Transcript L`Ingénierie didactique des mathématiques

L’Ingénierie
didactique
des mathématiques
L’Ingénierie didactique
des mathématiques
Rationnels et des décimaux dans la
scolarité obligatoire
Nadine et Guy Brousseau
DAEST
Janvier-février 2006
Université Victor Segalen Bordeaux 2
Programme du cycle
 Une introduction à l’ingénierie didactique
 L’ingénierie du schéma général du curriculum et
des processus
 L’ingénierie des situations a-didactiques, en
particulier les situations fondamentales
 L’ingénierie des situations didactiques en
particulier «intermédiaires»
 L’ingénierie de la conduite des situations
d’enseignement
I. Une introduction à
l’ingénierie didactique
Essai de « définition »
 « L’ingénierie didactique est l’étude d’un
projet d’enseignement sous ses aspects
didactiques, techniques, économiques,
financiers et sociaux…
 et qui nécessite un travail de synthèse
coordonnant des travaux de diverses
équipes de spécialistes ».
 The concept of didactic engineering entered the
didactics of mathematics in the early 1980s.
The aim was to use this term to label a form of
didactic work: we may compare the work of an
engineer who, in order to carry out a particular
project, draws support from scientific
knowledge in the domain, accepts scientific
verification, but at the same time, has to work
on objects which are far more complex than the
simplified objects of the science. Engineers
must therefore treat in a practical way, with ail
the means at their disposal, problems which
science does not wish to or is not able to tackle
 Michèle Artigue 1992
L’ingénierie didactique
consiste au sens strict …
 en la conception et en la réalisation de tout
ou partie de curriculums : une suite de leçons,
une leçon, un assortiment d’exercices, un
manuel, un programme informatique etc.
 cette conception est accompagnée de l’étude
des diverses possibilités entre lesquelles il est
fait un choix, et de l’explicitation des raisons
de ces choix (techniques, scientifiques, et
autres).
Et en un sens plus large…
 Mais en un sens plus large, on peut y admettre
la simple production d’un curriculum – sans
ses justifications précises –
 et, par conséquent aussi sa conduite,
… dans la mesure ou tout curriculum laisse
nécessairement un certain champ de décisions
didactiques à l’enseignant qui l’utilise
 Les techniques spécifiques à ce genre de
travaux sont adaptées de nombreuses
disciplines dont la psychologie, l’épistémologie,
la sociologie, la pédagogie etc. sous le contrôle
de la didactique des mathématiques
 Dans le cas des mathématiques les plus
importants moyens sont de nature
mathématique
 On peut y intégrer les recherches
technologiques : des problèmes techniques,
identifiés précisément, font l’objet d’études
théoriques ou expérimentales, directement liées
aux conditions de projets d’enseignement
déterminés.
 Certaines de ces recherches ont conduit à
résoudre des questions scientifiques plus
générales, par exemple l’analyse implicative
des données statistiques
 On peut distinguer

l’ingénierie de production et de
développement qui vise uniquement à
réaliser un enseignement … et

L’ingénierie phénoménotechnique qui a pour
objet de permettre l’étude empirique de
phénomènes didactiques, dans des
circonstances compatibles avec l’éthique de
l’enseignement
Exemple : les rationnels et les décimaux tels qu’ils ont été
enseignés pendant près de 20 ans à l’école Michelet de
Talence n’étaient pas destinés au développement
L’ingénierie didactique est :
 l’indispensable instrument de confrontation de
la science didactique avec la contingence
 L’instrument et l’objet des observations
 le moyen de mise en œuvre et de diffusion de
ses résultats vers les enseignants et le public
Par là elle est le cœur de la didactique
II. L’ingénierie du
schéma général du
curriculum et des
processus
Continuité et ruptures
 …de la didactique actuelle avec la
didactique classique






0. Coménius et la méthodologie classique
1. Interrogation première de la discipline
2. Réexamen de tout apport « extérieur »
3. La méthode : modélisation
4. Exigences scientifiques
5. Acceptation d’un saut de complexité et
de moyens
Principes et méthodes de la
théorie des situations didactiques
 Définition des connaissances par les
situations, (« les cognitrons »)
 Méthodes inductives et constructives
 Universalité des principes ;
 le COREM, « didactotron »
Les étapes de l’ingénierie
didactique:
 Les niveaux






Étude mathématique,
situations fondamentales,
canevas du processus,
l’institutionnalisation
situations intermédiaires,
et la familiarisation.
 Les réajustements des niveaux
Les techniques
d’ordonnancement
 Principes :
 Décomposer, regrouper, économiser
ordonner
 Le labyrinthe des connaissances,
 et des savoirs
 de leurs formes
 et de leurs dépendances logiques
 et temporelles
Les formes de connaissances
Connaissances implicites
La connaissance implicite d’un milieu.
 La connaissance implicite d’une situation
caractéristique d’une connaissance
 La connaissance, même implicite mais
régulière, d’une solution dans une situation
donnée : modèle implicite d’action, théorème
en acte, schème.


Exemple : la connaissance des trajets dans une
grande ville.
Connaissances explicites
 reconnaissance explicite d’une situation-
solution. possibilité de formuler et de décrire
tous les éléments de la connaissance de type 3
ci-dessus. algorithmes
 La connaissance « raisonnée » d’une
connaissance solution appuyée sur un
répertoire de justifications,
 Le savoir « scolaire officiel » répertoire de
référence
Les dépendances ente
éléments
 Entre connaissances
 Entre connaissances et situations
 Entre situations
 L’analyse et la combinaison de ces
dépendances, a priori et a posteriori est
l’instrument de l’ingénierie et de
l’observation scientifique de la didactique
Une partie de
la matrice des
dépendances
statistiques
entre les
résultats des
leçons d’un
curriculum
pour le C.P.
Exemple :
III. l’expérience sur les
rationnels et les
décimaux
65 leçons :
6 a-didactiques fondamentales,
59, mixtes intermédiaires
Le canevas d’ensemble
 Fractions et rationnels
 Trois fonctions de ces nombres



Mesures
Fonctions
Rapport
 Grandes parties:

Construction mathématique, utilisations,
institutionnalisation, algèbre
a. Commensuration
 L’épaisseur des feuilles de papier,
situation fondamentale des mesures
 Ces choses sont-elles des nombres?
 Comparaisons, Opérations
 différentes grandeurs
 Unités secondaires
b. Rationnels décimaux
 Rationnels et décimaux
 Localiser des nombres, 2ième situation
fondamentale
 La dialectique des rationnels et des
décimaux
 L’écriture
 et la division (rationnels non décimaux)
c. Applications linéaires
 3ième Situation fondamentale:
l’agrandissement du puzzle
 La multiplication et la dénomination des
fonctions
 L’identification avec les décimaux
d. applications
 formes et fonctions des R&D dans leurs
applications :
 pourcentages,
 échelles,
 taux…
e. Les rationnels unifiés
 La composition des applications
 rationnels mathématiques
f. L’algébrisation des rationnels
 Structure et propriétés
 Proportions et équations
IV. Quelques
observations
 Les procédés didactiques classiques
multiplient les situations d’apprentissage
et remplissent tout le temps disponible
avec n’importe quel programme de
connaissances, aussi petit soit-il
 L’ingénierie didactique a pour objet de
limiter cette prolifération sans diminuer
les résultats…
donc
 Les curriculums doivent être comparées
d’après le temps qu’ils nécessitent, à
taux de réussite constant.
 Très peu d’apprentissages « naturels »
suivent des voies conformes aux
méthodes « basiques » traditionnelle.
 C’est un argument insuffisant pour les
rejeter tant qu’on n’en connaît pas de
meilleures
 En fait la construction d’un curriculum
ressemble plus à la composition d’une
fugue ou d’une sonate qu’à celle d’un
logiciel d’ordinateur
 Les mêmes principes d’ingénierie
peuvent aboutir à des curriculums de
structures très différentes suivant le sujet
mathématiques:
 Les conceptions de « R&D » (très
axiomatique) et de l’enseignement des
statistiques et des probabilités (très
épistémologique) sont contemporaines :
1973-74
V. Exemple d’une
situation a-didactique
L’agrandissement du Puzzle
Une situation
mathématique
Proportionnalité ou
agrandissement linéaire?
(élèves de 9 à 11 ans)
Situation mathématique
Connaissance Mathématique
milieu
S. apprenti
Activité Mathématique
milieu
S. actant
L’apprentissage est une réorganisation, consciente ou
non, des moyens d’action du sujet
L’agrandissement du puzzle
L’enseignant :
« Vous devez découper un puzzle pour l’école
maternelle. Il doit être semblable à celui-là mais
plus grand
Le côté de cette pièce du modèle mesure 4
centimètres
Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction”
Chaque groupe n’agrandit qu’une seule pièce ».
Vous les assemblerez après
6
5
2
6
A
7
7
9
7
5
2
4
Figure 1
2
5
Première idée
•
•
•
2 
4 
6 
2+3
4+3
6+3
• Et ce qui en résulte…
= 5
= 7
= 9
A
B
C
F
Résultat
E
D
Figure 2
Autres idées
• 4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21
(la proportionnalité, comme unique modèle
familier, mais empirique, sans justification)
• 4 -->
• 6 -->
• 2 -->
Comme
2x4
2x6
2x2
aussi
–1=7
– 1 = 11
–1=3
Qui parait satisfaisant
des découpages « à l’œil »
a
b
Figure 3a
c
A
a
Figure 3b
b
B
Figure 3c
c
Figure 3d
C
a
b
Figure 3e
c
A
C
B
Figure 3f
Pourquoi ?
•
•
•
+
2 
4 
6 
• 2+4= 6
2+3 = 5
4+3 = 7
6+3 = 9
+
mais
5 + 7  9 !!
Figure 4
Modèle
La somme des images
doit être l’image
de la somme !
Image
• Le calcul final
•4  7
• 1  7/4
• 7/4 = 7x25/100 = 175/100
= 1.75
VI. Conception et
analyse d’une
situation didactique
Topologie des fractions décimales
(Séance 23)
Eh bien non !
C’est fini !
Pour aujourd’hui en tout cas
… Merci de votre attention