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電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
RC微分回路
RC微分回路
C
e(t)
R
vR
この方形パルスを分解して、t = 0 に生起する大きさ
E0 のステップ関数と t = a に生起する大きさ −E0 の
ステップ関数を重ねたものとすれば、
(a)
E0
0
t
a
と表される。
E0 q(0)
i1 (t )
e , t 0, RC
R
t
t
0
– E0
e(t ) E0u1 (t ) E0u1 (t a)
E0u1 (t ) を印加したとき R に流れる電流 i1(t) は、
E0
0
図(a)に示すRC直列回路を電圧源 e(t) で励振し、
応答として抵抗 R の両端の電圧 vR をとるものとす
る。また励振 e(t) は図(b)に示すような方形パルス
であり、時刻 t = 0 に生起し、t = a で消滅する大き
さ E0 の電圧であるものとする。
a
t
(b)
である。 −∞ < t < 0 の範囲で印加電圧 e(t) = 0 で
あれば、C に蓄えられている電荷は 0、即ち q(0) =
0 であるとしてよい。
RC微分回路
RC微分回路
一方、 E0u1 (t a) を印加したときの電流 i2(t) は、時間を t → t − a に置き換えて、
かつ E0 に負号を付けて、
E
i2 (t ) 0 e
R
t a
, t 0
と表される。
よって、R の両端の電圧 vR(t) = Ri(t) は、
t
Ri1 (t ) E0 e , 0 t a
a
t
vR (t )
Ri1 (t ) i2 (t ) E0 1 e e a t
これを図示すると以下のようになる。
で与えられる。
RC微分回路
図において、正の部分の面積と負の部分の面積が等しく、
a
a
t
0 E0e dt a E0 1 e e dt E0 1 e
従って、vR(t) の平均値すなわち直流分は 0 である。つまり、C は直流分を遮断する。
a
t
電圧 vR(t) の波形は、時定数 τ = RC と印加パルスの時間幅 a との関係により、異なる
ものとなる。つまり、τ >> a ならば、入力形波にほぼ等しい波形となるが、逆に τ << a
ならば、入力波形を微分したような波形となる。従って、後者の場合を RC微分回路と
呼んでいる。
1
RC直列回路の式 Ri (t ) i (t )dt e(t ) の両辺を t について微分し、両辺に C を
C
乗じて、RC = τ が考えている時間スケール t に対して非常に小さいとすれば、
de (t )
de (t )
i (t ) C
と近似できるから、 vR (t ) Ri (t ) RC
dt
dt
即ち、入力電圧波形 e(t) の微分にほぼ比例した出力電圧波形 vR(t) が得られる。
微分回路は一般に、方形波から鋭いパルスを作るのに使われるので、ピーキング回
路(peaking circuit)とも呼ばれる。
RC積分回路
RC積分回路
RC直列回路において、方形波の入力電圧 e(t) に
対して、出力として C の両端の電圧 vC(t) をとるこ
とにする。このとき、0 < t < a に対しては、
R
e(t)
C
vC
E0 q(0)
i1 (t )
e , RC
R
t
で q(0) = 0 としたものより、
vC1
1
C
E0
また一方 a < t に対しては、 i2 (t ) e
R
を vC1 に重ねることにより、
t
E0 1 e , 0 t a
vC (t )
a
t
E 1 e e a t
0
t
i (t )dt
0
t a
1
として、
より得られる vC2
と求められる。
1 t
i2 (t )dt
a
C
RC積分回路
RC積分回路
vC(t) を図示すると以下のようになる。 vC(t) が直流成分を含むことは明らかである。
vC(t) は、τ << a のときは図(c)のように入力波形 e(t) と殆ど同じ波形となり、逆に τ
>> a のときは図(a)のような波形となる。後者のような場合を RC積分回路と呼ぶ。
1
Ri
(
t
)
i (t )dt e(t ) の両辺を各々 R で割ってから積分し、
RC直列回路の式
C
1
q(t ) 1
1
RC が非常に大きいとすれば、 i (t ) dt e(t )dt vC (t )
i (t )dt
e(t )dt
R
C
C
CR
即ち、入力電圧波形 e(t) の積分にほぼ比例した出力電圧波形 vC(t) が得られる。
積分回路は検波や整流などに使われる。
(a)
(b)
(c)
伝達関数の周波数特性
伝達関数の周波数特性
RC微分および積分回路の励振 e(t) と応答 vR(t) あるいは vC(t) の間の関係は、
それらのラプラス変換 E(s), VR(s) あるいは VC(s) の間の関係で表現すれば、初
期条件 q(0) = 0 として、
1
V ( s)
V ( s)
R
H R ( s) R
,
H C ( s) C
sC
E ( s) R 1
E ( s) R 1
sC
sC
これら伝達関数において、s → jω として振幅特性を調べてみると、
H R ( j )
R
1
R
jC
1
1
1
jCR
1
1
1
j
1
1
1
1
1
1
1
jC
H C ( j )
2
1
1 jCR 1 j
1
R
jC
2
となる。
高域通過回路と低域通過回路
これらの特性を ω に対して描くと、下図のようになる。
図(a)では、ω = 0 で |HR| = 0、 ω = 1/τ で |HR| = 1/√2、 ω = ∞ で |HR| = 1 となっている。
従って、0 < ω < 1/τ の周波数領域は減衰域(stop band)、 1/τ < ω < ∞ の周波数領域
は通過域(pass band)と呼ぶ。このように、低い周波数域が減衰域、高い周波数域が
通過域となる回路を、高域通過形回路と呼ぶ。一方図(b)では逆に、 ω = 0 で |HC| = 1、
ω = ∞ で |HC| = 0 となっているから、低域通過形回路である。
高域通過回路と低域通過回路
このような周波数特性をもつ回路に、広いスペクトル成分をもつ電気信号、例えば
方形波パルスのような信号波形を入力すれば、出力信号のスペクトルは入力信号
とは異なったものとなる。例えば高域通過形回路では、ゆっくり変化する振動成分
は除去され、出力波形は鋭い形となり、また逆に低域通過形回路では、速い変化
をする振動成分が除去されて、出力波形は鈍い形となる。
H R ( s)
VR ( s)
R
において、時定数 τ = RC が 1(秒) よりも非常に小さければ、
E ( s) R 1
sC
VR (s) sE(s) となり、入力 E(s) に s を乗じた形となる。
vR (t ) RC
de (t )
de (t ) と比較すると分かるように、時間領域では(初期条件を
無視しての)時間微分に他ならない。
dt
dt
積分回路については、 H C ( s )
1
sC
VC ( s )
E ( s) R 1
sC
の τ = RC が 1(秒) よりも非常に
大きいとして、
VC (s) E(s) / s となって、入力 E(s) を s で割る形となり、時間領域での積分に
他ならない。
RL微分回路と積分回路
RL微分回路
電圧 e(t) が、時間幅 a, 高さ E0 の方形パルスで
あるときの、RL直列回路の応答を考える。電圧は、
vR
R
e(t)
e(t ) E0u1 (t ) E0u1 (t a)
L
vL
と表されるから、
ラプラス変換は、表5.2(2)に変位定理を適用して、
E
£e(t ) 0 1 e as である。
s
(a)
このような入力に対して、出力としてコイル L の両端の電圧 vL(t) をとることにする。
回路方程式 e(t ) Ri (t ) L
di (t )
をラプラス変換すると、
dt
E0
1 e as RI ( s) LsI ( s) i (0)
s
初期条件 i(0) = 0 と置いて、
E0 1 e as
E0 1 e as
E0 1 e as
I ( s)
R
sR sL
1
sL s sL s
L
ただし、
L
R
RL微分回路と積分回路
従って、ラプラス逆変換を求めると、
as
1
1 E0 1 e
1 E0
£
i (t ) £ I ( s ) £
sL s 1
L
as
1
E
1 e
1
0 £1
1 e as
L
1
s s 1
s s
E0 1 1 1 1 1 1 as 1 1 as
£
£ e £
e
£
1
1
L s
s
s
s
E
0
R
t
t a
u
(
t
)
e
u
(
t
)
u
(
t
a
)
e
u
(
t
a
)
1
1
1
1
E
0
R
t
1 e
t a
u1 (t ) 1 e u1 (t a )
となる。
RL微分回路と積分回路
従って、コイル L の両端の電圧 vL(t) は、
t
t a
di(t ) L 1
1
vL (t ) L
E0 e u1 (t ) e
u1 (t a)
dt
R
t a
t
E0 e u1 (t ) e u1 (t a) となり、これを図示すると以下の波形となる。
この波形は、前回出てきたRC微分回路の vR(t) と同じ形を
しているため、τ << a の場合、微分回路になる。
この回路の伝達関数 HL(s) は、
VL ( s) sLI ( s) E0 1 e as
H L ( s)
E ( s)
E (s)
1
s
s
E0
1 e as
1
s
s
従って、s → jω と置いて、
j
VL ( j )
j
H L ( j )
e 2 , tan1
2
E ( j ) j 1
1
2
RL微分回路と積分回路
従って、高域通過形回路であることが分かり、振幅特性 |VL/E| および位相角 (π/2 ‒ θ)
の特性の概略を下図に示す。
RL積分回路
一方、出力として抵抗 R の両端の電圧 vR(t) をとると、
t
vR (t ) Ri(t ) E0 1 e
t a
u1 (t ) 1 e u1 (t a )
となり、これを図示すると右のような波形となる。
上式は、RC積分回路の vC(t) と一致するから、 τ >> a の場合、積分回路になる。
RL微分回路と積分回路
伝達関数 HR(s) は、
VR ( s) RI ( s)
E0 1 e as
H R ( s)
R
E ( s)
E ( s)
1
sL s
従って、s → jω と置いて、
H R ( j )
VL ( j ) 1 1
E ( j ) j 1
1
1
2
e j ,
2
( tan1 )
となる。振幅特性 |VR/E| および
位相特性 θ を右図に示す。低
域通過形回路であることが分か
る。
R 1
1 1
E0
1 e as
s
L s1 s1
二次系の伝達関数
二次系の伝達関数
RLC直列回路などでは、その伝達関数 H(s) が、
02
H ( s) 2
s 20 s 02
のような形をとることがある。即ち、伝達関数の分母が s に関する2次の多項式となり、
ζ, ω0 は共に実定数である。そのような系を総称して二次系と呼んでいる。ω0 は共振
角周波数(natural frequency)、 ζ は減衰率(damping factor)と呼ばれている。また、
分子の係数 ω02 は、H(0) = 1 となるよう規格化したものである。
二次系を単位ステップで励振したときの応答 v0(t) (ステップ応答)は、全ての初期条件
を 0 と仮定して、t > 0 について、
2
2
1, v0 (t ) 1 e
sinh 10t
cosh 10t
2
1
1, v0 (t ) 1 e 0t 1 0t
0t
1, v0 (t ) 1 e
と得られる。
0t
2
2
sin 10t
cos 10t
2
1
二次系の伝達関数
v0(t) の時間変化
‒40dB/dec
|H(jω)| の振幅特性