Transcript Zagadnienie transportowe

Badania Operacyjne
Zagadnienie
transportowe
Problem transportowy zastosowania
• Optymalne planowanie transportu
towarów, przy minimalizacji kosztów lub
czasu wykonania zadania.
• Optymalny rozdział czynników
produkcji, w celu maksymalizacji wartości
produkcji, zysku lub dochodu.
2
Rozwiązanie dopuszczalne
Rozwiązanie dopuszczalne – jest to rozwiązanie
przejściowe. Istnieje wiele rozwiązań dopuszczalnych dla
jednego zagadnienia transportowego, przy czym każde
kolejne ma lepszy (niższy) lub przynajmniej nie gorszy koszt
od poprzedniego.
3
Rozwiązanie optymalne
Rozwiązanie optymalne- rozwiązanie, które
w wyniku daje koszt najniższy do uzyskania poprzez
znane nam metody. Jest to rozwiązanie końcowe. Może
istnieć kilka rozwiązań optymalnych dla jednego
zagadnienia transportowego - lecz koszt każdego z nich
powinien być taki sam.
4
Popyt i podaż
• Łączną ilość dobra dostępną we
wszystkich punktach nadania przywykło
się określać mianem podaży.
• Łączną ilość dobra, na które jest
zapotrzebowanie we wszystkich punktach
odbioru nazwiemy popytem.
5
Opis problemu
• R dostawców pewnego towaru, zaopatruje N odbiorców.
• Dostawcy dysponują Ai (i = 1,2,...,R) jednostkami danego
towaru.
• Zapotrzebowanie każdego z odbiorców wynosi Bj
(j = 1,2,...,N) jednostek.
• Każdy dostawca może zaopatrywać dowolnego odbiorcę.
• Każdy odbiorca może otrzymywać towar od dowolnego
dostawcy.
6
Opis problemu c.d.
•
Ponadto znane są jednostkowe koszty transportu
towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy
cij (i = 1,2,...,R; j = 1,2,...,N)
UWAGA:
1. Zakłada się, że całkowity koszt transportu jest sumą
kosztów transportu na poszczególnych trasach.
2. Cij – może również wyrażać czas transportu lub odległość
Mówimy tu o zagadnieniach transportowych z kryterium
czasu, odległości lub kosztu.
7
Matematyczny model
zagadnienia transportowego
m
n
 c x
ij ij
i 1 j 1
n
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
 min łączny koszt transportu
 Ai , i  1,2,, m bilanse dla dostawców; podaż 
 Bj ,
xij  0
j  1,2,, n bilanse dla odbiorców; popyt
Oznaczenia:
xij — wielkość przewozu towaru od i-tego dostawcy
do j-tego odbiorcy,
cij — jednostkowy koszt przewozu towaru od i-tego
dostawcy do j-tego odbiorcy,
Ai — limit dostaw i-tego dostawcy,
Bj — zapotrzebowanie j-tego odbiorcy,
m — liczba dostawców,
8
n — liczba odbiorców.
Zapis tabelaryczny zagadnienia
transportowego
Odbiorca
Dostawca
1
2
…
1
…
2
…
…
m
…
…
…
n
…
…
…
…
Macierz kosztów jednostkowych:
 c11 c12
c
c22
21

cij 
 


cm1 cm 2
 c1n 
 c2 n 
  

 cmn 
9
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAMKNIĘTE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
OTWARTE
10
Zamknięte zagadnienie
transportowe
Zamknięte zagadnienie transportowe = zbilansowane zagadnienie transportowe
(ZZT)
Z zamkniętym (zbilansowanym zagadnieniem transportowym)
mamy do czynienia, gdy łączna podaż jest równa popytowi:
m
n
 A 
i 1
i
j 1
Bj
11
Model matematyczny dla ZZT
• warunki dla dostawców:
n
x
j 1
m
ij
 Ai , (i  1,2,, m)
xij  B j ,
• warunki dla odbiorców: 
i 1
( j  1,2,, n)
• warunki brzegowe: xij  0 (i  1,2,, m; j  1,2,, n)
m n
• funkcja celu:
 cij xij  min
i 1 j 1
12
PODAŻ
ZZT - przykład
sklep
hurtownia
10
30
40
30
70
20
30
25
50
80
15
40
20
15
55
 A  B
m
POPYT
95
n
i
i 1
95
j
j 1
13
Otwarte zagadnienie
transportowe
Otwarte zagadnienie transportowe = niezbilansowane zagadnienie transportowe
(OZT)
•
łączna podaż > łączny popyt – u dostawców zostanie
pewna ilość towaru, na którą nie ma zapotrzebowania, a
zapotrzebowanie odbiorców zostanie zaspokojone:
m
n
 A 
i 1
•
i
j 1
Bj
łączna podaż < łączny popyt – zapotrzebowanie
odbiorców nie zostanie zaspokojone, mimo,
że dostawcy wyślą cały towar:
m
n
 A 
i 1
i
j 1
Bj
14
Model matematyczny dla OZZ
łączna podaż>łączny popyt
n
• warunki dla dostawców:  xij  Ai ,
(i  1,2,, m)
j 1
m
• warunki dla odbiorców:  xij  B j ,
( j  1,2,, n)
i 1
• warunki brzegowe:xij  0 (i  1,2,, m; j  1,2,, n)
m n
• funkcja celu:
 cij xij  min
i 1 j 1
15
Sprowadzenie OZT do ZZT
łączna podaż>łączny popyt
UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest
zbilansowane (zamknięte).
Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie,
wprowadzenie fikcyjnego odbiorcy, którego zapotrzebowanie
Bn+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn.
m
n
i 1
j 1
Bn1   Ai   B j
W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu
i magazynowania.
16
PODAŻ
OZT - przykład
sklep
hurtownia
10
30
40
40
70
20
30
30
50
80
15
40
20
15
60
m
POPYT
95
n
 A 
i 1
110
i
j 1
Bj
17
Sprowadzenie OZT do ZZT
łączna podaż>łączny popyt
c.d.
UWAGA:
Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty
magazynowania u poszczególnych dostawców (ci,n+1) lub
też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie
małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci,n+1 = 0).
18
Sprowadzenie OZT do ZZT
łączna podaż>łączny popyt
- podsumowanie
OZT
warunki dla dostawców
n
x
j 1
ij
 Ai , (i  1,2,  , m)
warunki dla dostawców
n 1
x
ij
 Ai , (i  1,2,, m)
j 1
warunki dla odbiorców
m
x
i 1
OZT -> ZZT
ij
 B j , ( j  1,2,  , n)
warunki dla odbiorców
x
m
ij
 B j , ( j  1,2,, n  1)
i 1
warunki brzegowe
warunki brzegowe
xij  0 (i  1,2,  , m; j  1,2,  , n) xij  0 (i  1,2,, m; j  1,2,, n  1)
funkcja celu
funkcja celu
m
n
 c x
i 1 j 1
ij ij
 min
n 1
 c x
m
ij
i 1
j 1
ij
 m in
19
Model matematyczny dla OZZ
łączna podaż< łączny popyt
n
• warunki dla dostawców:  xij  Ai ,
(i  1,2,, m)
j 1
m
• warunki dla odbiorców:  xij  B j ,
( j  1,2,, n)
i 1
• warunki brzegowe:xij  0 (i  1,2,, m; j  1,2,, n)
m n
• funkcja celu:
 cij xij  min
i 1 j 1
20
Sprowadzenie OZT do ZZT
łączna podaż<łączny popyt
UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest
zbilansowane (zamknięte).
Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie,
wprowadzenie fikcyjnego dostawcy, którego zapotrzebowanie
Am+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn.
n
m
j 1
i 1
Am1   B j   Ai
W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu
i magazynowania.
21
PODAŻ
OZT - przykład
sklep
hurtownia
10
30
40
40
70
20
30
30
50
80
15
40
20
30
70
m
POPYT
120
n
 A 
i 1
110
i
j 1
Bj
22
Sprowadzenie OZT do ZZT
łączna podaż>łączny popyt
c.d.
UWAGA:
Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty
magazynowania u poszczególnych dostawców (ci,n+1) lub
też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie
małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci,n+1 = 0).
23
Sprowadzenie OZT do ZZT
łączna podaż>łączny popyt
- podsumowanie
OZT
warunki dla dostawców
n
x
j 1
ij
 Ai , (i  1,2,  , m)
warunki dla dostawców
n 1
x
j 1
warunki dla odbiorców
m
x
i 1
OZT -> ZZT
ij
 B j , ( j  1,2,  , n)
ij
 Ai , (i  1,2,  , m  1)
warunki dla odbiorców
m
x
i 1
ij
 B j , ( j  1,2,  , n)
warunki brzegowe
warunki brzegowe
xij  0 (i  1,2,  , m; j  1,2,  , n)
xij  0 (i  1,2,  , m  1; j  1,2,  , n)
funkcja celu
funkcja celu
m
n
 c x
i 1 j 1
ij ij
 min
m n 1
 c x
i 1 j 1
ij ij
 min
24
METODY ROZWIĄZYWANIA
ZAGADNIENIA
TRANSPORTOWEGO
25
Metoda kąta północno-zachodniego
(górnego lewego rogu)
Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne zadania
transportowego.
Nie bierze ona pod uwagę macierzy kosztów, przez
co koszt rozwiązania jest dość wysoki w porównaniu
z pozostałymi metodami.
26
Metoda kąta północno-zachodniego
- przykład (ZZT)
Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt
z czterema producentami czekolady (P1, P2, P3, P4) z
różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40
paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H1, H2, H3, H4,
H5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30,
10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić
wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta
(dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy).
Uwaga koszty zestawiono w tabeli
27
Metoda kąta północno-zachodniego
- przykład
hurtownia
producent
5
3
1
2
2
20
2
1
1
1
1
30
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
15
30 10
m
n
 A 
i 1
i
j 1
35
100
100
Bj
28
29
Metoda kąta północno-zachodniego
Należy przygotować niewypełnioną tabelę o wymiarze m-wierszy i n-kolumn,
gdzie:
m - liczba odbiorców,
n- liczba dostawców.
hurtownia
Podaż
producent
20
30
10
40
Popyt
10
15
30
10
35
30
Wypełnianie tabelki zaczynamy od pierwszej komórki w górnym,
lewym narożniku. Komórce tej odpowiada dana podaż oraz dany popyt.
Wybieramy spośród nich mniejszą wartość i wpisujemy ją do komórki.
hurtownia
Podaż
producent
10
20
10
Min(10;20)=10
20-10=10
Popyt
0
10
10-10=0
Następnie należy tę wartość odjąć zarówno od podaży jak i od
popytu.
31
Sprawdzamy, gdzie po odjęciu uzyskaliśmy 0
(w podaży czy w popycie). Jeżeli wyzerował się popyt to
w danej kolumnie wpisujemy w resztę komórek zera.
Jeżeli wyzerowałaby się podaż to należałoby wpisać
zera w resztę komórek w danym wierszu. W tym
przypadku wyzerował się popyt więc należy wypełnić
resztę komórek w pierwszej kolumnie zerami.
hurtownia
Podaż
producent
10
10
0
0
0
Popyt
0
32
Idziemy
do
kolejnej
wolnej
komórki
i powtarzamy całą procedurę, aż do pełnego wypełnienia
całej tabeli.
hurtownia
Podaż
producent
Popyt
10
10
0
0
0
0
0
5
25
0
0
25
0
0
0
5
5
0
5
0
0
0
0
5
35
0
0
5
0
5
0
5
0
0
33
Uzyskujemy wówczas rozwiązanie dopuszczalne. Wszystkie zerowe
elementy (bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie
tabeli) rozwiązania nazywamy elementami nie bazowymi. Natomiast
elementami bazowymi nazywamy wszystkie elementy niezerowe.
hurtownia
Podaż
producent
Popyt
10
10
0
0
0
0
0
5
25
0
0
0
0
0
5
5
0
0
0
0
0
5
35
0
0
0
0
0
0
Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4-1=8),wówczas
rozwiązanie nazywamy zdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie
będzie niezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego
optymalności metodą potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden
z elementów bazowych jest zerem).
34
Na koniec należy policzyć koszt jaki uzyskaliśmy tą
metodą. Koszt wyliczamy przemnażając dany element
tablicy kosztów z danym elementem naszego rozwiązania po
czym wartości te sumujemy.
hurtownia
producent
5
3
1
2
2
20
2
1
1
1
1
30
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
15
30
10
35
hurtownia
Podaż
producent
Popyt
10
10
0
0
0
0
0
5
25
0
0
0
0
0
5
5
0
0
0
0
0
5
35
0
0
0
0
0
0
35
Metoda kąta północno-zachodniego
- przykład (OZT)
Firma przewozowa (np. mąki) ma kontrakt
z trzema magazynami (M1, M2, M3) z różnych miast
dysponuje odpowiednio: 100, 50 i 80 tonami mąki.
Natomiast 4 piekarnie (P1, P2, P3, P4) z innych miast chętnie
kupią odpowiednio: 40, 60, 50 i 50 ton mąki. Mamy jak
najmniejszym kosztem porozwozić mąkę, znając koszty
drogi od danego magazynu (dostawcy) do każdej piekarni
(odbiorcy).
36
piekarnia
magazyn
50
40
50
20
100
40
80
70
30
50
60
40
70
80
80
40
60
50
50
230
200
m
n
 A 
i 1
i
j 1
Bj
37
Ponieważ algorytm transportowy zakłada zbilansowanie
popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ
 A  B zatem wprowadzamy jednego fikcyjnego odbiorcę
(dodatkową piekarnię).
m
i 1
n
i
j 1
j
m
n
i 1
j 1
B5   Ai   B j  230 200  30
piekarnia
dodatkowe
założenie o
kosztach
magazynowania
F
magazyn
50
40
50
20
5
100
40
80
70
30
5
50
60
40
70
80
5
80
40
60
50
50
30
230
200
38
Nowy model matematyczny:
• funkcja celu:
funkcję celu rozszerzamy o dodane składniki
Dalej rozwiązujemy metodą kąta pn.-zach. (lub później najmniejszego
elementu)
39
Metoda najmniejszego elementu
Pełna nazwa to metoda najmniejszego elementu w macierzy
kosztów.
Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne
zadania transportowego. Bierze ona pod uwagę macierz
kosztów dzięki czemu zazwyczaj (ale nie zawsze) daje w
wyniku niższy koszt rozwiązania niż koszt rozwiązania
metodą kąta pn.-zach.
40
Metoda najmniejszego elementu
- przykład
Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt
z czterema producentami czekolady (P1, P2, P3, P4)
z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40
paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H1, H2, H3,
H4, H5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10,
15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem
porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od
danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni
(odbiorcy).
Uwaga koszty zestawiono w tabeli
41
Metoda najmniejszego elementu
- przykład
hurtownia
producent
5
3
1
2
2
20
2
1
1
1
1
30
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
15
30
10
35
42
Zaczynając od góry szukamy
o najmniejszym koszcie, odznaczamy ją.
hurtownia
komórki
podaż
producent
popyt
pierwszej
5
3
1
2
2
20
2
1
1
1
1
30
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
10
15
30
10
35
30-20=10
20-20=0
40
Min(20;30)=20
Komórce tej odpowiada jedna wartość podaży oraz
popytu. Wybieramy spośród nich wartość mniejszą
i odejmujemy ją zarówno od danej komórki popytu jak
i komórki podaży.
43
Wyniki wpisujemy do nowej tabeli, tak, że wartość minimalną
wpisujemy w komórkę, która odpowiada komórce z minimalnym kosztem w
tabeli kosztów.
hurt.
poda
ż
Prod.
hurtownia
podaż
producent
0
5
3
1
2
2
20
2
1
1
1
1
30
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
15
30
10
35
popyt
popyt
0
20
0
0
0
10
Następnie sprawdzamy, która wartość (popytu czy podaży)
wyzerowała się. Jeżeli wyzerowała się podaż to wstawiamy zera w resztę
komórek w tym wierszu, jeżeli popyt to wstawiamy zera w resztę komórek
danej kolumny.
44
Następnie bierzemy tabelkę kosztów i zakreślamy na
niej komórki, które wypełniliśmy zerami w tabelce wyników.
hurt.
podaż
Prod.
popyt
5
3
1
2
2
0
2
1
1
1
1
30
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
15
10
10
35
Następnie szukamy w niej następnego minimalnego
kosztu (pomijając zakreślone komórki).
Dalej postępujemy analogicznie jak w etapie pierwszym.
45
hurt.
podaż
Prod.
popyt
5
3
1
2
2
0
2
1
1
1
1
30
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
15
10
10
35
hurt.
podaż
Prod.
0
0
20
15
Procedurę powtarzamy do
momentu uzupełnienia całej
tabeli.
0
0
0
15
0
0
popyt
0
10
46
hurt.
podaż
Prod.
popyt
5
3
1
2
2
0
2
1
1
1
1
15
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
0
10
10
35
hurt.
podaż
Prod.
0
popyt
0
20
15
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
47
hurt.
podaż
Prod.
popyt
5
3
1
2
2
0
2
1
1
1
1
5
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
0
0
10
35
hurt.
podaż
Prod.
popyt
0
0
20
0
0
0
0
15
10
5
0
0
0
0
0
0
0
0
5
48
hurt.
podaż
Prod.
popyt
5
3
1
2
2
0
2
1
1
1
1
0
1
1
2
5
2
10
5
4
3
1
6
40
10
0
0
5
35
hurt.
podaż
Prod.
popyt
0
0
20
0
0
0
0
15
10
5
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
49
hurt.
podaż
Prod.
popyt
5
3
1
2
2
0
2
1
1
1
1
0
1
1
2
5
2
0
5
4
3
1
6
40
0
0
0
5
35
hurt.
podaż
Prod.
popyt
0
0
20
0
0
0
0
15
10
5
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
35
50
hurt.
hurt.
podaż
podaż
Prod.
Prod.
5
3
1
2
2
0
2
1
1
1
1
0
1
1
2
5
2
0
5
4
3
1
6
35
0
0
0
0
35
popyt
popyt
0
0
20
0
0
0
0
15
10
5
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
5
35
0
0
0
0
0
0
Uzyskaliśmy rozwiązanie dopuszczalne. Wszystkie zerowe elementy
(bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie tabeli) rozwiązania
nazywamy elementami nie bazowymi. Natomiast elementami bazowymi nazywamy
wszystkie elementy niezerowe.
Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4-1=8),wówczas rozwiązanie
nazywamy zdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie będzie
niezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego optymalności metodą
potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden z elementów bazowych jest
zerem).
51
Na koniec należy policzyć koszt jaki uzyskaliśmy
tą metodą. Koszt wyliczamy w analogiczny sposób jak
w przykładzie z użyciem metody kąta północnozachodniego.
ODP.: koszt rozwiązania dopuszczalnego wynosi 225.
Porównując koszty rozwiązań metodą kąta pn.-zach.
i najmniejszego elementu zauważymy, że wynik nie jest
najgorszy (ani najlepszy).
W odróżnieniu od metody kąta pn. - zach. w metodzie
najmniejszego elementu bierzemy pod uwagę macierz
kosztów.
52