Národní informační středisko pro podporu kvality

Statistická regulace procesu při krátkých výrobních sériích

2

Obsah

• Vlastnosti klasického regulačního diagramu • Regulační diagramy založené na seskupování sérií • Speciální diagramy pro samotné krátké série • Diagramy pro regulaci srovnáváním

3

Vlastnosti Shewhartova regulačního diagramu

Předpoklad normální rozdělení regulované veličiny N( m , s 2 ), m konstantní, hodnoty regulované veličiny nezávislé a s 2 diagram pro průměr regulační meze

UCL

 m 0  3 s

n

.

LCL

 m 0  3 s n ... rozsah podskupin (n = 1, 2, ...

n

signál – překročení některé z regulačních mezí 4

0,4

Riziko falešného signálu

Probability = 0,0124193 Mean,Std. Dev.

0,1 0,3  0,2

LCL

)  0,1 0, 00135 

UCL

)  1   (3)  0, 00135 0 -5 m 0 3 s

n

-1 m x 1 m 0  s

n

5 Proces pod kontrolou – m a s nezměněny ( m pravděpodobnost falešného signálu = m 0 )

p

 0, 0027 5

Průměrná délka přeběhu ARL proces pod kontrolou

průměrný počet výběrů do objevení se signálu počet výběrů (počet pokusů) – geometrické rozdělení s parametrem p (pravděpodobnost signálu v každém pokusu) střední hodnota geometrického rozdělení 1/p skutečná střední hodnota procesu

p ARL

m 0 0,0027 370 k falešnému signálu dojde v průměru jednou za 370 výběrů 6

Průměrná délka přeběhu ARL posun střední hodnoty

posun střední hodnoty (v násobcích s )  0,5 1 1,5 2 1 155 44 15 6 2 91 18 5 2 skutečná střední hodnota procesu m 0 m  0 m  0 2 s

n

s

n

3 61 10 3 1 4 44 6 2 1

p

0,0027 0,0228 0,1587 5 33 4 2 1

n

6 26 3 1 1

ARL

370 44 6 7 21 3 1 1 8 18 2 1 1 9 15 2 1 1 10 13 2 1 1 7

Regulační diagramy pro detekci menších posunů střední hodnoty

Cíl – snížit ARL při malém posunu střední hodnoty • Doplnění klasických regulačních diagramů zóny A,B,C testy zvláštních seskupení bodů nevýhoda – zvyšuje se riziko falešného signálu (zkrácení ARL u procesu pod kontrolou) • CUSUM diagramy • EWMA diagramy CUSUM a EWMA zvláště výhodné pro individuální měření nevýhoda – méně citlivé na velké posuny 8

ARL u CUSUM

posun střední hodnoty (v násobcích s ) 0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 h = 4 168 74,2 26,6 13,3 8,38 4,75 3,34 2,5 3 2,62 2,19 4 1,71 h – parametr CUSUM diagramu h = 5 465 139 38 17 10,4 5,75 4,01 3,11 2,57 2,01 9

Vlastnosti diagramů při odhadovaných parametrech procesu

Kvalita odhadu má vliv na riziko falešného signálu a ARL.

Vlastnosti regulačních diagramů navržených pro detekci malých posunů jsou citlivé na odhady parametrů procesu.

ARL

je větší než v případě známých parametrů.

ARL

nelze určit analyticky. Pomocí simulací bylo zjištěno, že pokud je odhad směrodatné odchylky založen alespoň na 100 pozorováních, jsou vlastnosti diagramu podobné případu se známými parametry.

10

Volba typu diagramu

I. etapa SPC cíl – stabilizace procesu, odhad parametrů pro II. etapu riziko falešného signálu nebo ARL nejsou tak podstatné, hlavní je detekce větších vymezitelných příčin Shewhartovy diagramy případně doplněné o testy seskupení uvádí se nutnost alespoň 20 až 25 podskupin II. etapa SPC proces pod kontrolou předpokládá se, že hlavní vymezitelné příčiny variability byly odstraněny, je třeba reagovat na menší odchylky doporučuje se CUSUM nebo EWMA Krátké série bez rozlišování dvou etap speciální postupy – seskupování sérií, volba společného sledovaného znaku – samostatné krátké série 11

•

Série jako součást jediného procesu

regulační diagramy DNOM předpoklad – stejná variabilita ve všech sériích, jmenovité hodnoty se liší klasické regulační diagramy aplikované na odchylky od jmenovité hodnoty • standardizované regulační diagramy rozdílné jmenovité hodnoty i variabilita v sériích klasické regulační diagramy aplikované na standardizovanou regulovanou veličinu – regulační meze odpovídají m = 0 a s = 1 12

DNOM

m

m s

T m , Y m



X m



T m

Série c c a a b b b b c c c c T 3,25 3,25 5,50 5,50 5,50 5,50 7,75 7,75 7,75 7,75 7,75 7,75 X1 3,493 3,450 0,4 6,028 0,3 5,639 0,2 5,790 0,1 5,709 0,4 7,885 0,3 7,932 0,2 8,142 0,1 7,907 0,0 7,905 1 2 X2 3,496 3,431 5,668 5,690 5,757 5,743 8,023 8,079 7,860 7,951 7,943 3 4 X3 3,533 Y1 0,243 0,200 5,922 5,634 0,528 0,139 5,735 5,661 0,290 0,209

Sample

7 0,365 8,077 0,135 7,958 7,934 0,182 0,392 7,947 0,157 5 8,091 6

Sample

7 0,155 8 9 Y2 0,246 0,181 0,168 0,190 0,257 0,243 0,273 0,329 0,110 0,201 9 0,193 10 Y3 0,283 0,283

Y

0,257 0,221 0,422 0,373 0,134 0,154 0,235 _ X=0,2391 0,261 11 0,161 0,204 LCL=0,0829 0,271 0,327 0,245 UCL=0,3931 0,208 0,240 0,184 _ R=0,1527 0,229 0,197 0,185 11 0,341 LCL=0 12 0,230 R 0,040 0,102 0,360 0,056 0,055 0,082 0,159 0,192 0,147 0,282 0,044

Standardizovaný diagram data v podskupinách

Příklad (Montgomery 2009) Předpoklad parametry • dány

X m

N(

m

2

m

) • odhadnuty na základě dat ze sérií stejného typu Pozn.: Ke kvalitnímu odhadu je třeba dostatečný počet měření v každé sérii, v ukázce je pro přehlednost menší počet podskupin. Série a a a a a a c c c c c c c b b b b b c c T 100 100 100 100 100 100 200 200 200 200 200 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 X 1 120 115 116 120 112 98 230 225 218 210 190 2150 2200 1900 1968 2500 2000 1960 2320 2162 X 2 95 123 105 116 100 110 210 198 230 225 218 2230 2116 2000 2250 2225 1900 1980 2150 1950 X 3 100 99 114 100 98 116 190 236 199 200 212 1900 2000 2115 2160 2475 2230 2100 1900 2050 X 4 110 102 108 96 107 105 216 190 195 215 225 1925 1950 1990 2100 2390 1960 2150 1940 2125

x R

1 , 1 , 2 , 3 14

pro průměr

x s



x R m



T m

2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0 -0,5 -1,0 a 5 b 10 c 15

UCL



A

2 20

LCL

 

A

2 pro rozpětí

R s



R R m

2,5 2,0 1,5

UCL



D

4 i tý výběr v rámci m té série 1,0 0,5 0,0 0 5 10 15 20

LCL



D

3 A 2 , D 3 , D 4 součinitele pro rozsah podskupin n = 4 (ČSN ISO 8258) 15

Standardizovaný diagram Z - MR individuální hodnoty

Příklad (Breyfogle 2003)

Z m

 (

X m

 m ˆ

m

) / s ˆ

m z

 (

x MR i z i



x m

) / s ˆ

m

s rozpětí na základě hodnot ze stejné série

z i

 1 | Série b b b a a a a c c c a b b b a X 1,435 1,572 1,486 1,883 1,715 1,799 1,511 1,457 1,548 1,768 1,711 1,832 1,427 1,344 1,404 Průměr Sigma 1,502 0,070 1,502 1,502 1,785 1,785 0,070 0,070 0,082 0,082 1,785 1,502 1,502 1,502 1,785 1,785 1,785 1,392 1,392 1,392 0,082 0,070 0,070 0,070 0,082 0,082 0,082 0,063 0,063 0,063 Z MR -0,954 * 1,012 1,966 -0,222 1,234 1,203 * -0,852 2,055 0,175 1,028 0,136 * -0,639 0,775 0,667 1,306 -0,204 * -0,901 0,697 0,579 1,480 0,557 * -0,752 1,309

3,0 1,5 0,0 -1,5 -3,0 1 b 2 3 a 4 5

Z-MR Chart of thickness

b a c UCL=3 0 6 b 7 8

Observation

9 a 10 11 12 13 14 15 LCL=-3 c UCL=3,686 4 3 2 1 0 1 b 2 3 a 4 5 6 7 8

Observation

9 __ MR=1,128 10 11 12 13 14 15 LCL=0 17

Samostatná krátká série

• úprava regulačních mezí (Yang, Hillier) udržuje riziko falešného signálu na požadované úrovni a nezáleží na počtu podskupin

k

• Q-diagram (Quesenberry) standardizace původní sledované veličiny X, v každém kroku se využívá informace ze všech předcházejících předpoklad - známá střední hodnota • samostartovací CUSUM standardizace veličiny X stejně jako u Q-diagramu, není třeba zadávat cílovou hodnotu • bayesovský (Wasserman 1993) využití apriorní informace kromě informace na základě výběru • využití Kalmanova filtru, modifikace EWMA diagramů (Del Castillo, Montgomery 1995), (Wasserman 1995) lepší vlastnosti v případě, že změna úrovně procesu nastane brzy (během 25 pozorování) 18

Úprava regulačních mezí

(Yang a Hillier 1970) cíl - dodržet zvolené riziko falešného signálu a

x



k



kn

1

t

1  a  1)

s p

pro retrospektivní analýzu

x



k



kn

1

t

1  a  1)

s p

pro regulaci procesu

x s

2

p

 ... celkový průměr, k ... počet výběrů, n .. rozsah výběrů 1  1)

i k

  1

j n

 1 (

x ij



x i

) 2 ... odhad rozptylu (inherentní variabilita) 19

Q - diagram

předpoklad – známá střední hodnota, neznámý rozptyl odhad směrodatné odchylky se neustále modifikuje pro pořadí výběru t (Quesenberry 1991)

Q t

 1    

F tn

 

x t

s ˆ /

t

 m

n

   

Q t

 1

F t

 1  

x t

s ˆ 

t

m     pro

n

> 1 pro

n

= 1

F tn

distribuční funkce t- rozdělení s tn stupni volnosti

s t

2  1

tn i t

  1

j n

 1 (

x ij

 m ) 2 pro

n

> 1,

s t

2 

t

1

i t

  1 (

x i

 m ) 2 pro

n

= 1 20

Q – diagram

individuální hodnoty i 1 2 3 4 5 6 7 8 X i 102 97 104 93 100 105 96 98 i 11 12 13 14 15 16 17 18 X i 107 102 109 98 105 110 101 103 3,0 1,5 0,0 -1,5 -3,0 4 1 3 Příklad (Montgomery 2009) 3 9 105 19 110 10 99 20 104 2 1 0 1 3 regulační meze  3 diagram pro klouzavá rozpětí 0 a 3,686 5 5 7 7

I-MR Chart of Q

9 11

Observation

9 11

Observation

13 13 15 15 17 17 19 19 UCL=3 _ X=0 LCL=-3 UCL=3,686 __ MR=1,128 LCL=0 21

CUSUM individuální hodnoty

Příklad (Montgomery 2009) i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X i 102 97 104 93 100 105 96 98 105 99 i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X i 107 102 109 98 105 110 101 103 110 104 Data z procesu se střední hodnotou 100, v 11. podskupině posun na 105.

Cílová hodnota m 0 = 100.

22

Samostartovací CUSUM

v n tém kroku (n = 1, 2, … ) vypočteme z n hodnot výběrový průměr a výběrový rozptyl rekurentní vztahy

x n

 1

n i n

  1

x i s n

2 

n

1  1

i n

  1 (

x i



x n

) 2 pro průměr pro rozptyl

x n



x n

 1 

x n



x n

 1

n s n

2 

n

1  1

i n

  1 (

x i



x n

) 2 

n w n

 1

w n



i n

  1 (

x i



x n

) 2 

w n

 1  (

n

 1)(

x n n



x n

 1 ) 2

T n



x n



x n

 1

s n

 1

U

   1

U n

   1 [

F n

 2 - p kvantil rozdělení N(0,1), (

a T n n

)]

F n

 2 (

a T

)

a n



n

 1

n

distribuční funkce t-rozdělení s n-2 stupni volnosti 23

Tabelární CUSUM se aplikuje na normovanou veličinu U parametry procesu m 0 = 0, s = 1

C i

 

C i

 

u i

 ( m 0 

K

) 

C i

  1 m 0 

K

)  

i C i

  1 H = h s (mezní hodnota) K = k s (referenční hodnota) doporučené hodnoty h = 4 k = 0,5

CUSUM Chart of U

4 3 2 -1 -2 -3 -4 1 0 -5 1 3 5 7 9 11

Sample

13 15 17 19 UCL=4 0 LCL=-4 24

Regulace srovnáváním

standardizované diagramy np, p, c, u

Z Z

 

c n p m n p m m

(1 

c



m c m



n p m p m m

)

Z Z

 

u p



p m p m

(1 

p m

) 

u m n m u m n m

hodnota standardizované veličiny v i-tém výběru v rámci m-té série

n m

značí rozsah výběrů v m-té sérii regulační meze  3 25

Literatura

BISSELL, D. 1994: Statistical Methods for SPC and TQM. Chapman & Hall, 1994.

BREYFOGLE, F.W. 2003: Implementing Six Sigma: Smarter Solutions Using Statistical Methods. J. Wiley & Sons, 2003. DEL CASTILLO, E.

2737.

– GRAYSON, J.M. – MONTGOMERY, D.C. – RUNGER, G.C. 1996: A review of statistical process control techniques for short run manufacturing systems. In: Communications in Statistics – Theory and Methods č. 11, 1996: s. 2723 – DEL CASTILLO, E., MONTGOMERY, D.C. (1994): Short-run statistical process control: Q-charts enhancements and alternative methods. Quality and Reliability Engineering International, 10, 87 – 97 DEL CASTILLO, E., MONTGOMERY, D.C. (1995): A Kalman filtering process control scheme with an application in semiconductor short run manufacturing. Quality and Reliability Engineering International, 11, 101 – 105 FARNUM, N.R. (1992): Control charts for short runs: Nonconstant process and measurement error. Journal of Quality Technology, 24(3), 138 – 144 HILLIER, F.S. (1964): Chart control limits based on a small number of subgroups. Industrial Quality Control, 20(8), 24 – 29 HILLIER, F.S. (1969): X and R chart control limits based on a small number of subgroups. Journal of Quality Technology, 1(1), 17 – 26 26

MAGUIRE, M., ed. 1999: Statistical gymnastics revisited: A debate on one approach to short run control charts. In: Quality Progress č. 2, 1999: s. 84 – 94.

MONTGOMERY, D.C.: Statistical Quality Control. J. Wiley & Sons, 2009.

PYZDEK, T. (1993): Process control for short and small runs. Quality Progress, 26(4), 51 – 60 QUESENBERRY, C.P. (1991): SPC Q charts for start-up processes and short or long runs. Journal of Quality Technology, 23(3), 213 – 224 QUESENBERRY, CH. 1998: Statistical Gymnastics. In: Quality Progress č. 9, 1998: s. 77 – 79 RYAN, T.P. 2000: Statistical Methods for Quality Improvement. J. Wiley & Sons, 2000. WASSERMAN, G.S. (1993):Short run SPC based upon the second order dynamic linear model for trend detection. Communications in Statistics: Simulation and Computation 22(4): 1011 - 1036 WASSERMAN, G.S. (1995): An adaptation of the EWMA chart for short run SPC. International Journal of Production Research 33(10): 2821 – 2833 YANG, C.H., HILLIER, F.S. (1970): Mean and variance chart control limits based on a small number of subgroups. Journal of Quality Technology, 2(1), 9 – 16 27