Transcript Экстраполяция

Методика определения
параметров уравнения
тренда
Нахождение параметров линейного
тренда Y=a+bt

Для линейного
тренда
нормальные
уравнения МНК
имеют вид
n – число уровней ряда
t –номер периода или момента
времени
y –уровень
t   y ряда
na  bисходного

a  t  b t   yt
2
Если  t  0
тогда система
будет иметь упрощенный
вид
na   y

b  t   yt
2
Откуда
y
a
n
 yt
b
t
2
Нахождение параметров для параболы 2го порядка Y=a+bt+ct2

Нормальное уравнение
параболы 2-го порядка
имеет вид
na  b  t  c  t   y

a  t  b  t  c  t   yt
a  t  b  t  c  t   yt


2
2
3
3
4
na  c  t   y

b t   yt
a  t  c  t   yt

2
2
2
После переноса t в
середину ряда имеем:
2
2
4
2
Нахождение параметров для експоненты
Y=abt

Нормальное уравнение
для экспоненты

После переноса t в
середину ряда имеем
n ln a   ln y

ln k  t   ln yt
2
n ln a  ln k  t   ln y

ln a  t  ln k  t   ln yt
2
откуда
ln y
ln a 
n
 ln yt
ln k 
t
2
Рассмотрим расчет параметров уравнений тренда для индексов
физического объема продукции республики Беларусь в 2001-2009
годах
Года
y
t
yt
t2
yt2
t4
lny
lnyt
линейны
й
парабола 2
порядк
а
експо
не
нт
а
2001
104,1
-4
-416,4
16
1665,6
256
4,64535
-18,58141
107,0
102,5
107,0
2002
104,7
-3
-314,1
9
942,3
81
4,65110
-13,95330
107,0
105,9
107,0
2003
106,8
-2
-213,6
4
427,2
16
4,67096
-9,34192
107,1
108,4
107,1
2004
111,0
-1
-111,0
1
111,0
1
4,70953
-4,70953
107,1
109,9
107,1
2005
109,4
0
0,0
0
0,0
0
4,69501
0,00000
107,2
110,4
107,2
2006
110,0
1
110,0
1
110,0
1
4,70048
4,70048
107,3
110,0
107,2
2007
108,6
2
217,2
4
434,4
16
4,68767
9,37534
107,3
108,6
107,3
2008
110,2
3
330,6
9
991,8
81
4,70230
14,10689
107,4
106,3
107,3
2009
100,2
4
400,8
16
1603,2
256
4,60717
18,42867
107,4
103,0
107,3
965,0
0
3,5
60
6285,5
708
42,06957
0,02524
964,8
964,8
964,5
Всего
Индексы физического объема продукции республики
Беларусь в 2001-2009 годах
112,0
112,0
Y=107,2+0,058t
R2 = 0,002
110,0
t
y = 107,1679*1,000421
2
110,0
R = 0,0012
108,0
108,0
106,0
106,0
104,0
104,0
102,0
102,0
100,0
100,0
98,0
98,0
96,0
96,0
94,0
94,0
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2001
2009
Y=110,4+0,058t-0,480t2
112,0
R2 = 0,6902
110,0
108,0
106,0
104,0
102,0
100,0
98,0
96,0
94,0
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
Для расчета адекватности функции применяют:

Сумму квадратов
отклонений
фактических
уровней
динамического ряда
от соответствующих
им теоретических
уровней
(y Y )
S 
2
2
nm
m  число параметров
уравнения тренда
Года
y
линейны
й
парабола 2
порядк
а
експонента
(y-Y1)2
(y-Y2)2
(y-Y3)2
2001
104,1
107,0
102,5
107,0
8,225
2,599
8,338
2002
104,7
107,0
105,9
107,0
5,410
1,454
5,441
2003
106,8
107,1
108,4
107,1
0,081
2,446
0,077
2004
111,0
107,1
109,9
107,1
14,884
1,295
15,033
2005
109,4
107,2
110,4
107,2
4,840
1,000
4,982
2006
110,0
107,3
110,0
107,2
7,519
0,000
7,767
2007
108,6
107,3
108,6
107,3
1,649
0,000
1,801
2008
110,2
107,4
106,3
107,3
7,986
15,571
8,391
2009
100,2
107,4
103,0
107,3
52,302
7,574
51,101
965,0
964,8
964,8
964,5
102,896
31,939
102,931
Всего
S2  14.7
1
S2  5.3
2
S2  14.7
3
Расчет доверительного
интервала при экстраполяции

Y  t  S , где
t k
Ошибка прогноза
рассчитывается с помощью
следующей формулы:
p
Y  прогнозный уровень на к периодов
t k
t  доверительное число
S  ошибка прогноза
p




Доверительное число зависит от
вероятности прогноза:
При вероятности 0,683 t=1
При вероятности 0,954 t=2
При вероятности 0,997 t=3
1 3(n  2k  1) 2
S p  S 1  
n
n(n 2  1)
Рассчет доверительного интервала прогноза на 2009-2010 года
Года
Доходы
млрд. грн, y
t
t2
yt
yt2
t4
Y
(y-Y)2
300
30,2
-6
-181,2
36
1087,2
1296
42,26
145,4436
1997
28,1
-5
-140,5
25
702,5
625
31,27
10,0489
1998
28,9
-4
-115,6
16
462,4
256
25,82
9,4864
1999
32,9
-3
-98,7
9
296,1
81
25,91
48,8601
2000
49,1
-2
-98,2
4
196,4
16
31,54
308,3536
250
доходы, млрд.грн
1996
Y=59,42+19,48t+2,77t2
R2 = 0,98
200
150
100
50
19
96
19
97
19
98
19
99
20
00
20
01
20
02
20
03
20
04
20
05
20
06
20
07
20
08
0
года
2001
54,9
-1
-54,9
1
54,9
1
42,71
148,5961
2002
61,9
0
0
0
0
0
59,42
6,1504
2003
75,3
1
75,3
1
75,3
1
81,67
40,5769
2004
91,5
2
183
4
366
16
109,46
322,5616
2005
134,2
3
402,6
9
1207,8
81
142,79
73,7881
2006
171,8
4
687,2
16
2748,8
256
181,66
97,2196
2007
219,9
5
1099,5
25
5497,5
625
226,07
38,0689
2008
297,9
6
1787,4
36
10724,4
1296
276,02
478,7344
1276,6
0
3545,9
182
23419,3
4550
1276,6
1727,889
Всего
Расчет ошибки прогноза
(y Y)
S 
 13.1
nm
2

Расчет доверительного интервала

Для прогноза на 2009 год
S p  13.1 1 
1 3(13  2  1) 2

 13.11.160  15.2
13 13(169 1)

Для прогноза на 2010 год
S p  13.1  1 
1 3(13  4  1) 2

 13.1 1.43  18.7
13 13(169 1)
Прогнозноезначение
Прогнозноезначение
Y2009  59.42  19.48 7  2.77  7 2  331.51
Y2010  59.42  19.48 8  2.77  82  392.54
Доверит ельный инт ервалпрогноза
Y2009  331.51 15.2
316.31Y2009 346.71
Доверит ель
ный инт ервалпрогноза
Y2010  392.54  18.7
373.84Y2010  411.24
Спасибо за внимание