B = A∩B’ BEDA SETANGKUP dari himp Adan B adlh himp yg elemnnya merupakan elemen himp A atau elemen himp B tetapi tidak keduanya. Notasi A + B PERKALIAN KARTESIAN dr himp A dan himp B adl himp yg elemennya merupakan semua pasangan berurutan yg mungkin terbentuk dg komponen pertama dr himp A dan komponen kedua dr himp B.

SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN 1, hukum identitas yaitu AUØ=A, A∩

S

=A, 2. Hukum nul yaitu A ∩Ø=Ø, 3. Hukum komplemen yaitu AUA ’=

S

, A∩A’=Ø 4. Hukum idempoten A ∩ A = A ; A U A = A 5. Hukum komplemen ganda (A’)’ = A

6.Hukum penyerapan A U (A ∩ B) = A ; A ∩ (A U B) = A 7. hukum komutatif A ∩ B = B ∩ A ; A U B = B U A 8. hukum assosiatif (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ; (A U B) U C = A U (BUC) 9. hukum distributif A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) ; A ∩(BUC)= (A ∩B)U(A ∩C) 10. Hukum De Morgan (AUB)’=A’ ∩ B’ ; (A ∩ B)’ = A’ U B’ 11. Hukum irisan dengan S. A ∩ S = A 12. Hukum gabungan dengan S. A U S = S PRINSIP DUALITAS: Misal S adl kesamaan yg terbentuk dari himp dan operasi , jika operasi-operasi tsb U diganti ∩, ∩ diganti U, Ø diganti

S

,

S

diganti Ø , komplemen dan Notasi himp yg ada ditetapkan seperti sebelumnya maka didapat kesamaan S” maka S” ini dsbt DUAL dari S PEMBUKTIAN KALIMAT HIMPUNAN(kesamaan) diselesaikan dg cara: digram Venn, tabel keanggotaan, sifat operasi, dan dgn definisi.

Latihan: Hal 146 s/d 150

Soal : 1.

Dari mahasiswa angkatan 2011 yang mengikuti kuliah matematika satu, ada 25 mahasiswa yang mampu dalam program, 16 mahasiswa yang mampu dalam jaringan dan 20 mahasiswa yang mampu dalam desain grafis. Dari semua ini, ternyata ada 8 mahasiswa yang mampu dalam program dan jaringan, 9 mahasiswa yang mampu dalam jaringan dan desain grafis, dan 13 mahasiswa yang mampu program dan desain grafis. Sedangkan yang mampu ketiga-tiganya ada 6 mahasiswa.

Pertanyaan : a. Berapa mahasiswa yang mampu dalam program dan jaringan saja.

b. Berapa mahasiswa yang mampu dalam jaringan saja.

c. Jika yang mengikuti kuliah matematika satu ada 100, maka berapa mahasiswa yang tidak memiliki kemampuan ketiga-tiganya.

2. Dari seluruh pengurus BEM sebanyak 100 orang, terdapat 68 orang yang gemar sepak bola, 65 orang gemar bulu tangkis dan 45 orang gemar voli. Selain itu diketahui ada 25 orang yang gemar sepak bola dan voli, 40 orang yang gemar sepak bola dan bulu tangkis dan 20 orang yang gemar bulu tangkis dan voli. Sedangkan yang gemar voli saja sebanyak 5 orang.

Pertanyaan : a. Berapa orang yang gemar bulu tangkis saja.

b. Berapa orang yang gemar sepak bola saja.

c. Berapa orang yang tidak gemar sepak bola, bulu tangkis atau voli.

d. Berapa orang yang gemar ketiga-tiganya.

3. Apakah 4 = {4} ? Jelaskan 4. Apakah bilangan 0 ada dalam Ø ?Jelaskan

Apakah

Ø

Apakah

Ø

= {

Ø

 {

Ø

 } ? Mengapa ?

} ? Mengapa ?

k untuk suatu bilangan bulat positif k } dengan Z = himp. bilangan bulat. Nyatakan himp.S dg cara mendaftar anggotanya.

6. Misalkan A = {c,d,f,g} B = {f, j} dan C = {d, g}. Tentukan apakah relasi berikut ini benar dan berikan alasannya.

7. Tentukan mana diantara berikut yang benar, dan berikan alasannya.

   

e. {3}={{1},{2},{3}} k.

Ø = {Ø} 8. Tuliskan ingkaran dari pertanyaan berikut. Kemudian tentukan manakah yang benar, kalimat mula-mula atau ingkarannya? (R= himpunan bilangan riil dan Z = himpunan bilangan bulat)       Ø