Transcript x - és Jogtudományi Kar

Logika
5. Logikai állítások
Miskolci Egyetem
Állam- és Jogtudományi Kar
Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék
2011. március 10.
Meghatározatlan állítások
• Meghatározott állítások:
o Egységként kezelhetőek (mondatparaméterek)
o Igazságértékekkel bírnak (alethikusak)
o Kétértékűek: (p  p), (p & p)
 „Itt vagyok.” ↔ „Nem vagyok itt.”
• Meghatározatlan állítások:
o Bár ellentétes tartalmúak, de egyidejűleg igazak lehetnek
 „Joghallgató van előadásra járó.” ↔ „Joghallgató
van előadásra nem járó.”
o Ellentétes tartalmú ≠ negált
 p : „Joghallgató van előadásra járó.”
 p : „Nem igaz, hogy joghallgató van előadásra járó.” =
„Joghallgató nincs előadásra járó.”
o Az ellentétes tartalmú mondatok elemzése is szükséges!
Meghatározatlan állítások
• Az ellentétes tartalmú mondatok elemzése akkor lehetséges,
ha a mondatokat nevekre és predikátumokra bontjuk
• Nevek
o névparaméterek (a, b, c)
o individuumváltozók (x, y, z)  „műnévmások”
 szabadok: nevekkel behelyettesíthetők
(„aki mást megöl”)
 kötöttek: egy meghatározott személyre mutatók
(„aki melletted ül”)
• Kifejezések (mondatok, sémák)
o nyitott kifejezés: szabad változók szerepelnek benne
o zárt kifejezés: kötött változók szerepelnek benne
o n-változós kifejezés: n szabad változót tartalmaz
= n-argumentumú predikátum esetén
Kvantorok és kvantifikáció
• Nyitott mondatok szabad változóinak kitöltése/lekötése:
o Nevekkel való behelyettesítés
o Operátorok alkalmazása
• Operátorok:
o „minden”
o „van olyan”  hagyományos elnevezéssel: „némely”
o Ezek az operátorok mennyiséget rendelnek a változókhoz,
ezért kvantornak nevezzük őket – segítségükkel
kvantifikációt hajtunk végre (quantitas = mennyiség)
 Univerzális kvantor: „minden …”, jele: x
 Egzisztenciális kvantor: „van olyan …”, jele: x
Kvantifikáció (példák, szükséges
elemek, hatókörének fogalma)
o „… halandó”  nyitott kifejezés, predikátum
o „Péter fut”  zárt kifejezés névvel
o „Minden élő lélegzik”  zárt kifejezés univerzális
kvantifikációval
o „Van olyan ember, aki most születik”  zárt kifejezés
egzisztenciális kvantifikációval
• A kvantifikációhoz szükséges elemek:
1. az operátor (a kvantor), 2. a változó, 3. a hatókör
• Hatókör
o az, amire a kvantor vonatkozik
o olyan nyitott mondat argumentuma, amelyben csak a
kvantor adott
„Van olyan …”, „Minden …”
Kvantifikáció (hatókörének jelölése)
• Hatókör jelölése:
o A kvantor után, szögletes zárójelben: x.[…], x.[…]
x.[(x ember)  (x halandó)]
„Minden x-re áll, hogy ha x ember, akkor x halandó.”
„Minden ember halandó.”
x.[(x ember)  (x fehér)]
„Van olyan x, amelyre áll,
hogy ha x ember, akkor x fehér.”
„Van olyan ember, amelyik fehér.”
o Egy formulával (ha ez lehetséges),
a változótól ponttal elválasztva: x.A,  x.B
pl. az A : „ha ember, akkor halandó” és a B : „ha ember,
akkor fehér” sémák esetén: x.A,  x.B
A sémát felírhatjuk paraméterezett predikátumokkal is:
x.F(x), x.G(x)
Kvantifikáció
(interpretálása, értékelés)
• A kvantifikált állítás igazságértékének rögzítése
= a mondat interpretálása:
o tárgyalási univerzum kijelölése
(megadása egy nem üres halmazként)
o a nevek jelöletének megadása
o a predikátum terjedelmének kijelölése
o a mondat értékelése: a változó jelöletének megadása
a tárgyalási univerzumon belül
 univerzális kvantifikáció esetén a mondat a
tárgyalási univerzum minden elemére áll
 egzisztenciális kvantifikáció esetén a mondat a
tárgyalási univerzum legalább egy elemére áll
Kvantifikáció
(interpretálása, értékelés)
• Adott interpretáció és értékelés mellett x.F(x) akkor és csak
akkor igaz, ha az x változót lehet úgy értékelni, hogy F(x) igaz
legyen (az interpretációt és a többi változó értékelését
változatlanul hagyva  permanencia elve).
pl. x : ember(ek), F : repül, G : nem tud járni
x.F(x) : „Van olyan ember, aki repül.”  hamis
x.G(x) : „Van olyan ember, aki nem tud járni.”  igaz
• Adott interpretáció és értékelés mellett x.F(x) akkor és csak
akkor hamis, ha az x változót lehet úgy értékelni, hogy F(x)
hamis legyen (az interpretációt és a többi változó értékelését
változatlanul hagyva  permanencia elve).
pl. x : ember(ek), F : férfi, G : halandó
x.F(x) : „Minden ember férfi.”  hamis
x.G(x) : „Minden ember halandó.”  igaz
Kvantifikáció (n-változós tárgyalási
univerzum esetében, duális)
• A kvantifikációk belső tartalma (jelentése) n számú elemet
tartalmazó tárgyalási univerzum esetén:
o x.F(x)  x.[F(a1) & F(a2) & … & F(an)]
o x.F(x)  x.[F(a1) V F(a2) V … V F(an)]
• Az univerzális és az egzisztenciális kvantifikáció viszonya
olyan, mint a konjunkció és az alternáció viszonya:
ahogyan a konjunkció és az alternáció egymás duálisaként
határozhatók meg (ismétlésképpen: 3. előadás, 10-12. diák),
ugyanúgy az univerzális és az egzisztenciális kvantifikáció
egymás duálisai.
• Két igazságfüggvény akkor duálisa egymásnak, ha az egyik
igazságfeltételében az igaz szavakat hamis szavakkal
fölcserélve a másik igazságfeltételeit kapjuk. (Szemléltetésként
az előző dián a piros kiemeléseket érdemes megnézni.)
Kvantifikáció (duális,
kvantifikáció De Morgan törvényei)
• az univerzális és az egzisztenciális kvantifikáció egymás
duálisai  a negáció segítségével kifejezhetőek egymással
→ négy kvantifikációs De Morgan törvény:
(T26) x.F(x)  x.F(x)
(van olyan x, amire áll F)  (nem minden x-re áll non-F)
„Van olyan diák, aki jelesre vizsgázik.” 
„Nem minden diákra igaz az, hogy nem jelesre vizsgázik.”
(T27) x.F(x)  x.F(x)
(van olyan x, amelyre nem áll F)  (nem minden x-re áll F)
„Van olyan joghallgató, aki nem lesz jogász.” 
„Nem minden joghallgatóra igaz, hogy jogász lesz.”
Kvantifikáció (duális,
kvantifikáció De Morgan törvényei)
(T28) x. F(x)  x.F(x)
(nincs olyan x, amire nem áll F)  (minden x-re áll F)
„Nincs olyan joghallgató, aki nem érettségizett.” 
„Minden joghallgató érettségizett.”
(T29) x.F(x)  x. F(x)
(nincs olyan x, amelyre áll F)  (minden x-re áll non-F)
„Nincs olyan diák, aki tud repülni.” 
„Minden diákra igaz, hogy nem tud repülni.”
Univerzális és egzisztenciaállítások
• A kvantifikált változókat tartalmazó állítások belső szerkezetét
tovább lehet finomítani:
x.G(x) helyett: x.[F(x)  G(x)]
„Minden x-re igaz, hogy ha F, akkor G.”
x.G(x) : „Minden ember halandó.”
x.[F(x)  G(x)] : „Ha x ember, akkor x halandó.”
x.G(x) helyett: x.[F(x) & G(x)]
„Van olyan x, amelyre igaz F is, és G is.”
x.G(x) : „Van olyan ember, amely fehér.”
x.[F(x) & G(x)] : „Van olyan x, amely ember és fehér.”
Univerzális és egzisztenciaállítások
x.G(x) helyett: x.[F(x)  G(x)]
„Minden x-re igaz, hogy ha F, akkor nem G.”
x.G(x) : „Minden emberre áll, hogy nem tud repülni.”
x.[F(x)  G(x)] : „Ha x ember, akkor x nem tud repülni.”
x. G(x) helyett: x.[F(x) & G(x)]
„Van olyan x, amelyre igaz F, de nem igaz G.”
x. G(x) : „Van olyan ember, amely nem fehér.”
x.[F(x) & G(x)] : „Van olyan x, amely ember és nem fehér.”
Kategorikus állítások
• Két-két univerzális/egzisztenciális állítás;
két-két állítás/tagadás:
1. x.[F(x)  G(x)] : „Minden macska fekete.” (a)
2. x.[F(x)  G(x)] : „Egyetlen macska sem fekete.” (e)
3. x.[F(x) & G(x)] : „Van olyan macska, amely fekete.” (i)
4. x.[F(x) & G(x)] : „Van olyan macska, amely
nem fekete.” (o)
• Jelölések:
– affirmo (állítok)  (a, i)
– nego (tagadok)  (e, o)
– univerzális kvantifikáció  (a, e)
– egzisztenciális kvantifikáció  (i, o)
Kategorikus állítások logikai négyzete
A
E
1.
2.
3.
4.
I
O
Az átlósan szemközti állítások
(a-o, e-i) kontradiktóriusak,
egymás negációi.
Az a-e pár kontrárius: nem
lehet mindkettő igaz, de
lehet mindkettő hamis.
Az i-o pár szubkontrárius:
lehet egyszerre igaz, de nem
lehet egyszerre hamis.
Az a-nak az i, az e-nek az o
alárendeltje: ha az első igaz,
szükségszerűen igaz a
második is.
A De Morgan törvények
újrafogalmazásai
(T26) x.G(x)  x.G(x) átfogalmazása:
(T30) x.[F(x) & G(x)]  x.[F(x)  G(x)]
„Van olyan F, amely G.”  „Nem minden F nem G.”
„Van olyan macska, amely fekete.” 
„Nem minden macska nem fekete.”
(T27) x.G(x)  x.G(x) átfogalmazása:
(T31) x.[F(x) & G(x)]  x.[F(x)  G(x)]
„Van olyan F, amely nem G.”  „Nem minden F az G.”
„Van olyan macska, amely nem fekete.” 
„Nem minden macska fekete.”
A De Morgan törvények
újrafogalmazásai
(T28) x. G(x)  x.G(x) átfogalmazása:
(T32) x.[F(x) & G(x)]  x.[F(x)  G(x)]
„Nincs olyan F, amely nem G.”  „Minden F az G.”
„Nincs olyan macska, amely nem fekete.” 
„Minden macska fekete.”
(T29) x.G(x)  x. G(x) átfogalmazása:
(T33) x.[F(x) & G(x)]  x.[F(x)  G(x)]
„Nincs olyan F, amely G.” „Minden F az nem G.”
„Nincs olyan macska, amelyik fekete.” 
„Minden macska nem fekete.”
A kvantifikáció fontosabb törvényei
A kvantifikáció kontrapozíció-törvénye:
(T34) x.[F(x)  G(x)]  x.[G(x)  F(x)]
„Minden ember halandó.” 
„Ami nem halandó, az nem ember.”
A kontrapozíció-törvény következménye:
(T35) x.[F(x)  G(x)]  x.[G(x)  F(x)]
„Egyetlen ember sem tökéletes.” 
„Ami tökéletes, az nem ember.”
A kvantifikációs láncszabály:
(T36) {x.[F(x)  G(x)], x.[G(x)  H(x)]}  x.[F(x)  H(x)]
Ha „minden kígyó hüllő” és „minden hüllő hidegvérű”,
„minden kígyó hidegvérű”.