Transcript Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Procesy Mechaniczne.
Przepływ płynów jednorodnych
Płyny Idealne
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wiadomości wstępne.
W nauce o ruchu płynów tj. gazów i cieczy, traktujemy płyn jako ośrodek o
strukturze ciągłej.
Różniczkowa objętość płynu o dowolnie małych rozmiarach (w granicy będzie
to punkt) może być zatem rozpatrywana jako jednorodna próbka o właściwościach
fizycznych całego ośrodka, w oderwaniu od rzeczywistej struktury cząsteczkowej.
Zakres stosowalności tego modelu jest ograniczony i nie obejmuje ruchu gazów
rozrzedzonych w warunkach w których średnia droga swobodna cząsteczki jest
porównywalna do średnicy przewodu
Przepływy MOLEKULARNE lub KNUDSENOWSKIE
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Kn 

L
-Liczba Knudsena definiowana jako stosunek średniej
drogi swobodnej cząstek do wymiaru charakterystycznego
przewodu.
Przyjmuje się że gaz zachowuje cechy ośrodka ciągłego w zakresie wartości
Liczb Kn mniejszych od 0.1
Płyny odróżniamy od ciał stałych na podstawie zachowania pod wpływem
przyłożonych naprężeń.
Ciała Stałe:
Sprężystość kształtu
Sprężystość objętości
Ciecze:
Sprężystość objętości
Gazy:
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Płyny, nie zmieniające swojej objętości pod wpływem zmian ciśnienia i temperatury
nazywamy płynami NIEŚCIŚLIWYMI
PŁYNY
Płyny doskonałe:
o lepkości równej zeru
nie przewodzące ciepła
Płyny rzeczywiste:
o lepkości różnej od zeru
przewodzące ciepło
Dyssypacja energii
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
1) Prędkość przepływu.
F
W
Podstawową miarą przepływu jest natężenie W [kg/s] – wskazujące masę
przepływającego płynu na jednostkę czasu.
Stosunek natężenia przepływu do przekroju strumienia to prędkość masowa strumienia
G [kg/m2s]
W
G
F
kg 1
kg
 2  2
s m
m s
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Stosunek natężenia przepływu do gęstości płynu ρ [kg/m3] daje prędkość
objętościową przepływu V [m3/s]
V
W

kg m3 m3


s kg
s
Stosunek prędkości objętościowej do przekroju strumienia wyrażą średnią prędkość
liniową u [m/s]
V
u
F
m3 1 m
 2 
s m
s
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Spełnione są następujące związki między tymi wielkościami:
W  GF V   u F
[kg/s]
G  u
[kg/m2s]
V  uF
[m3/s]
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
2) Średnia prędkość liniowa.
Podczas przepływu płynu rzeczywistego przez przewód, liniowa prędkość lokalna
może być różna w różnych miejscach przekroju przewodu.
Wartość średnia prędkości może być obliczona następująco (wykorzystując definicje
średniej całkowej):
F
1
u   udF
F 0
Prędkość lokalna
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
3) Kryteria przepływu ustalonego
Jeżeli weźmiemy pod uwagę dwa przekroje tego samego strumienia, gdzie natężenia
przepływu wynoszą W1 i W2, wówczas przy przepływie ustalonym w czasie
natężenia te są jednakowe oraz nie zmieniają się w czasie.
W1  W2
W szczególnym przypadku przepływu przez przewód o stałym przekroju prędkość
masowe w obu przekrojach muszą być jednakowe:
G1  G2
u11  u2 2
Zależność ta ma znaczenie
dla przepływu gazów
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przy ustalonym przepływie cieczy (płyn nieściśliwy) jednakowe będą w obu
przekrojach prędkości objętościowe
V1  V2
Podczas przepływu przez przewód o stałym przekroju jednakowe będą w obu
Przekrojach średnie prędkości liniowe:
u1  u2
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
4) Różniczkowe równanie bilansu masy. Ogólne równanie ciągłości
X3
Równanie bilansu masy dla
ośrodka ciągłego wyprowadzimy
stosując analizę Eulera dla
umiejscowionego w przestrzeni
prostopadłościanu
dx3
X1
dx2
X2
dx1
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
X3
Wektor prędkości liniowej płynu
przez ten prostopadłościan
można rozłożyć na 3 składowe:
u1,u2,u3
dx3
u
X1
dx2
X2
dx1
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Rozdrabnianie fazy stałej i ciekłej
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Bilans masy przepływającej przez prostopadłościan można sformułować następująco:
Całkowity strumień masy
przepływający przez ściany
prostopadłościanu
Akumulacja
0
Dla kierunku x1 można obliczyć różniczkowe natężenie przepływu jako iloczyn
powierzchni ściany (dx2 * dx3 ) prostopadłej do osi x1,oraz skaładowej prędkości masowej
Gx1 czyli u1ρ
Wx1  u1    dx2  dx3
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Rozdrabnianie fazy stałej i ciekłej
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Analogicznie dla przeciwległej ściany mamy prędkość masową odpływu
Gx1  dGx1  Gx1 
Gx1
x1
dx1
Stąd:
Wx1  dx1

  u1  
    u1 
dx1   dx2  dx3
x1


Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
X3

  u1  
Wx1  dx1     u1 
dx1   dx2  dx3
x1


Wx1  u1    dx2  dx3
X1
wylot
wlot
X2
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Na składowej x1:

  u1  

 u1    dx2  dx3     u1 
dx1   dx2  dx3
x1


Na składowej x2::


   u 2 
 u2    dx1  dx3     u2 
dx2   dx1  dx3
x2


Na składowej x3::


  u3 
 u3    dx2  dx1     u3 
dx3   dx2  dx1
x3


Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Akumulacja masy w prostopadłościanie:
m   V  


dx1dx 2 dx3
t
t
t
Całkowity strumień masy
przepływający przez ściany
prostopadłościanu
Akumulacja
0
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Po wykonaniu sumowania wszystkich członów i podzieleniu przez objętość elementu:
 u1  u2  u3  


 



t

x

x

x
1
2
3


We współrzędnych Kartezjańskich:   ex1



 e x2
 ex3
x1
x2
x3
Wektory jednostkowe w kierunkach x1,x2,x3
 u1  u2  u3  

  v   


x2
x3 
 x1
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa

   v 
t
Równanie ciągłości
   v   v        v
Pochodna substancjalna

 v        v
t
D

  v 
Dt t
Akumulacja masy na jednostkę objętości
D
    v
Dt
Równanie ciągłości
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
D
    v
Dt
Równanie ciągłości
Ważnym uproszczeniem jest założenie nieściśliwości płynu
Oznacza to że gęstość płynu jest stała i nie zmienia się z temperaturą i ciśnieniem
  const
D
    v
Dt
Dla układu dwu wymiarowego (x,y):
v  0
Vx V y

0
x
y
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Rozważmy dwu wymiarowy przepływ
płynu nie lepkiego napływającego na
powierzchnię płaską.
Równanie ciągłości
Vx V y

0
x
y
Wiemy że prędkość na kierunku y wynosi:
V y  Uy
Vy
Vx

x
y
Vx
 U
x
Vx  Ux  C
Wyznaczyć Vx.
V y
y
U
Dla x=0 Vx = 0 więc C=0
Vx  Ux
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
5) Równanie bilansu energii.
z2
ρ2u2
z1
ρ1u1
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Ułóżmy bilans energetyczny takiego układu licząc na 1 kg płynu.
Uwzględnić należy: doprowadzenie i odprowadzenie energii potencjalnej Ep,
kinetycznej Ek, objętościowej E0 oraz wewnętrznej U. Należy również uwzględnić
doprowadzone ciepło Q i pracę L.
E p1  Ek1  E01  U1  L  Q  E p 2  Ek 2  E02  U2
[m2/s2]
Jednostka energii to dżul = 1 N m = [ kG m2/ s2 ]
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Energia potencjalna Ep jest równa iloczynowi wysokości z, oraz siły ciężkości
działającej na masę 1 kg płynu. Siła ta jest iloczynem tej masy i przyśpieszenia
ziemskiego g ( 9,81 m/s2 ).
Ep  z  g
Energia objętościowa E0 jest równa pracy potrzebnej do wytworzenia objętości v
zajętej przez 1 kg płynu pod ciśnieniem p.
E0  p  v
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Energia kinetyczna Ek wyraża się znaną formułą:
Dla jednego kilograma płynu:
2
u
2
m u
2
2
Podczas przepływu płynu przewodem wartość prędkości jest zmienna w przekroju
poprzecznym strumienia. Gdy bierzemy pod uwagę średnią wartość prędkości liniowej
to wyrażenie
2
u
2
nie daje poprawnej wartości średniej energii kinetycznej 1 kg
płynu płynącego całym przekrojem
Najdogodniej jest wprowadzić współczynnik poprawkowy α (0.5-1)
2
u
Ek 
2 
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Absolutne wartości energii wewnętrznej U nie są znane. Można określać tylko jej
Zmiany ( U2 – U1) metodami termochemicznymi.
Równanie bilansu energii dla przepływu:
u12
u22
z1 g 
 p1v1  Q  L  z2 g 
 p2v2  U 2  U1 
2
2
Wykorzystując pojęcie entalpi:
2
1
i  U  pv
2
2
u
u
z1 g 
 Q  L  z2 g 
 i2  i1 
2
2
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
u12
u22
z1 g 
 Q  L  z2 g 
 i2  i1 
2
2
W szczególnym przypadku gdy nie ma wkładu pracy (L=0), zmiany poziomu (z1=z2)
i prędkości ( u1 = u2 a więc α1 = α2) równanie to sprowadza się do postaci:
Q  i2  i1
Wskazuje ona, że w procesie przepływowym, termodynamicznie nieodwracalnym
wskutek tarcia wewnętrznego, przy wskazanych zastrzeżeniach wkład ciepła
jest równy zmianie entalpii
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
5) Równanie Bernouliego.
Weźmy pod uwagę szczególny przypadek przepływu gdy nie ma wkładu pracy L=0
2
1
2
2
u
u
z1 g 
 p1v1  Q  z2 g 
 p2v2  U 2  U1 
2
2
 u22 u12 
U 2  U1   g z2  z1    p2v2  p1v1       Q
 2 2 
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Załóżmy, że przekroje są od siebie oddalone o różniczkowo mała odległość:
u 
  dQ
dU  gdz  d  pv  d 
 2 
2
Załóżmy że przepływ odbywa się bez tarcia, (α = 1). Z punktu widzenia termodynamiki
taki przepływ jest odwracalny, a dla procesu odwracalnego I zasada termodynamiki
wyraża się równaniem:
dQ  dU  pdv
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Rozwijając z pierwszego równania różniczkę d(pv):
d  pv  pdv vdp
Otrzymujemy:
2
du
gdz  vdp 
0
2
1
Uwzględniając, że objętość właściwa
v

Oraz że
g  
to ciężar właściwy
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dzieląc równanie przez g:
 u2 
  0
dz 
 d 

 2g 
dp
Różniczkowa postać
Równania Bernoulliego
Równanie to można scałkować dla cieczy doskonałej
tzn. nie wykazującej tarcia wewnętrznego ( nie lepkiej ), ale również nieściśliwej.
Całkując między przekrojami 1,2 otrzymujemy:
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
RÓWNANIE BERNOULLIEGO:
p1
2
1
2
2
u
p2 u
z1  
 z2 

 2g
 2g
Jest to bardzo ważny związek pomiędzy wysokością , prędkością i ciśnieniem cieczy.
Każdy człon tego równania ma wymiar [m]
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dla płynów idealnych:
1
V1[m3/s]
V2[m3/s]
2
z1
Równanie ciągłości:
Równanie Bernoulliego:
z2
V1  V2
p1
u1  F1  u2  F2
2
1
2
2
u
p2 u
z1  
 z2 

 2g
 2g
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
P1. Zwężka Venturiego
Mierzy prędkość przepływu płynu wykorzystując
Spadek ciśnienia pomiędzy punktami 1-2
P2. Wypływ płynu ze zbiornika.
Wykład nr 2 : Procesy mechaniczne. Przepływ płynów jednorodnych