Transcript orbes_exoplanetes

2012/05/09
phm – Observatoire Lyon - 2010
Atelier - Orbite keplerienne : vecteur vitesse sous Geogebra - phm
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L’orbite d’une planète ou d’un exoplanète autour de son étoile suit les lois
de Kepler.
Connaissant les caractéristiques du système, on peut simuler son
mouvement ainsi que celui de l’étoile sous Geogebra.
L’observation des vitesses radiales pour la découverte des exoplanètes est
devenue classique.
Comment représenter sur notre simulation, les vitesses radiale ?
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Comment représenter sur notre simulation, les vitesses radiale ?
Deux approches peuvent être utilisées :
- de façon dynamique par le calcul du vecteur vitesse et la dérivation de sa
position.
- de façon géométrique à partir du module et de la tangente à l’ellipse qui
porte le vecteur vitesse.
C’est celle qui sera envisagée ici.
Démarche pour tracer le vecteur :
- calculer l’amplitude
- trouver son orientation
- et le tracer
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On part d’une simulation sous Geogebra
Ouvrir le fichier orbes_exopla0.ggb
Les curseurs permettent de faire varier les principaux paramètres
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Les objets de l’animation
Le curseur tps représente le temps. Il peut être animé.
Les paramètres variables de base sont :
- période de rotation PSYS
- excentricité e
- masse de l’étoile (en masses solaires) ME
- masse de la planète (en masses de la Terre) MP
On en déduit le demi grand axe a du système et des
corps aP et aE exprimés en millions de km.
Les 2èmes foyers F2P et F2E des deux orbites.
M : anomalie excentrique
u, u0, u1 … u4 servent à résoudre l’équation de Kepler
par itérations et donnent v angle entre le rayon
vecteur r et le grand axe.
Le centre de gravité du système est au point origine (0,0).
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1 – Valeur de la vitesse d’une planète sur son orbite
La résolution du système képlérien permet d’expliciter la valeur de la vitesse
d’une planète sur son orbite en fonction de son rayon vecteur.
C
V
1  2e cos  e 2
p
Avec :
C 2  G M p  G M a (1  e 2 )
p  a (1  e 2 )
a demi grand axe, M masse de l’étoile, G constante de la gravitation.
Dans Geogebra , on crée les objets auxiliaires en unités légales (m, kg, s) :
m_S
G
p
C
=
=
=
=
2E+30
masse du Soleil
6.672E-11
Cte de la Gravitation
a*(1-e*e)*1E+06
sqrt(G*m_S*M_E*p)
On calcule la vitesse exprimée en km/s
vit=C/p*sqrt(1+2*e*cos(v)+e*e)/1000
Que l’on affichera.
Référence équations : www.astrosurf.com/nitschelm/mecanique.pdf
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2 – Vecteur vitesse : direction
Il est sur la tangente à l’ellipse au point E :
tgp=Tangente[P, el_P ]
Il nous faut son angle avec l’axe des abscisses :
α=Angle[axeX,tgp]
Le sens de rotation choisi, fait que l’angle du
vecteur vitesse avec l’axe des abscisses vaut :
a +/- 180°
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3 – Vecteur vitesse : composantes
Le vecteur vitesse a pour origine le point P.
Son module vaut à un facteur près vit.
Direction :
a +/- 180°
Composante en x :
vit*cos (α+180°)
Composante en y :
vit*sin (α+180°)
a
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3 – Vecteur vitesse : tracé
Construction du vecteur :
Vvit = Vecteur[P,(x(P)+vit*cos(α+180°),y(P)+vit*sin(α+180°))]
Ou en coordonnées polaires
Vvit=Vecteur[P, Translation[P,(vit;α+180°)]]
A l’échelle de notre graphique, sa longueur est trop grande.
Réécrire la formule de vit en la divisant par 40.
vit = sqrt(1 + 2(1 + e cos(v)) / (a (1 - e²)))/40
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3 – Vecteur vitesse : tracé
On peut cacher :
- la droite tangente tgp
- l’angle a
Donner au curseur tps, une vitesse
d’animation 0.05
Faire varier les paramètres.
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3 – Vitesse radiale
C’est la projection du vecteur
vitesse sur le rayon vecteur.
On crée le point P’, intersection de
EP et de la perpendiculaire à EP
depuis l’extrémité du vecteur vitesse.
P' = Intersection[Droite[(E,P],
Perpendiculaire[(x(P)+vit*cos(α+pi),y(P)+vit*sin(α+pi)),E,P]]]
Vecteur vitesse radiale :
Vr = Vecteur[P, P']
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3 – Vitesse radiale
Faire tracer les valeurs des vitesses en fonction de la période :
P_V = ((tps - floor(tps / P_{SYS}) P_{SYS}) / P_{SYS} 150, vit)
P_{VR} = ((tps-floor(tps/P_{SYS})*P_{SYS})/P_{SYS}*150,
longueur[Vr] *Si[Longueur[P]>Longueur[P'],-1,1])
Dans les propriétés de PV et PVR, on cochera
l’option « Trace ».
On pourra faire passer ces deux tracés dans
la deuxième fenêtre graphique.
Remarque : avec les unités choisies, l’échelle
des ordonnées donne les vitesses en km/s.
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Le choix des unités et des plages de variations des curseurs permet de
simuler de nombreux systèmes : de l’orbite de la Terre où l’on retrouve les
vitesses aux exoplanètes que l’on découvre actuellement.
Remarques : le tracé de la courbe des ellipses sous Geogebra est
approximatif.
Si vous grossissez très fortement le tracé autour du point P, vous aurez la
surprise de constater que le point P n’est pas exactement sur la courbe
ellipse.
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FIN
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