Transcript Rezgőmozgás

Rezgőmozgás
A rezgőmozgás
Felfüggesztett rugóra nehezéket
akasztunk és kitérítjük
egyensúlyi helyzetéből.
Satuba fogott vaslemezt
megpendítjük.
Ingaóra ingáján lévő nehezék.
A rezgés fogalma
•Minden olyan változást, amely az időben valamilyen ismétlődést
mutat rezgésnek nevezünk.
•A rezgések fajtái:
1. Csillapítatlan rezgőmozgás:
Időben állandó a maximális kitérés (idealizált eset).
2. Csillapított rezgőmozgás:
A maximális kitérés időben csökken.
• Az ismétlődés lehet szabálytalan, vagy szabályos.
• Csoportosíthatjuk a rezgéseket aszerint is, hogy milyen közegben
játszódik le a rezgés.
( mechanikai, elektromos, mágneses rezgések)
Mechanikai rezgés = rezgőmozgás
• A mechanikai rezgések mindig valamilyen „mozgás”
közben játszódnak le.
• Azokat a mozgásokat, amikor ugyanaz a
mozgásszakasz ugyanúgy ismétlődik periodikus
mozgásnak nevezzük.
• A szabályos rezgések mindig periodikus mozgások:
A rezgőmozgás és jellemzői
Rezgőmozgás:
• Egy pontszerű test két szélső helyzet közötti
periódikus mozgása.
A rezgő test pályája bármilyen lehet (pl. a rugóra akasztott test
pályája egyenes, az inga körpályán mozog)
A rezgőmozgás és jellemzői
Kitérés:
Jele: y
• Rezgőmozgás esetén az elmozdulás.
Amplitúdó: Jele: A (ymax) [A] = m
• Az egyensúlyi helyzet és a szélső helyzet távolsága
(a maximális kitérés nagysága).
Rezgésidő vagy periódusidő:
Jele: T [T] = s
• Egy periódus (rezgés) megtételéhez szükséges idő.
Rezgésszám vagy frekvencia:
n
Jele: f f 
t
• A megtett rezgések számának és az ehhez
szükséges időnek a hányadosa.
 f   z   1  Hz hertz
t  s
n: rezgések száma
t: eltelt idő
A rezgőmozgás és körmozgás kapcsolata
Radián
A radián v. ívmérték a síkszögek egyik mértékegysége, amelyet a rad
szimbólummal jelölnek. Dimenzió nélküli mértékegység, mivel két
hosszúság hányadosa.
A radián kifejezés először 1873. június 5-én jelent meg
nyomtatásban James Thomson által felvetett kérdések vizsgálata során.
Egy radián az a szög, amely alatt a
sugárral megegyező nagyságú ívhossz a
középpontból látszik. Másképp a radián a
sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó
középponti szög.
Egy kör középponti szögének radiánban
mért értéke kiszámolható, ha a hozzá
tartozó ívhosszat elosztjuk a sugárral.
α=360°
Kkör=2rπ
α=K/r=2rπ/r=2π
360° = 2π≈6,28... radiánnak felel meg
Szögfüggvények, trigonometria
• A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények
eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két
oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le.
Függvény
Rövidítés
Szinusz
sin
Koszinusz
cos
A rezgőmozgás és jellemzői
Kitérés-idő függvény (szinuszgörbe!)
A rezgőmozgás és jellemzői
Körfrekvencia:
Jele: 
• A ferkvencia 2π szerese.
[] = [f] = Hz
Vizsgáljunk egyetlen rezgést:
z  1; t  T
z
1
f 

t T
1
f 
T
2 
 
T
(1 rezgés megtételéhez szükséges idő)
(a frekvencia a periódusidő reciproka)
(körfrekvencia és rezgésidő közti
összefüggés)
A rezgőmozgás és jellemzői
• A harmonikus rezgőmozgás rezgésszáma
(frekvenciája) és a körmozgás fordulatszáma is
egyenlő.
f rezgés  f körmozgás
rezgés  körmozgás
Ezekből az adódik, hogy a harmónikus rezgőmozgás kitérése:
x  A  sin   t 
x  A  sin 2    f  t 
 2  
vagy x  A  sin
f
 T

A rezgő test sebessége
• A rezgőmozgást végző test sebességének iránya
periódikusan változik, a szélső helyzetekben a
test sebességének nagysága egy pillanatra nulla.
A rezgőmozgás
változó sebességű
mozgás!
A rezgő test sebessége
• Vizsgáljuk meg, hogyan függ a harmónikus
rezgőmozgást végző test sebessége az időtől.
A rezgő test sebessége
A rezgő test sebessége (az ábrából):
v
cos 
vk
vk
v
 v  vk  cos
Egyenletes körmozgás miatt:
  t

v  vk  cos  t 
A kerületi sebesség és a szögsebesség közötti összefüggés:
vk  r  
Mivel r = A
v  r    cos  t 
A harmonikus rezgőmozgást végző test sebessége:
v  A    cos  t 
A rezgő test sebessége
Sebesség – idő függvény:
Pozitív a sebesség: az 1. és 4. negyedperiódusban
Negatív a sebesség: az 2. és 3. negyedperiódusban
T
3T
ekkor van a test a szélső helyzetben.
Nulla a sebesség: x 
és x 
4
4
T
Maximális a sebesség: t  0 és t 
2
ekkor halad át a test az egyensúlyi
helyzeten.
A rezgő test gyorsulása
• Mivel a rezgőmozgás változó sebességű mozgás,
ezért a rezgő test gyorsulása sem nulla.
acp – a körpályán mozgó test centripetális gyorsulása
a – a rezgő test gyorsulása (az acp x irányú komponense)
A rezgő test gyorsulása
A rezgő test gyorsulása (ábráról):
a
sin  
acp
a  acp  sin 
Egyenletes körmozgás miatt:
Centripetális gyorsulás:
  t
a  r   2  sin  t 
acp  r   2
Mivel r = A
A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása:
a   A    sin  t 
2
A rezgő test gyorsulása
Gyorsulás – idő függvény (egy szinuszgörbe x
tengelyre vonatkozatott tükörképe):
Nulla a gyorsulás: t
Tudjuk:

T
2
és
x  A  sin  t 
t0
Maximális a gyorsulás: t 
T
3T
és t 
4
4
a   A   2  sin  t    2  x
a   2  x
:x
a
  2  állandó
x
A rezgő test sebessége
• A rezgőmozgást végző test sebességének iránya
periódikusan változik, a szélső helyzetekben a
test sebességének nagysága egy pillanatra nulla.
A rezgőmozgás
változó sebességű
mozgás!
A rezgő test gyorsulása
• A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása
arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes irányú.
A rezgőmozgás dinamikai leírása
Dinamika alapegyenlete: Fe  m  a
Tudjuk:
(a testre ható erők eredője)
a   A   2  sin  t 
Fe  m  A   2  sin  t 
A rezgőmozgás dinamikai leírása
• A harmonikus rezgőmozgást végző testre ható erők eredője
egyenesen arányos a kitéréssel, de azzal ellentétes irányú.
(Ha egy egyenes mentén rezgő testre minden helyzetben a
kitéréssel egyenesen arányos, de azzal ellentétes irányú erő
hat, akkor a mozgás harmonikus rezgőmozgás)
Ha a rugón rezgő test pályája egyenes, akkor a test
harmonikus rezgőmozgást végez.
A rezgőmozgás dinamikai leírása
Rezgésidő meghatározása:
m
T  2 
D
2

T
 2 
D  m 
T 
2
T  D  m  2 
2
2
A rezgő test rezgésidejét a rugó rugóállandója és a test
tömege határozza meg!
Az inga
• Olyan test, amely tömegközéppontja fölötti
pontjánál fogva van felfüggesztve.
Az inga
Matematikai inga:
Egy nyújthatatlan és elhanyagolhatóan kis tömegű
fonalra felfüggesztett pontszerű test.
l: az inga hossza
m: a test tömege
x: egyensúlyi helyzetből mért kitérés
Az inga
• Ha egy ingát az egyensúlyi helyzetéből kitérítünk,
majd kezdősebesség nélkül elengedjük, akkor a
test egy függőleges síkban fekvő körpályán
periodikus mozgást végez.
A testre ható erők:
1. Nehézségi erő: m·g
2. Kötélerő: Fk
Az inga
• Bontsuk fel a nehézségi erőt két, egymásra
merőleges komponensre: F1, F2
Mivel a test sebessége érintő irányú, így a sebességre
merőleges Fk és F2 erő nem befolyásolja annak nagyságát.
A gyorsulást a nehézségi erő érintőirányú komponense
(F1) határozza meg.
F1  m  a
Az inga
F1
h

m g l
m g
F1 
h
l
Nagyon kis kitéréseknél x ~ h
F 
2 db hasonló derékszögű
háromszög
m g
x
l
Az inga
• Matematikai inga kis kitéréseinél a testre ható erő és
a kitérés egyenesen arányos egymással, de irányuk
ellentétes, így a mozgás harmonikus rezgőmozgás.
Lengésidő:
Az az idő, amely alatt az inga egyik szélső helyzetből
ugyanoda visszatér.
l
T  2 
g
A matematikai inga lengésideje kis kitéréseknél az inga
hosszától és a nehézségi gyorsulástól függ.
Szabad rezgés
• Csillapított rezgés: magára hagyott rezgő rendszer
amplitudója csökken, végül leáll. Külső csillapító erők
hatására.
• Csillapítatlan rezgéshez a fellépő fékező hatásokat
másik hatásokkal ki kell egyenlíteni.
• Saját rezgésszám: magára hagyott rezgő rendszer
mindig azonos frekvenciával rezeg. (f0 ) a rezgő
rendszer tulajdonságaitól függ. (l, g, m, D)
• Csatolt rezgés: ha a rezgő rendszert állandó külső
(periódikusan ismétlődő) gerjesztő hatás éri. A két
rezgő rendszer kölcsönösen befolyásolja egymás
rezgését. Az amplitúdó és az energia folyamatosan
„kicserélődik”.
Kényszerrezgés, rezonancia
• Kényszerrezgés: ha a rendszer egy külső gerjesztő
hatásnak megfelelően kénytelen rezegni.
• Jellemzői:
o
o
o
a test a gerjesztő rendszer frekvenciáján rezeg. fk
A rezgő rendszer és gerjesztő rendszer amplitúdója eltér egymástól
A rezgések között fáziskésés tapasztalható
• Változtatva a gerjesztő rendszer frekvenciáját, megkapjuk
az amplitúdó-kényszerfrekvencia görbét.
• Rezonancia: fk=f0
• Az amplitúdó akkor maximális, ha a gerjesztő rendszer fk
frekvenciája megegyezik a rendszer f0
sajátfrekvenciájával.
Rezonanciakatasztrófa
• Rezonanciakatasztrófa: ha a csillapító hatások olyan kicsik,
hogy nem tudják a rezgést fékezni, akkor a rezgés amplitúdója
akkora lesz, hogy a rendszer szétesik.
• Az eredeti Tacoma-híd ismert volt lengéseiről, himbálódzásáról.
"Gallopping Gertie" A hidat 1940 július 1-én adták át. A híd
Tacomát és Gig Harbort kapcsolta össze. A hídavatás után 4
hónappal, 1940 november 7-én 42 mérföld/óra sebességű
szélvihar támadt a híd környezetében. A szél által keltett
lengéshullámok egyik oldaltól a másikig oda-vissza haladtak egyre
erősebbé válva, s a híd leszakadásához vezettek. A Tacoma-híd
esetében a széllökések frekvenciája a híd sajátrezgési
frekvenciája közelébe esett és néhány órai külső gerjesztés
ideje alatt hozta olyan mértékű lengésbe a hidat a szél, hogy az
leszakadt.
Schumann-rezonancia
A Föld felszíne és a légkör felső rétege(ionoszféra 85-1000 km között,
különböző sűrűségű) közötti elektromágneses sajátfrekvenciákat
nevezzük
Schumann-rezonanciáknak. Ezeknek a frekvenciáknak a gerjesztő
forrása a légkör zivatar-tevékenysége. A legalacsonyabb Schumann
rezonanciát a Föld természetes frekvenciájának is nevezik. 7,8Hz ezt
az az idő határozza meg, ami alatt az elektromágneses sugárzás a gömb
(Winfried Otto Schumann,
alakú kéreg belső felületén egy teljes fordulatot tesz meg.
München, 1952)
A fény sebessége 299 792,458 km/s, a
Föld egyenlítői kerülete 40 075,02 km,
így a természetes frekvencia: 299
792,458 / 40 075,02 =7,48 Hz.
1980 óta viszont ez az érték a rengeteg elektroszmog hatásaként lassan emelkedik és jelenleg
már több, mint 12 Hz. Ez kevesebb, mint 16 órának felel meg naponta a korábbi 24 helyett, és
tovább csökken... Ezért tűnik úgy, hogy gyorsabban telik az idő. A kevesebb óraszám
következtében allergia, fejfájás sújt bennünket, mert a rezgések nagyobb száma miatt a
szervezetünk túl érzékennyé válik.
Agyi hullámok
Az emberi agy elektromos áramainak
EEG-vel történő mérései
megállapították, hogy agyunk 1-20 Hz
közötti elektromágneses hullámokat
termel. Az orvostudomány ezt a
spektrumot négy főbb tartományra
osztja,
amelyek különböző tudatállapotokhoz
kapcsolódnak:
1. A béta-hullámok (13-20 Hz) a normális ébrenléti állapotra
jellemzőek.
2. Az alfa-hullámok (8-12 Hz) a nyugalmas ébrenléti állapotokban
lépnek fel (pl. meditáció során, röviddel az elalvás előtt, illetve
közvetlenül az ébredés után).
3. A théta-hullámok (4-7 Hz) azokra az alvási fázisokra jellemzőek,
amikor álmodunk.
4. A delta-hullámok (1-3 Hz) az álom nélküli mélyalvásban és a
komatózus állapotokban dominálnak.