Propriedades Moleculares da Matéria

U



U

0    

R

0

r

12  2

R r

0

F

 

dU dr

 12

U

0

R

0    

R

0

r

6    13 

R

0

r

7   

Obs.: os líquidos possuem “ordem de curto alcance”

Modelo Cinético-Molecular de um Gás Ideal

Modelo de gás ideal + Leis de Newton = Teoria Cinética:

• Um gás é constituído de partículas ("moléculas") de volume desprezível e massa m.

• As moléculas obedecem às leis de Newton e tem movimento desordenado devido às colisões.

• As colisões são elásticas, com duração e alcance desprezíveis.

• O número de moléculas é muito grande.

Cálculo Cinético da Pressão

Considere

uma molécula

com velocidade

v x

ao longo do eixo x, dentro de um cubo de arestas L. Ela colidirá com a parede sombreada em x = L a cada intervalo de tempo 

t = 2L/v x

. Cada colisão transfere um momento 

P = mv x – (-mv x ) = 2mv x

.

p



F x A

 

p x L

2 

t



mv x

2

L

3 

mv x

2

V

A pressão total é obtida somando as contribuições de todas as partículas: .

p



i N

  1 2

mv xi V



Nm V i N

  1 2

v xi N

 

v x

2  1 3 

v

2 Onde foram usadas as definições de densidade  , média < >, e isotropia espacial em três dimensões na última igualdade

A equação acima informa que a velocidade quadrática média de uma molécula (grandeza microscópica) pode ser obtida das medidas macroscópicas de densidade e pressão:

v RMS



v

2  3 

p

Interpretação Cinética da Temperatura

Inserindo a pressão calculada pela teoria cinética, na equação de estado do gás ideal obtemos:

pV

 1 3 

V v

2  2 3 1 2

Nm v

2 

Nk B T



K tr

 1 2

Nm v

2  3 2

Nk B T

onde  V = Nm é a massa total de gás. Assim:

A energia cinética de translação média de uma molécula (grandeza microscópica) é proporcional à temperatura do gás (grandeza macroscópica).

Algumas velocidades moleculares à temperatura ambiente (300K).

A energia cinética de translação correspondente é 3,74 kJ/mol.

Resolver problema 16.8

Livre Caminho Médio

N moléculas de raio

r

e volume V 1 molécula se move : 4 p (2r) 2 vdt e dN = 4 p r 2 vdt N/V Numero de colisões por tempo dN/dt= 4 p r 2 v N/V … dN/dt= 2 1/2 4 p r 2 v N/V Tempo livre médio t médio = V/(2 1/2 4 p r 2 v N) Livre caminho médio l =vt= V/(2 1/2 4 p r 2 N) Para moléculas de ar em CNTP e r ~ 2 Å l

~ 0,06

m

m

Distribuição de velocidades (Maxwell-Boltzmann)

f

(

v

)  4 p

N

 

m

2 p

k B T

  3 / 2

v

2

e



mv

2 / 2

k B T

Capacidade Calorífica

Calor específico molar a volume constante de um gás ideal “puntual” (monoatômico)

dQ dK tr

 

nc V

3

dT nRdT

2  

dQ



dK tr



c V

 3 2

R

=12,47 J/(mol.K) Transformação a volume constante implica que não deve haver realização de trabalho e todo o calor deve ser convertido em energia interna do gás.

* Uma molécula “puntual” ideal só possui energia do tipo “energia cinética de translação”.

Moléculas diatômicas e o princípio de equipartição da energia

O Princípio da eqüipartição de energia afirma que cada componente da velocidade (linear ou angular) possui, em média, uma energia cinética associada a cada molécula igual a 1/2kT Molécula diatômica; 3 graus de liberdade translacionais 2 graus de liberdade rotacionais K tot =nN A (5/2kT)=5/2

n

(kN A )T=5/2nRT  Q=nC v  T C v =5/2R=20,79 J/(mol.K) Mecânica Quântica: Rotações em torno do eixo de simetria e vibrações em geral não absorvem energia devido ao grande espaçamento entre os níveis de energia correspondentes.

Variação do calor específico com a temperatura

Calor específico de um sólido monoatômico

Consideramos 3 graus de liberdade de vibração por átomo, cada um com energias potencial e cinética.

E tot =6/2

n

(kN A )T=3nRT  Q=nC v  T C v =3R=24,9

J/(mol. K)

(Valor de Dulong e Petit)