Transcript 折叠问题的几点教学体会

折叠问题的几点教学体会
折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空
间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到
直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到
基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查
的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.
这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维
能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更
高的要求.
一、剪纸问题
将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿
图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看
到的图案是（
）
如图，一张长方形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五
等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五
角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于(
)
（A）108º
（B）114º
（C）126º
（D）129º
将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后
沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，
所看到的图案是（
）
将一正方形纸片按图5中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁
剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( )
将正方形由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次
操作（如图），按上边规则，完成6次操作以后，再剪去
所得小正方形的左下角，问：当展开这张正方形纸片后，
一共有
个小孔。
②
①
如图，把一个长方形的纸片对折两次（折痕互相垂直），然
后剪下一个角，为了得到一个锐角为60 的菱形，剪口与折
痕所成的角 的度数应为（ ）
A．15或30
B．30或45 C．45或60 D．30或60

α
动手折一折：将一张正方形纸片按下列图示对折3
次得到图④，在AC边上取点D，使AD＝AB，沿虚线
BD剪开，展开△ABD所在部分得到一个多边形．则
这个多边形的一个内角的度数
．
D
A
②
①
③
C
B
④
如图，一张长方形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五
等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五
角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于(
)
（A）108º
（B）114º
（C）126º
（D）129º
D
O
C
用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）.方法是：拿一张
长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等份，并沿
五等份的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD
等于
A．108° B．90° C．72° D．60°
D
O
D
O
C
E
如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成
图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数
是
．
A
E
D
A
A
E
D
E
C
F
B
F
图a
C
B
G
图b
C
D
B
G
图c
F
将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ
（如图2），第三次翻折使PA与PQ重合，折痕为PC（如图3），第四次翻
折使PB与PA重合，折痕为PD（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形
状，则∠CPD的大小是（ ）
A．120°
B．90°
C．60°
D．45°
二、圆在折叠问题中的应用
对于一类折痕不固定的折叠问题用可以运用圆的
知识来解决。
（2008义乌）如图，直角梯形纸片ABCD，
AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，
点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿
EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD=
▲ ；
（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的
最小值等于 ▲ ．
（2010 北京模拟）如图，矩形纸片中，AB=8，将纸片折
叠，使顶点B落在边AD上的点为E，折痕的一端G点在边BC
上（BG＜GC），另一端F落在矩形的边上，BG=10．
（1）请你在备用图中画出满足条件的图形；
E1
（2）求出折痕的长．
A
A
E1
E2
D
F
G
C
A
B
C
G
B
B
D
F
E2
G
D
C
(2010 金华中考例卷)如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=8, E在线
段AB上，F在射线AD上。
（1）沿EF翻折，使A落在CD边上的G处，若DG=4，则AF=
；
（2）若沿EF翻折后，使得点A总在矩形ABCD的内部，请写出线段
AE长的取值范围
。
D
G
C
F
A
E
B
（2009河南） 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.
如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕PQ，
当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限
定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动
的最大距为
.
B
A
A2
A1
Q
C
D
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D在
AB边上，将△ABC 沿过点D的折痕折叠，能使点A落在线段
BC上，则AD的取值范围是_________．（根据2010河南中考
题改编）
设AD=x,则DF=
6x
2
C
F
6x
x≥
2
x≤3
2≤x≤3
A
D
E
B
（2008义乌）如图，直角梯形纸片ABCD，
AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，
点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿
EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD=
▲ ；
（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的
最小值等于 ▲ ．
D
A
P
C
B
（2010江西省南昌）如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的
中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片
折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的
角的个数为
( )
A.4
B. 3
C.2
D.1
A
D
H
E
B
C
G
三、两种重要的辅助线
轴对称的性质：对称轴垂直平分连结两个对称
点之间的线段。
常用辅助线一：连结两个对称点
常用辅助线二：利用线段中垂线上的点
到线段两个端点距离相等添加辅助线。
在解题过程中借助辅助线构造直角三角形，结合
相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问
题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加
简洁.
如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，则∠1，∠2
与∠A之间的关系为
。
C
1
D
A’
A
2
B
E
直角梯形 ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,BC>AD,AD=2,AB=4,点E
在AB上，将△ABC沿CE翻折，使点B与点D重合，则∠BCE
的正切值是_________.
F
3
如图，直线y=－ x+3 与x轴、y轴分别交于A、B两点，若把△AOB沿
4
直线AB翻折，点落在点C处，则点C的坐标是
。
y
C
B
O
D
A
x
F
A
M
D
问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在
CD边上一点E（不与点C、D重合），压平后得到
E
G
AM
CE 1
 时，求
折痕MN．当
BN 的值．
CD 2
类比归纳
CE 1
AM

，
在图（1）中，若 CD 3 则
的值等于
；
BN
AM
CE 1
CE 1
 ，
 （n 为
若 CD 4 则 BN 的值等于
；若
CD n
AM
整数），则 BN 的值等于
B
H
C
N
图（1）
F
A
M
D
E
．（用含n 的式子
表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在
CD边上一点E（不与点C、D重合），压平后得到
B
C
N
F
图（1）
M
D
A
E
AM
AB 1
CE 1

m

1
，

，


折痕MN,设 BC m
则 BN 的值
CD n
等于
．（用含 n 的式子表示）
B
H
N
图（2）
C
(2010金华市竞赛题)如图，在梯形ABCD中,有
AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=a,点E是AB边上一动点(点
E不与点A、B重合),连结ED,作ED的中垂线交AD于
点G ,交BC于点K,过点K作KM⊥AD交于点M.
A
1
DM
(1)当AE=
a时，求
的值；
DG
2
E
1
DM
(2)当AE=
a时，求
的值；
DG
3
DM
1
(3)当AE=
a时，直接用含n的代数式表示 DG
n
的值.
G
M
D
F
B
K
C
谢谢大家
图1
图2
图3