Ing. Ada Paulina Mora González Objetivo: Adquirir una noción fundamental de la importancia del papel que desempeñan los métodos numéricos. También conocerá y aplicara conceptos de lenguajes de programación.

INTRODUCCCION

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

Ya que antes los ingenieros solo contaban con ciertos métodos, por ejemplo usaban métodos analíticos pero solo con estos pueden encontrarse una clase limitada de problemas. Además se usaban soluciones graficas limitadas solo a 3 dimensiones o menos. Y se utilizan calculadoras donde aun así que son adecuadas los cálculos manuales son lentos y tediosos; resultando equivocaciones.

Ing. Ada Paulina Mora González Hoy en día al usar la computadora para obtener soluciones se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a técnicas lentas, aunque las soluciones analíticas son muy valiosas ya que proporcionan una mayor comprensión.

IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS 1. Los métodos numéricos son herramientas poderosas para la solución de problemas, aumentando la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.

2. En el transcurso de la carrera se usaran software disponibles comercialmente. Pero el uso inteligente de estos depende del conocimiento de la teoría básica de cada uno de ellos.

3. Hay problemas que no se pueden plantear con software comerciales, entonces si conoces los métodos y la programación tendrán la capacidad de diseñar sus propios programas.

Ing. Ada Paulina Mora González IMPORTANCIA DE LOS METODOS NUMERICOS (continúa.) 4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Ya que un camino para aprender programación es escribir programas de computadora, y así implementaran los métodos numéricos para resolver problemas difíciles. Y demostrara como la computadora sirven para su desarrollo profesional.

5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Ing. Ada Paulina Mora González ALGORITMOS Las técnicas numéricas se acompañan por material relacionado con su implementación efectiva en computadoras. Se proporcionan algoritmos en métodos.

Un algoritmo es un método para resolver un problema.

Es la secuencia de pasos lógicos necesarios para llevar a cabo una tarea especifica, como la resolución de un problema.

Resolución de un problema

Problema Diseño del algoritmo Programa de computadora

Ing. Ada Paulina Mora González Los pasos para la resolución de un problema son: 1. Diseño del algoritmo que describe la secuencia ordenada de pasos.

2. Expresar el algoritmo con un programa en un lenguaje de programación adecuado.

3. Ejecución y validación del programa por la computadora.

Los algoritmos son independientes tanto del lenguaje de programación en que se expresen como de la computadora que los ejecute. En cada algoritmo se puede expresar diferente pero deberá tener el mismo resultado.

También los algoritmos son particularmente útiles en el caso de problemas sencillos o para especificar las tareas de una larga programación.

Ing. Ada Paulina Mora González Ejemplo 1: Un cliente ejecuta un pedido a una fabrica. La fabrica examina en su banco de datos la ficha del cliente, si el cliente es solvente entonces la empresa acepta el pedido; en caso contrario, rechazara el pedido. Redactar el algoritmo correspondiente.

1- Inicio 2- Leer el pedido.

3- Examinar la ficha del cliente.

4- Si el cliente es solvente, aceptar pedido; en caso contrario, rechazar pedido.

5- Fin.

Ing. Ada Paulina Mora González 1.3 TIPOS DE DATOS Un dato es la expresión general que describe los objetos con los cuales opera una computadora. Los datos se clasifican en: simples (sin estructura) y compuestos (estructurados) DATOS Simples • Numéricos (integer, real), • Lógicos (boolean), • Carácter(char, string).

Compuestos • Estáticos • Array, registro archivo, conjunto, cadena.

• dinámicos • Lista, lista enlazada, árbol, grafo.

Ing. Ada Paulina Mora González SE verán los datos simples: DATOS NUMERICOS. Es el conjunto de valores numéricos.

Se pueden presentar en: • Tipo numérico entero (integer).

• Tipo numérico real (real) Enteros: es un subconjunto finito de los números enteros. (5,6,4,20,1340,etc) Se denominan en ocasiones números de punto o coma fija. Reales: es un subconjunto de los números reales. Siempre tienen un punto decimal y pueden ser negativos o positivos. Consta de una parte entera y una decimal.

Y se pueden representar con notación exponencial. En donde la mantisa (parte decimal) al numero real y el exponente (parte potencial) el de la potencia de 10.

x

18

mantisa 36.75201

exponente 18

Ing. Ada Paulina Mora González DATOS LOGICOS(BOOLEANOS): El tipo lógico, es aquel dato que solo puede tomar uno de dos valores: CIERTO O VERDADERO (true) y FALSO (false).

DATOS TIPO CARÁCTER Y TIPO CADENA El tipo carácter es el conjunto finito y ordenado de caracteres que la computadora reconoce. Un dato tipo carácter contiene un solo carácter.

Ejemplos: • Caracteres alfabéticos ( A,B,C,D,E) (a,b,c,d,e) • Caracteres numéricos (1,2,3,5,6) • Caracteres especiales ( +,-,*,/,;, <,>, $......) Una cadena(string) de caracteres es una sucesión de caracteres que se encuentran delimitados por una comilla o dobles comillas, según el tipo de lenguaje de programación.

La longitud de una cadena de caracteres es el número de ellos comprendidos entre los separadores o limitadores. Ejemplo: ‘Hola Mortimer’ ‘8 de octubre de 1980’

Ing. Ada Paulina Mora González CONSTANTES Y VARIABLES Constantes: es una partida de datos que permanecen sin cambios durante todo el desarrollo de un algoritmo o durante la ejecución de un programa.

Variable: en una partida de datos que puede cambiar durante el desarrollo del algoritmo o ejecución del programa. (enteras, reales, carácter, lógicas y de cadena).

EXPRESIONES ARITMETICAS -

Operadores

-.^, ** + * / div mod +

Operador Matlab

^ *, /

Significado

Exponenciación Suma Resta Multiplic. Y división División entera Modulo resto

Reglas de prioridad: 1. Paréntesis, primero los mas internos.

2. Exponenciación de izquierda a derecha 3. Multiplicación y división, e izquierda a derecha.

4. Suma y resta de izquierda a derecha.

Ejemplos: 3+6*14 = 3+84 = 87 8+7*3+4*6 = 8+ 21 + 24 = 53 -4*7+2^ 3 / 4 – 5 = -28 + 8/4 – 5 = -28 + 2 – 5 = -31 Expresar axb 5.(x+y) = 5* (x+y) a²+b² = a^2+b^2 = a*b Ing. Ada Paulina Mora González

Ing. Ada Paulina Mora González OPERADORES RELACIONALES

Operador

< > = <= >= <>

Matlab

< > == <= >= ~ = OPERADORES LOGICOS

operador

no(not) y (and) o (or)

Símbolos matlab

~ / &

Significado

Menor que Mayor que Igual que Menor o igual que Mayor o igual que No igual

Significado

Negación Conjunción Disyunción

Ing. Ada Paulina Mora González SENTENCIAS DE ASIGNACION, LECTURA Y SALIDA.

La sentencia de asignación es el modo de darle valores a una variable. Se representa con el símbolo de . Puede cambiar el símbolo de acuerdo a cada lenguaje. Pero se vera para redactar un logaritmo en sencillos programas.

A 5 significa que la variable A se le asignado el valor 5.

La acción de asignar es destructiva, ya que el valor que tuviera antes de la asignación se pierde y se reemplaza por el nuevo valor. Ejemplo: A 25 A 134 A 5 Cuando se ejecutan el valor ultimo que toma A será 5.

Ing. Ada Paulina Mora González TIPOS DE EXPRESIONES DE ACCIONES DE ASIGNACION Asignación aritmética

AMN TER

1 

TER

2  0.75*3.4

COCIENTE

 2 AMN tomara el valor de 25 COCIENTE es (14.5+8)/(0.75*3.4) Asignación lógica Supóngase que M,N Y P son variables tipo lógico.

M N P

 8  5  

Mo

7  (7 6  12) Al evaluar las operaciones, las variables tomaran los valores: falso, verdadero, verdadero.

Asignación de cadena La expresión que se evalúa es: x ´12 de octubre de 1980´ Esta asigna a x el valor 12 de octubre de 1980.

Ing. Ada Paulina Mora González En las asignaciones no se pueden asignar valores a una variable de un tipo diferente del suyo. Se presentara un error si se trata de asignar valores de tipo carácter a una variable numérica o un valor numérico a una variable tipo carácter.

ASIGNACION DE LECTURA Y SALIDA.

La operación de entrada permiten leer determinados valores y asignarlos a determinadas variables. Esta entrada se conoce como de lectura (read). La operación de salida se denomina escritura (write).

Ejemplo : LEER (A,B,C) Representa la lectura de 3 valores de entrada a las variables A, B Y C.

ESCRIBIR (´hola ingenieros´) Visualiza en pantalla el mensaje hola ingenieros.

Ing. Ada Paulina Mora González SENTENCIAS DE SELECCIÓN Y REPETICION Instrucción de selección: Permiten que la selección de tareas alternativas en función de los resultados de diferentes expresiones condicionales. Nos permiten hacer una pregunta o probar una condición para determinar que pasos se ejecutaran a continuación.

si no condición Acción F1 FORMA GENERAL DE LA INSTRUCCIÓN IF: If expresión lógica instrucciones end Acción F2

Ing. Ada Paulina Mora González SENTENCIAS DE SELECCIÓN Y REPETICION Instrucción de repetición: Instrucciones que permiten la repetición de secuencias de instrucciones de un numero determinado o indeterminado de veces.

Acciones condición verdadera falsa

Ing. Ada Paulina Mora González ARREGLOS Un arreglo(matriz o vector) es un conjunto finito y ordenado de elementos homogeneos, es decir del mismo tipo de datos. El subindice de un elemntos desinga su posicion en la ordenacion del vector. El numero de elementos de un vector se denomina rango del vector.

Ejemplo: Consideremos un vector x de ocho elementos

X[1]

14.0

X[2]

12.0

X[3]

8.0

X[4]

7.0

X[5]

6.41

X[6]

5.23

X[7]

6.15

X[8]

7.25

Operaciones basicas con vectores.

Acciones Resultados

Escribir (X[1]) Visualiza el valor de X[1] O 14.0

X[4] = 45 SUMA = X[1] + X[3] SUMA= SUMA + X[4] X[5] = X[5] + 3.5

X[6] = X[1] + X[2] Almacena el valor 45 en X[4] Almacena en suma 22.0.

Añade en la variable suma el valor 67.0

Suma 3.5 a 6.41 es X[5] igual a 9.91

Almacena la suma en x[6] el valor 26

Arreglos con Matlab.

Operación

Suma Resta Multiplicacion Division ezponenciacion

Forma alegebraica

a+b a-b a x b a/b a ⁿ

Matlab

a + b a – b a.*b a./b a.^n Ejemplo: A= [2 5 6] B= [2 3 5] Multiplicacion seria: C= A.*B; C= [4 15 30 ] Ing. Ada Paulina Mora González

Tambien Matlab se aplica con matrices con filas y columnas: D= [1:5; - 1: - 1;-5]; P= D-*5 Q= D.^3; D= [ 1 2 3 4 5] [ -1 -2 -3 -4 -5] P= [ 5 10 15 20 25] [-5 -10 -15 -20 -25] Q= [ 1 8 27 64 125] [-1 -8 -27 -64 -125] Ing. Ada Paulina Mora González

Ing. Ada Paulina Mora González

Errores

Entender el concepto de error es importante para usar en forma efectiva los métodos numéricos. Los estudiantes y pasantes de ingeniería luchan para limitar este tipo de errores en su trabajo porque pueden resultar costosos y catastróficos en algunas ocasiones.

Entonces debemos resolver problemas con aproximaciones o estimar los errores.

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano esta el valor calculado con el verdadero. Y la precisión que tan cercano esta un valor individual medico con respecto a otros.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos para que cumplan con los requisitos de un problema de ingeniería.

Ing. Ada Paulina Mora González Antes de ver los tipos de errores, veremos el concepto de cifras significativas que son aquellas que pueden sr usadas en forma confiable.

Por ejemplo, los números 0.00001845 y 0.001845 tienen cuatro cifras significativas.

El concepto de cifras significativas tienen dos implicaciones en el estudio de métodos numéricos.

1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlos es con las cifras significativas.

2. Ciertas cantidades como π, √7, ͤ , representan números específicos, no se pueden expresar con un numero finito de dígitos. Por ejemplo: π = 3.141592653589793238462643……… hasta el infinito. Debido a que las computadoras retienen un numero finito de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud.

Ing. Ada Paulina Mora González Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión.

• EXACTITUD: se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido con el valor verdadero.

• PRECISION: se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a otros.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos para que cumplan los requisitos de un problema particular.

Ing. Ada Paulina Mora González Definiciones de Error Los errores numéricos general con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando los números tienen un limite de cifras significativas que se usan para representar números exactos.

Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dada por: VALOR VERDADERO = APROXIMACION + ERROR E (valor exacto del error) = VALOR VERDADERO – APROXIMACION Para señalar un error relativo porcentual verdadero se expresa como: E ͮ = VALOR VERDADERO - AROXIMACION 100% VALOR VERDADERO

Ing. Ada Paulina Mora González Ejemplo de calculo de errores: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9,999 y 9 cm respectivamente. Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, calcúlese: a) El error b) El error verdadero (relativo porcentual) Solución: a) E = VALOR VERDADERO – APROXIMACION Medición del puente E ͭ = 10,000 – 9,999 = 1 cm Medición del remache Eͭ = 10 – 9 = 1 cm b) E ͮ = valor verdadero - aproximación 100% valor verdadero Error para el puente 1 *100% 10000 = 0.01% 1 10 *100% = 10% Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho mas grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medición del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Ing. Ada Paulina Mora González 2. Calcule los dos tipos de errores en las aproximaciones siguiente donde las primeras cantidades son los valores exactos y los segundas son las aproximaciones.

a) p= π , q = 22/7 b) m = π, n = 3.1416

c) a= ͤ , b= 2.718

a) E= valor verdadero – aproximación E= 3.141592654 – 3.142857143 = 0.00126448925 = 1.26448925x

E ͮ = valor verdadero – aproximación / valor verdadero *100% = 3.141592654

10  – 3.142857143 / 3.141592654 *100% = 0.040249% 3 b) E= 3.141592654 – 3.1416 = 0.0000073464 Ev = 0.0000073464 / 3.141592654 * 100% = 0.000233843% c) E= 2.718281828 – 2.718 = 0.00028182845

Ev= 0.00028182845 / 2.718281828 *100% = 0.010367889%

Ing. Ada Paulina Mora González Ejemplo Supóngase que x= 5/7 y y= 1/3, y que se usa el truncamiento a 5 cifras para los cálculos aritméticos donde intervienen x y y. f1(x) = 0.71428 x10° y f1(y)= 0.33333x10°.

Operación

x+y x-y x*y y/x

Resultado Valor real

0.10476x10¹ 22/21 0.38095x10° 8/21 0.23809x10° 5/21 0.21428x10¹ 15/7

Error absoluto

 5 0.524 10  5  4  4

Error relativo

0.182 10  4  5

x

4  4

Ing. Ada Paulina Mora González En las situaciones reales es a veces dificil contar con tal información. En estos casos, normalizar el error es una alternativa, usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es: Ea =( ERROR APROXIMADO / VALOR APROXIMADO) * 100% Ciertos métodos numéricos usan un esquema iterativo para calcular resultados.

Tales métodos se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces o de forma iterativa para calcular en forma sucesiva mas y mejores aproximaciones.

El error se calcula: ϵa =

aproximacion

actual - aproximacion previa 100%

aproximacion

actual Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos. También el denominador puede ser menor que cero. Cuando se realizan cálculos no importa el signo, mas bien su valor absoluto porcentual sea menor que su tolerancia porcentual prefijada ϵs.

Se puede demostrar que si el siguiente criterio se cumple, puede tenerse la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

Ing. Ada Paulina Mora González ϵs = (0.5 x 10 2 

n

) % Estimación del error por métodos iterativos.

En matemáticas, a menudo se pueden representar las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo la función exponencial se puede calcular usando:

e x x x

2 2!



x

3 3!



x

4 4!

 ......

Mientras mas términos se agreguen a la serie, la aproximación se acercara mas al valor de

e x

. A esta ecuación se le llama expansión en series de Maclaurin.

Ejercicio: Estimar el valor de

e

0.5

, Después de que se agregue cada termino, calcúlese los errores relativos porcentuales real y aproximado. El valor real de

e

0.5

= 1.648721271. Agréguense términos hasta que el valor absoluto del error aproximado ϵa sea menor al criterio preestablecido ϵs, que contempla 3 cifras significativas.

Ing. Ada Paulina Mora González SOLUCION: Se puede emplear la ecuación Es = (0.5 x ) % , para determinar el criterio de error que asegura un resultado correcto en al menos 3 cifras.

ϵs = = 0.05%

)%

Se agregaran términos a la serie hasta que Ea sea menor que 0.05%.

para x= 0.5

e

0.5

= 1 + 0.5 = 1.5 Esto representa el error relativo verdadero porcentual ϵͭ = (1.648721271 – 1.5 / 1.648721271) *100% = 9.02% Determinar una estimación aprox. Del error dada por: Ea = (1.5 - 1 / 1.5) *100% = 33.3% Como ϵa < ϵs no se cumple, los cálculos continúan hasta que se cumpla.

Términos

5 6 1 2 3 4

Resultado

1 1.5

1.625

1.45833333

1.648437500

1.648697917

ϵͭ

39.3

9.02

1.44

0.175

0.0172

0.00142

ϵa

33.3

7.69

1.27

0.158

0.0158

Después de 6 términos se cumple la condición. Al agregan mas cifras significativas se acerca mas al resultado deseado.

Ing. Ada Paulina Mora González Errores de Redondeo Se originan debido a que la computadora puede guardar un numero fijo de cifras significativas durante el calculo. Porque estas usan representación en base dos y no pueden representar numero exactos en base diez.

Regla de redondeo: Se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El ultimo digito que se conserva se aumenta en uno si el primer digito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito es 5 entonces el ultimo digito retenido se incrementa el 1, solo si es impar.

Errores de Truncamiento Son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Para esto se hace uso de la serie de Taylor la cual da una formulación para predecir el valor de una función x+i, en términos de la función y sus derivadas alrededor del punto xi.

Ing. Ada Paulina Mora González Donde ξ es un valor cualquiera de x que se encuentra en xi y xi+1.

Ejemplo: Usar términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la función:   0.1

x

4  0.15

x

3  0.5

x

20  0.25

x

 1.2

Desde xi = 0 con h= 1. Predecir el valor de la función en x i+1 = 1.

F(0) = 1.2 F(xi) = 1.2

F(1) = 0.2 Error de truncamiento = valor verdadero – aproximación = 0.2 – 1.2 = 0.2

F’ (0) =   0.4(0.0) 3 

0.45

x

2  F(xi+1) = 1.2 – 0.25h = 1.2 – 0.25 = 0.95

Et = 0.2-0.95 = -0.75.

Ing. Ada Paulina Mora González n=2, se evalúa la segunda derivada en x=0 F’(0) =   1.2(0.0) 2   

1.0

F(xi+1) = 1.2 – 0.25h – 0.5h² = 1.2 – 0.25 – 0.5 = 0.45

Et= 0.2 – 0.45 = -0.25.

n=3 , se evalúa la tercera derivada en x=0 F’(0) = -2.4(0.0) – 0.9 = -0.9

F(xi+1) = 1.2- 0.25h-0.5h² -0.15h³ = 1.2 – 0.25 – 0.5 - 0.15 = 0.3

Et = 0.2 – 0.3 = -0.1

N=4 F’(0)= -2.4

F(xi+1) = 1.2 – 0.25h – 0.5h² -0.15h³ -0.1h⁴ = 1.2 -0.25-0.5-0.15-0.1 = 0.2

Et= 0.2- 0.2 = 0 En la cuarta derivada produce un aproximación exacta en xi+1 = 1.