Transcript Modelo Cinético-Molecular de um Gás Ideal
Propriedades Moleculares da Matéria
U
U
0
R
0
r
12 2
R r
0
F
dU dr
12
U
0
R
0
R
0
r
6 13
R
0
r
7
Obs.: os líquidos possuem “ordem de curto alcance”
Modelo Cinético-Molecular de um Gás Ideal
Modelo de gás ideal + Leis de Newton = Teoria Cinética:
• Um gás é constituído de partículas ("moléculas") de volume desprezível e massa m.
• As moléculas obedecem às leis de Newton e tem movimento desordenado devido às colisões.
• As colisões são elásticas, com duração e alcance desprezíveis.
• O número de moléculas é muito grande.
Cálculo Cinético da Pressão
Considere
uma molécula
com velocidade
v x
ao longo do eixo x, dentro de um cubo de arestas L. Ela colidirá com a parede sombreada em x = L a cada intervalo de tempo
t = 2L/v x
. Cada colisão transfere um momento
P = mv x – (-mv x ) = 2mv x
.
p
F x A
p x L
2
t
mv x
2
L
3
mv x
2
V
A pressão total é obtida somando as contribuições de todas as partículas: .
p
i N
1 2
mv xi V
Nm V i N
1 2
v xi N
v x
2 1 3
v
2 Onde foram usadas as definições de densidade , média < >, e isotropia espacial em três dimensões na última igualdade
A equação acima informa que a velocidade quadrática média de uma molécula (grandeza microscópica) pode ser obtida das medidas macroscópicas de densidade e pressão:
v RMS
v
2 3
p
Interpretação Cinética da Temperatura
Inserindo a pressão calculada pela teoria cinética, na equação de estado do gás ideal obtemos:
pV
1 3
V v
2 2 3 1 2
Nm v
2
Nk B T
K tr
1 2
Nm v
2 3 2
Nk B T
onde V = Nm é a massa total de gás. Assim:
A energia cinética de translação média de uma molécula (grandeza microscópica) é proporcional à temperatura do gás (grandeza macroscópica).
Algumas velocidades moleculares à temperatura ambiente (300K).
A energia cinética de translação correspondente é 3,74 kJ/mol.
Resolver problema 16.8
Livre Caminho Médio
N moléculas de raio
r
e volume V 1 molécula se move : 4 p (2r) 2 vdt e dN = 4 p r 2 vdt N/V Numero de colisões por tempo dN/dt= 4 p r 2 v N/V … dN/dt= 2 1/2 4 p r 2 v N/V Tempo livre médio t médio = V/(2 1/2 4 p r 2 v N) Livre caminho médio l =vt= V/(2 1/2 4 p r 2 N) Para moléculas de ar em CNTP e r ~ 2 Å l
~ 0,06
m
m
Distribuição de velocidades (Maxwell-Boltzmann)
f
(
v
) 4 p
N
m
2 p
k B T
3 / 2
v
2
e
mv
2 / 2
k B T
Capacidade Calorífica
Calor específico molar a volume constante de um gás ideal “puntual” (monoatômico)
dQ dK tr
nc V
3
dT nRdT
2
dQ
dK tr
c V
3 2
R
=12,47 J/(mol.K) Transformação a volume constante implica que não deve haver realização de trabalho e todo o calor deve ser convertido em energia interna do gás.
* Uma molécula “puntual” ideal só possui energia do tipo “energia cinética de translação”.
Moléculas diatômicas e o princípio de equipartição da energia
O Princípio da eqüipartição de energia afirma que cada componente da velocidade (linear ou angular) possui, em média, uma energia cinética associada a cada molécula igual a 1/2kT Molécula diatômica; 3 graus de liberdade translacionais 2 graus de liberdade rotacionais K tot =nN A (5/2kT)=5/2
n
(kN A )T=5/2nRT Q=nC v T C v =5/2R=20,79 J/(mol.K) Mecânica Quântica: Rotações em torno do eixo de simetria e vibrações em geral não absorvem energia devido ao grande espaçamento entre os níveis de energia correspondentes.
Variação do calor específico com a temperatura
Calor específico de um sólido monoatômico
Consideramos 3 graus de liberdade de vibração por átomo, cada um com energias potencial e cinética.
E tot =6/2
n
(kN A )T=3nRT Q=nC v T C v =3R=24,9
J/(mol. K)
(Valor de Dulong e Petit)