Transcript Преобразование выражения Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)

Преобразование выражения
Asinx + Bcosx к виду Csin(x+t)
Работа ученицы 10А класса Бражкиной
Виктории
На практике, при изучении колебаний,
довольно часто встречаются выражения вида
Asinx + Bcosx.
Рассмотрим для примера выражение
√3sinx + cosx
Если переписать это выражение в виде
2(√3/2sinx + ½cosx) и вспомнить,
что √3/2 = cos∏/6, а sin1/2 = ∏/6,
то можно представить выражение иным образом:
2(√3/2sinx + ½ cosx) = 2(cos ∏/6 sinx + sin ∏/6 cosx) =
2sin(x+t).
Стоит заметить, что C = 2; t = ∏/6 .
В самом деле Аⁿ+Вⁿ=Сⁿ, при n=2
Рассмотрим выражение Asinx + Bcosx;
Пусть для определенности А и В – положительные числа
(А/С)ⁿ + (В/С)ⁿ = 1, при n=2,
То есть точка с координатами (А/С) и (В/С) лежит на
Числовой (единичной) окружности.
Но тогда (А/С) есть косинус, а (В/С) - синус некоторого
Аргумента t, т. е. (А/С) = cost, (В/С) = sint
Учитывая всё это, поработаем с выражением:
Asinx + Bcosx;
Asinx + Bcosx = C((А/С)sinx + (В/С)cosx) =
= C(costsinx + sintcosx) = Сsin(x+t)
Итак, получаем выражение:
Asinx + Bcosx = Сsin(x+t)
Аналогично можно выражение Asinx + Bcosx, А>0, В>0,
Преобразовать к виду Сsin(x+t).
Обычно аргумент t называют вспомогательным или
Дополнительным аргументом.
Вот 1 из примеров его нахождения:
Пример 1.
Преобразовать выражение 5sinx - 12cosx.
Решение: А = 5; В = -12,
По теореме Пифагора С = 13.
Итак: 5sinx - 12cosx = 13(5/13sinx – 12/13cosx).
Введём вспомогательный аргумент t,
Удовлетворяющий соотношениям:
cost = 5/13, sint = 12/13, например t = arcsin12/13.
Тогда 5/13sinx – 12/13cosx = sinxcost – cosxsint = sin(x-t).
Итак, 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), где t = arcsin12/13.
Пример 2.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y = 5sinx - 12cosx.
Решение: опираясь на пример 1 имеем данные:
y = 5sinx - 12cosx = 13sin(x-t), отсюда узнаём что
у € [-13 ; 13]
(поскольку синус принимает значения от -1 до 1)
Также следует обратить внимание на то,
Что с равным успехом можно считать,
Что (А/С) = sint, и (В/С) = cost.
Тогда:
Asinx + Bcosx = С((А/С)sinx + (В/С)cosx) =
= С(sinxsint + cosxcost) = Ccos(x-t).
Итак, Аsinx + Вcosx = Ccos(x-t)