Transcript Procesy Mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach

Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Procesy Mechaniczne.
Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Ogólnie układy z łożone z fazy ciągłej (gazowej lub ciekłej ) i fazy rozproszonej ( stałej
lub ciekłej ) to układy NIEJEDNORODNE
Szczególny przypadek  faza ciągła powietrze  AEROZOLE
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Podczas ruchu ciał w płynach na ciała te działa szereg sił :
Zapis drugiego prawa ruchu Newtona dla cząstki kulistej:
Drag and resistance force
Virtual added mass force
Pressure gradient forces
Basset forces
dv
1
du  v 
Du 3 2
1 du  v 
mp
 3πd p u  v   mf
 mf
 d p πμρ
dτ  F(ext)
dt
2
dt
Dt 2
t  τ dτ
0
t
Równanie Basset-Boussinesq-Oseen (BBO)
mp
dv
 3πd p u  v   F(ext)
dt
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Podczas ruchu bryły w płynie ciśnienie działające na jej całą powierzchnię daje w
Wyniku siłę przeciwnie skierowaną do kierunku ruchu. Parcie to zwane jest oporem
ośrodka R jest proporcjonalne do rzutu bryły na powierzchnie normalną do
kierunku ruchu:
R  pF
Ciśnienie dynamiczne płynu p wywołane ruchem bryły jest funkcją kilku parametrów:
p  f d ,u,  ,  
średnica
prędkość
gęstość płynu
lepkość płynu
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Zależność tą można przedstawić w postaci analogicznej do równania oporu w rurach:
2
u
R  F  
2
współczynnik oporu ośrodka
  f Re 
dla cząstki kulistej:
Re 
ud 

Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dla kul w zakresie Re od 10-4 do 0,4 ruch ma charakter laminarny.
dla Re < 10-4 występują komplikacje ruchu związane z ruchami
Browna.
Dla ruchu laminarnego współczynnik oporów wynosi:
R
24

Re
Po podstawieniu do równania oporu:
Wyrażenie to formułuje prawo Stokesa.
24   d 2 u 2
24    d 2 u 2
R

  

    3    d  u
Re 4
2
ud 
4
2
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dla kul w zakresie Re od 0,4 do 103 ruch ma charakter przejściowy. Współczynnik
λ określony jest zależnością empiryczną Allena:
18,5
  0, 6
Re
Po podstawieniu do równania oporu:
R  2,3  d 1, 4   0,6  u   0, 4
Równanie Allena.
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dla kul w zakresie 103<Re<2*105 ruch ma charakter burzliwy. Współczynnik
λ jest wielkością stałą i wynosi 0,44:
  0,44
R  0,44 
  d 2 u2
4

2

Równanie Newtona.
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dla brył o kształcie nie kulistym wprowadza się wielkość zwaną sferycznością ψ
Jest to stosunek powierzchni kuli o tej samej objętości co dana bryła do powierzchni
tej bryły.
  f Re, 
Współczynnik kształtu.
Dla Re < 0,05 cząstki niekuliste opadają ruchem laminarnym.


Re
24

  
0,843 lg

 0,065
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dla 0,05 <Re < 2*103 cząstki niekuliste opadają ruchem przejściowym.
Wartości λ odczytuje się z wykresów uogólnionych:
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Dla 2*103 <Re < 2*105 cząstki niekuliste opadają ruchem burzliwym. Stosuje
się równanie empiryczne:
  5,31 4,88
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Opadanie grawitacyjne ustalone
Kula o średnicy d opada w płynie, pod wpływem
działania siły ciężkości W.
W  m g 
d
W
 d
6
3
  s     g
gęstość cząstki
gęstość płynu
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wskutek działania siły ciężkości bryła opada z pewnym
przyśpieszeniem. W miarę wzrostu jej prędkości
rośnie siła oporu R aż do zrównoważenia się z ciężarem
bryły.
W R
R
d
W
Po zrównaniu się tych sił ruch musi być jednostajny.
W problemach inżynierii chemicznej przyjmujemy
że to zrównanie następuje bardzo szybko.
 d
6
3
  s     g   
 d
4
2
2
u
 
2
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
 d3
6
  s     g   
  d 2 u2
4

2

Możemy wyznaczyć :
4 d   s     g
 
2
3
u 
Znając wartości λ albo równanie na opory ośrodka, przedstawia to ogólna zależność
między prędkością opadania a średnicą kuli .
Jest to postać uwikłana co można wyeliminować przez zmianę układu współrzędnych
na wykresie dla współczynnika λ.
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Mnożąc obie strony przez Re2 otrzymamy:
3
d
  s       g
4
2
  Re  
3
2
Po prawej stronie równania nie występuje u.
Można skonstruować wykres λRe2 od Re
Dla określonego d, ρ, ρs, μ obliczamy wartość
prawej strony równania i z wykresu odczytujemy
wartość Re a stąd prędkość u.
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Analogicznie rozwiązujemy problem obliczenia średnicy kul d, opadających
ze znaną prędkością:
4  s       
 
Re 3
 2  u3

Po prawej stronie równania nie występuje d.
Konstruujemy wykres λ/Re w funkcji Re.
Dla określonego u, ρ, ρs, μ obliczamy wartość
prawej strony równania i z wykresu odczytujemy
wartość Re a stąd średnicę d.
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Jeżeli wiadomo że opadanie ma charakter laminarny, wówczas zamiast λ wstawiamy
wartość λ=24/Re
 d3
24    d 2 u 2
  s     g 

 
6
ud 
4
2
Otrzymujemy prędkość opadania kul:
2
Dla brył niekulistych:
d   s     g
u
18 
Obszar Stokesa
d 2   s     g 
  
u
  0,843 lg
 
18 
 0,065 

Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
W przypadku opadania burzliwego analogicznie otrzymujemy:
u  1,74
d   s     g

Obszar Newtona
Dla brył niekulistych:
d   s     g
u  1,74

12,1  11,1
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Na podstawie tych rozważań można ustalić charakter zależności prędkości opadania
od średnicy kul w płynie.
u  1,74
d   s     g

d 2   s     g
u
18 
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Opadanie zakłócone SEDYMENTACJA
W procesie sedymentacji, czyli grawitacyjnego oddzielania ciała stałego od cieczy
(zagęszczanie) , ma miejsce tzw. opadanie zakłócone. Przy większych stężeniach
zawiesin zachodzą kolizje redukujące prędkość opadania (w porównaniu do opadania
swobodnego).
Prędkość ziaren względem cieczy w takiej mieszaninie może być określona
przy pomocy zmodyfikowanego równania Stokesa:
d   s   z   g
Uc 
18  z
2
gęstość średnia zawiesiny
Lepkość średnia zawiesiny
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Gęstość pozorną zawiesiny ρz można obliczyć za pomocą wielkości zwanej
„porowatością” zawiesiny ε
VC

V0
objętość cieczy
objętość całej zawiesiny
V0  VC Vs
1  

V0
V0
objętość ciała stałego
Gęstość pozorna zawiesiny:
ms  mc  s Vs   Vc
z 

  s  1       
V0
V0
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Stąd różnica
s   z
W zmodyfikowanym równaniu Stokesa wyniesie:
s   z  s  s  1         s    
d   s     g  
Uc 
18  z
2
Jest to prędkość opadania ziaren w zawiesinie względem wody
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Z punktu widzenia inżynierskiego interesuje nas prędkość opadania względem
ścianek naczynia U.
Prędkość objętościowa opadania w dół ciała stałego na jednostkę objętości układu
może być wyznaczona:
Vs
U  1    U
V0
Uc U
U
Uc
-Prędkość liniowa
„przepływu cieczy
w górę”, względem
ścianek naczynia.
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Czyli analogicznie prędkość objętościowa „przepływu w górę” cieczy:
Vc
 U C  U     U c  U 
V0
Ponieważ występuje wyciskanie cieczy przez opadające ziarna, więc obie te prędkości
muszą być jednakowe:
1   U    Uc U 
U  Uc  
Jest to prędkość opadania ziaren w zawiesinie względem naczynia
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Lepkość zawiesiny jest funkcją porowatości:

z 
f  
Ostatecznie prędkość opadania względem ścianek naczynia wyniesie:
d 2   s     g   2
2
U
 f    U s    f  
18 
Prędkość swobodnego opadania Stokesa
Funkcja f(ε) może być przedstawiona rów. empirycznym np. dla ε < 0,7 :
f    0,123 

1 
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Podczas procesu sedymentacji okresowej zawiesina stopniowo opada, wytwarzając
nad nią sferę klarownej cieczy. Zawiesina podczas osiadania ma stałe stężenie, a więc
stałą prędkość. Osad gęsty narasta na dnie naczynia. W pewnym momencie
krytycznym zostaje tylko osad gęsty, który stopniowo ulega dalszemu zatężaniu
dążąc do minimum porowatości.
Czas krytyczny zależy od stężenia zawiesiny i
jej początkowej wysokości Z0.
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Prędkość opadania mierzona wysokością słupa zawiesiny Z maleje stosownie do
równania:

dZ
 k  Z  Z  
dt
Współczynnik charakterystyczny
dla danego układu
Całkując to równanie otrzymujemy:
Wysokość po bardzo długim
czasie min porowatość.
 Z

1 

 Z  Z 
Z

  k  t
  ln
ln
 Z0

 Z0  Z 
 Z 1 
 

Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Łatwo ustalić związek pomiędzy wysokością osadu i jego porowatością:
Z0  1   0   Z  1     Z  1    
Objętość ciała stałego
dla początku procesu
Objętość ciała stałego
po czasie t
Objętość ciała stałego
w czasie nieskończonym
Można wykazać, że czas zagęszczania w tych samych granicach porowatości
Od ε0 do ε nie zależy od wysokości warstwy osadu Z0
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Proces sedymentacji prowadzi się w odstojnikach, sedymentuje zawiesina gęsta
która na początku w całej wysokości ma stężenie krytyczne, a więc takie jakie panuje
na powierzchni osadu w chwili zaniku zawiesiny rzadkiej :
Zawiesina surowa S
woda
Zagęszczony osad
Wykład nr 5 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Odpylanie gazów grawitacyjne i bezwładnościowe
Grawitacyjne odpylanie gazów polega na osadzaniu cząstek podczas przepływu
Poziomymi kanałami pomiędzy półkami aparatu:
Ważne jest aby zapewnić
właściwy profil prędkości
zapewniający
równomierny przepływ gazu
na każdej z półek
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Opadanie cząstek aerozolu odpowiada zakresowi prawa Stokesa. Gęstość gazu jest
Znikoma w porównaniu z gęstością ciała stałego więc prędkość opadania wynosi:
d 2  s  g
u
18 
Odległość miejsca osadzenia się cząstki aerozolu od wlotu można wyznaczyć
z równania:
Uw – prędkość liniowa (pozioma) gazu
h L

u Uw
Uw h
L
u
Czas potrzebny na opadnięcie na dno półki
W tym czasie gaz pokona odległość L
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
V
Uw 
F
Strumień objętościowy przepływu gazu [m3/s]
Przekrój pionowy aparatu [m2]
Możemy więc wyznaczyć długość aparatu potrzebną do całkowitego usunięcia
cząstek o średnicy d:
18 h V  
L 2
d  s  F  g
Zwykle średnicę cząstek całkowicie usuwanych grawitacyjnie przyjmuje się d=0,07 mm
Mniejsze cząstki można by też usuwać tą metodą, ale długość komory była by tak duża
że nie opłacało by się to z punktu widzenia ekonomii.
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Zastosowanie siły bezwładności „odśrodkowej” pozwala przesunąć granicę praktyczną
odpylania do średnicy d = 0,005 mm. W tym przypadku stosuje się aparaty zwane
CYKLONAMI
Gaz wpływając stycznie do aparatu przybiera
Profil aerodynamiczny kształtu spirali.
Styczny wlot gazu
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Jeżeli prędkość obwodowa cząstki aerozolu wynosi U, jej masa m a promień
krzywizny spirali, po której się ona porusza r wówczas siła bezwładności działająca
na cząstkę w kierunku promieniowym do ścianki wynosi:
W
U2
W  m
r
Przyśpieszenie siły bezwładności U2/r może
być wielokrotnie większe od przyśpieszenie
ziemskiego g, stąd odpylanie w cyklonach
jest bardziej efektywne niż w komorach
grawitacyjnych
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Siła bezwładności W równoważy się z siłą oporu ośrodka, która dla prawa Stokesa
wyraża się :
R  3      d  ur
W
R
 d3
6
W R
U2

 3      d  ur
r
Wyznaczamy prędkość ruchu w kierunku ścianki
d  s U
ur 

18  r
2
2
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
d 2  s U 2
ur 

18  r
Im mniejszy promień cyklonu, tym większa prędkość osadzania. Zbytnie zmniejszanie
Promienia cyklony nie jest możliwe gdyż towarzyszy temu wzrost oporów przepływu.
Ścisłe obliczenie procesu jest bardzo trudne ze względu na skomplikowany profil
prędkości gazu w aparacie. Aby wykorzystać równanie na ur musimy przyjąć kilka
założeń upraszczających:
Prędkość U równa się prędkości wlotowej gazu
r – to promień cyklonu
Szerokość spirali gazowej w cyklonie S
jest równa szerokości strumienia w
przewodzie wlotowym
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Jeżeli spirala ma N zwojów to długość drogi gazu w cyklonie wyniesie 2πrN
Korzystając z tych założeń czas opadania cząstki aerozolowej na ściankę aparatu
można przedstawić następująco:
S0 2    r  N
 
ur
U
d 2  s U 2
S0 U


18  r
2   r  N
S0 U
ur 
2   r  N
9    S0
d
  N U   s
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
9    S0
d
  N U   s
Średnica minimalna cząstek aerozolowych które będą całkowicie zatrzymywane w
danym cyklonie.
Równanie to ma tylko charakter przybliżony. Należy znać wartość liczby zwojów N.
Z obserwacji cyklonów szklanych wynika że najczęściej N wacha się do 1,5 do 3
Wykład nr 4 : Procesy mechaniczne. Procesy ruchu ciał stałych w płynach