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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Unidad V
Funcionamiento de las redes en el campo de
la frecuencia
Conferencia 1
C. R. Lindo Carrión
1
Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Objetivos
Definir el concepto de Funciones de red
Definir la función de red en términos de polos y ceros.
Elaborar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), considerando los
siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y
de orden "N", polos y ceros simples, polos y ceros cuadráticos de
redes eléctricas.
Contenido
5.1 Introducción
5.2 Análisis de respuesta de frecuencia variable.
Funciones de la red.
Polos y ceros.
5.3 Análisis de frecuencia compleja
Respuesta utilizando el diagrama de Bode:
Términos constantes, Polo o ceros en el origen de orden 'n'
Polo o cero simple, Polos o ceros cuadráticos
C. R. Lindo Carrión
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5.1 Introducción
Una red que contiene un capacitor y una bobina opera de manera
diferente si se cambia la frecuencia. Esto se debe a que la impedancia
de ambos elementos del circuito dependen de la frecuencia. Si la
frecuencia de las fuentes de la red varía en algún rango, podemos
esperar que también la red experimente variaciones en respuesta a
esos cambios de frecuencia.
Un ejemplo concreto es un amplificador estereofónico. La señal de
entrada contiene ondas de sonido con frecuencias que van de
principio a fin; y, sin embargo, el amplificador debe ampliar cada
componente de frecuencia exactamente en la misma proporción a fin
de alcanzar una reproducción perfecta del sonido
Esto no es una tarea trivial, y cuando Usted compra un muy buen
amplificador, parte del precio refleja el diseño necesario para lograr
una amplificación constante sobre la amplia gama de frecuencias.
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Los dispositivos de comunicación modernos utilizan dispositivos
llamados filtros para separar las señales eléctricas en base a su
contenido en frecuencia. Por lo tanto, es importante describir las
relaciones que dependen de la frecuencia, tanto la amplitud como la
fase, entre la señal senoidal de entrada y la señal senoidal de salida.
Nuestro estudio consistirá en examinar el funcionamiento de redes
eléctricas cuando son excitadas por fuentes de frecuenta variable.
Estos efectos son importantes en el análisis y diseño de redes reales
como filtros, sintonizadores y amplificadores que tienen una extensa
aplicación en sistemas de comunicación y control.
La respuesta en frecuencia de un circuito es la relación dependiente
de la frecuencia, tanto en magnitud como en fase, entre una entrada
senoidal de estado estable y una señal de salida senoidal de estado
estable.
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5.2 Análisis de la respuesta de frecuencia variable
La impedancia de la Resistencia es: ZR = R = R|0o, donde la magnitud
y la fase son constantes e independientes de la frecuencia. La gráfica
de magnitud y fase de la impedancia del Resistor en el dominio de la
frecuencia se muestra en la Figura 1.
La impedancia de la Bobina es: ZL = jL = L|90o, donde la fase es
constante a 90º pero la magnitud es directamente proporcional a la
frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia de la
Bobina en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 2.
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La impedancia del Capacitor es: ZC = 1/jC = (1/C)|-90o, donde la
fase es constante a -90º pero la magnitud es inversamente
proporcional a la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la
impedancia del Capacitor en el dominio de la frecuencia se muestra en
la Figura 3.
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Ahora veamos el circuito RLC serie mostrado
en la Figura 4, donde la impedancia
equivalente es:
Z eq
1
 R  jL 
jC
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Z eq
( j ) 2 LC  jRC  1

jC
La Figura 5 muestra la magnitud y fase de esta impedancia en función
de la frecuencia.
Observe que a muy bajas frecuencia, el capacitor aparece como un
circuito abierto y, por consiguiente la impedancia es muy grande en
esta escala. A altas frecuencias el capacitor tiene un efecto muy
pequeño y la impedancia es dominada por la bobina, cuya impedancia
se sigue elevando con la frecuencia.
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A medida que los circuitos se hacen más complicados, las ecuaciones
se vuelven más molestas. En un intento por simplificarlas, hacemos la
sustitución s=j (Esta sustitución tiene un significado más importante).
Con esta sustitución, la expresión para la impedancia Zeq se convierte
en:
Z eq
s 2 LC  sRC  1

sC
Si revisamos los cuatros circuitos vistos hasta aquí, encontramos que
en cada caso la impedancia es la razón de dos polinomios en s y es de
la forma general
N(s) am s m  am1 s m1    a1 s  a0
Z(s) 

D(s) bn s n  bn1 s n1    b1 s  b0
Esta ecuación es válida para impedancias y también para todos los
voltajes, las corrientes, las admitancias y las ganancias en la red. La
única restricción es que los valores de todos los elementos de circuito
(resistencias, capacitores, bobinas y fuentes dependientes) deben ser
números reales.
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Ejemplo
Considere la red que se muestra en
la Figura 6. Se desea determinar la
variación del voltaje de salida como
función de la frecuencia en la escala
de 0 a 1KHz.
Solución
Usando el divisor de voltaje, la salida puede expresarse como




R
V
Vo  

1  s
 R  jL 

jC 



jCR
 Vs
Vo  
2
 ( j ) LC  jCR  1 
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Utilizando los valores de los elementos, la ecuación se convierte en:


( j )(37.95 *103 )
o

Vo  
10
|
0
2
4
3

 ( j ) (2.53*10 )  j (37.95 *10 )  1 
En este punto podemos sustituir simplemente los diferentes valores de
la frecuencia en la escala de interés en la ecuación, y determinar la
magnitud y fase del voltaje de salida.
Usando un gran número de esos puntos podemos hacer gráficas de la
magnitud y fase del voltaje de salida como función de la frecuencia.
Este efectivo pero tedioso método puede simplificarse bastante si se
aplica un software (Pspice, Matlab, etc).
Las gráficas que resultan de la magnitud y la fase se muestran en la
Figura 7.
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Funciones de la red
La función de red es designada generalmente como H(s), y define la
razón de respuesta a la entrada. Como la función describe una
reacción debida a una excitación en algún otro punto del circuito, las
funciones de la red de estación también se llaman funciones de
transferencia. Además, las funciones de transferencias no están
limitadas a razones de voltaje. Lo mismo que en redes eléctricas, las
entradas o salidas pueden ser voltajes o corrientes hay cuatro posibles
de la red, como se enlista en la siguiente tabla.
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Entrada
Salida
Función de Transferencia
Voltaje
Voltaje
Ganancia de Voltaje
GV(s)
Corriente
Voltaje
Transimpedancia
Z(s)
Corriente Corriente Ganancia de Corriente
Voltaje
Corriente Transadmitancia
Símbolo
GI(s)
Y(s)
También hay funciones de puntos de entrada, que son impedancias o
admitancias definidas en un solo par de terminales. Por ejemplo, la
impedancia de entrada de una red es una función de entrada.
Ejemplo
Para el circuito mostrado en la Figura
8, determine la Transadmitancia
[I2(s)/V1(s)] y la ganancia de voltaje.
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Solución
Haciendo LKV a la malla 1 se obtiene: (R1+sL)I1(s) – sLI2(s) = V1(s)
Haciendo LKV a la malla 2 se obtiene: -sLI1(s) + (R2+sL+1/sC)I2(s) = 0
V2(s) = I2(s)R2
Resolviendo las ecuaciones para I2(s) se obtiene:
sLV1 (s)
I 2 (s) 
( R1  sL)(R2  sL  1 / sC )  s 2 L2
Por lo tanto, la Transadmitancia es:
I 2 (s)
s 2 LC
Y(s) 

V1 (s) ( R1  R2 ) LCs 2  ( L  R1 R2 C )s  R1
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Y la ganancia de voltaje es:
V2 (s)
s 2 LCR
G(s)

V1 (s) ( R1  R2 ) LCs 2  ( L  R1 R2 C )s  R1
Polos y Ceros
Como hemos indicado anteriormente, la función de red puede
expresarse como la razón de los dos polinomios en s. Además notamos
que como los valores de nuestros elementos de circuitos, o fuentes
controladas, son números reales, los coeficientes de los dos polinomios
serán reales. Por lo tanto, expresamos una función de red en la forma:
N(s) am s m  am1 s m1    a1 s  a0
H(s) 

D(s) bn s n  bn1 s n1    b1 s  b0
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donde N(s) es el polinomio del numerador de orden m y D(s) es el
polinomio del denominador de orden n. La ecuación anterior también
puede escribirse en la forma siguiente:
K o (s  z1 )(s  z 2 ) (s  z m )
H(s) 
(s  p1 )(s  p2 )(s  pn )
Donde Ko es una constante, z1, , zm son las raíces de N(s), y p1, ,
pn son las raíces de D(s).
Observe que si s=z1, o z2, , zm, entonces H(s) se hace cero y de aquí
z1, , zm se llaman ceros de la función de transferencia. De manera
similar, si s=p1, o p2, , pn, entonces H(s) se hace infinito y, por
consiguiente p1, , pm se llaman ceros polos de la función de
transferencia.
Los ceros o polos realmente son complejos. Sin embargo, si ellos son
complejos deben presentarse en pares conjugados, ya que los
coeficientes de los polinomios son reales
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La representación de la función de la red especificada en términos de
polos y ceros, es extremadamente importante y en general se emplea
para representar cualquier sistema lineal invariante en el tiempo. La
importancia de esta forma se deriva del hecho de que las propiedades
dinámicas de un sistema pueden recogerse de un examen de los polos
del sistema.
5.3 Análisis de frecuencia senoidal
Aunque hay casos específicos en los que una red opera a sólo una
frecuencia (por ejemplo, la red del sistema de potencia), en general
estamos interesados en el comportamiento de una red como función
de la frecuencia. En análisis senoidal de estado estable, la función de la
red puede expresarse como:
H(s) M ()e
j ( )
donde M()=|H(j)| y () es la fase. Una gráfica de esas dos
funciones, que se llaman comúnmente magnitud y característica de
fase, despliega la forma en que la respuesta varía con la frecuencia de
entrada .
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Respuesta de frecuencia usando una gráfica de Bode
Si las características de la red son trazadas en una escala
semilogarítmica, es decir, una escala lineal para la ordenada y una escala
logarítmica para la abscisa, se conocen como gráficas de Bode (llamadas
así en recuerdo de Hendrik W. Bode).
Esta gráfica es una herramienta poderosa en el análisis y diseño de
sistemas dependientes de la frecuencia y de las redes, como filtros,
sintonizadores y amplificadores.
Al usar la gráfica, hacemos gráficas de 20log10M() contra log10() en
vez de M() contra (). La ventaja de esta técnica es que más que
trazar las características punto por punto, podemos emplear
aproximaciones en línea recta para obtener la característica de manera
muy eficiente.
La ordenada para la gráfica de la magnitud es el decibel (dB). Esta
unidad fue empleada originalmente para medir la razón de potencias,
es decir:
número en dB =10log10(P2/P1)
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Si las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales, entonces
| V2 | 2 / R
| I 2 |2 R
numero de dB  10log10
 10log10
2
| V1 | / R
| I 1 |2 R
numerode dB  20log10
| V2 |
|I |
 20log10 2
| V1 |
| I1 |
El término “dB” ha llegado a ser tan popular que ahora se usa para
razones de voltaje y corriente, como se ilustra en la ecuación anterior,
haciendo caso omiso de la impedancia empleada en cada caso.
En el caso senoidal en estado estable, H(j) puede escribirse en
general como:
K o ( j )  N (1  j1 )[1  2 3 ( j 3 )  ( j 3 ) 2 ]
H(j ) 
(1  j a )[1  2 b ( j b )  ( j b ) 2 ]
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Recuerde que s=j y =1/, entonces la ecuación anterior se puede
escribir como:
K o (s)  N (1  s / 1 )[1  2 3 (s / 3 )  (s / 3 ) 2 ]
H(j ) 
(1  s / a )[1  2 b (s / b )  (s / b ) 2 ]
Observe que ambas ecuaciones contienen los siguientes factores
típicos:
1. Un factor Ko>0 independiente de la frecuencia.
2. Polos o ceros en el origen de la forma j, es decir, (j)+N para ceros
y (j)-N para polos.
3. Polos o ceros de la forma (1+j).
4. Polos o ceros cuadráticos de la forma 1 + 2(j) + (j)2.
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Tomando el logaritmo de la magnitud de la función H(j) se obtiene:
20log10|H(j)| = 20log10Ko  20Nlog10|j| + 20log10|1+j1|
+ 20log10|1+23(j3)+(j3)2| + 
- 20log10|1+ja| - 20log10|1+2b(jb)+(jb)2| - 
Observe que hemos usado el hecho de que el logaritmo del producto
de dos o más términos es igual a la suma de los términos individuales,
el logaritmo del cociente de dos términos es igual a la diferencia de los
logaritmos individuales, y el hecho de que log10An = nlog10A.
El ángulo de fase para H(j) es:
|H(j) = 0  N(90º) +tan-11
 2 3 3 
1
1  2 b  b 
 


 tan 
   tan  a  tan 
2 2 
2 2 
1   b 
1   3 
1
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Examinemos algunos de los términos individuales e ilustremos una
manera eficiente de graficarlos en un diagrama de Bode.
Funciones con frecuencia invariante (Termino constante)
H(s) = Ko, entonces |H(s)|dB = 20log10Ko
El diagrama de magnitud
es una línea horizontal
puesta a:
0 dB
si |Ko| = 1
bajo de 0 dB si |Ko| < 1
arriba del 0 dB si |Ko| > 1
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El diagrama de fase es una
línea horizontal puesta a:
0o
si Ko es positiva
-180º si Ko es negativa
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Funciones con raíces en el origen (polos o ceros en el origen)
H(s) = (s/o)1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es
un polo
|H(s)|dB = 20log10(/o)
El diagrama de magnitud
es una línea con pendiente
de +20 dB/década sobre
todo
el
rango
de
frecuencias, para el caso
de un cero. Si /o = 1, la
curva pasa por 0 dB.
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El diagrama de magnitud
es una línea con pendiente
de -20 dB/década sobre
todo
el
rango
de
frecuencias, para el caso
de un polo.
20 dB/dec = 6 dB/oct
C. R. Lindo Carrión
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El diagrama de fase es una
línea horizontal a +90º
sobre todo el rango de
frecuencias, para el caso
de un cero.
C. R. Lindo Carrión
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El diagrama de fase es una
línea horizontal a -90º
sobre todo el rango de
frecuencias, para el caso
de un polo.
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Funciones de raíces reales negativas (polo o cero simple)
H(s) = (s/o+1)1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz
es un polo
|H(s)|dB = 20log10[1+(/o)2]
El diagrama de magnitud
tiene dos asíntotas, una de
baja frecuencia (a.b.f) y una
de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f |H(s)|=0 para /o  1
a.a.f |H(s)|=20log10(/o)
para /o  1
para /o = 1
|H(s)|dB=3dB
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El diagrama de magnitud
tiene dos asíntotas, una de
baja frecuencia (a.b.f) y una
de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f |H(s)|=0 para /o  1
a.a.f |H(s)|=20log10(/o)
para /o  1
para /o = 1
|H(s)|dB=3dB
C. R. Lindo Carrión
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El diagrama de fase tiene dos
asíntotas, una de baja frecuencia
(a.b.f) y una de alta frecuencia
(a.a.f).
a.b.f H(s)=0o para /o  0.1
a.a.f H(s)=90º para /o 
10.
Para 0.1  /o  10 existen
pendientes de 45º
para /o = 1
H(s) =45º
para /o = 0.1 y /o = 10
la fase tiene desviaciones de
cerca 6º.
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El diagrama de fase tiene dos
asíntotas, una de baja frecuencia
(a.b.f) y una de alta frecuencia
(a.a.f).
a.b.f H(s)=0o para /o  0.1
a.a.f H(s)=90º para /o 
10.
Para 0.1  /o  10 existen
pendientes de 45º
para /o = 1
H(s) =45º
para /o = 0.1 y /o = 10
la fase tiene desviaciones de
cerca 6º.
C. R. Lindo Carrión
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Funciones con pares de raíces complejas (polos o ceros cuadráticos)
H(s) = [(s/o)2+2(s/o)+1]1, el signo + si la raíz es un cero y el signo
– si la raíz es un polo
s / o    j 1  
H(j) = [1-(/o)2+2j(/o)]1
|H(s)|dB = 10log10{[1+(/o)2]2+[2(/o)]2}
El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja
frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f |H(s)|=0 para /o  1
a.a.f |H(s)|=40log10(/o) para /o  1
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C. R. Lindo Carrión
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
El diagrama de fase tiene dos
asíntotas, una de baja frecuencia
(a.b.f) y una de alta frecuencia
(a.a.f).
a.b.f H(s)=0o para /o  0.1
a.a.f H(s)=180º para /o
 10.
Para 0.1  /o  10 existen
pendientes de 90º
C. R. Lindo Carrión
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
C. R. Lindo Carrión
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Las aproximaciones en línea rectas (asíntotas), para este caso son
satisfactorias para  cerca 1/2, pero para pequeños valores de 
debemos aplicar correcciones para reflejar la presencia de un pico. Estas
correcciones son hechas en los siguientes puntos significantes.
1) a la frecuencia de corte, es decir, /o = 1,
entonces |H(s)|dB = 20log102
2) a la frecuencia donde se da el pico, /o = (1-2),
entonces |H(s)|dB = 10log10[42(1-2)]
3) una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir /o = 1/2,
entonces |H(s)|dB = 10log10(2+0.752)
4) a la frecuencia a la cual la curva de magnitud cruza el eje de 0 dB,
/o = [2(1-22)]
5) a la fase, una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir, /o
= 1/2, entonces H(s) = tan-1(/0.75)
C. R. Lindo Carrión
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
6) a la fase, una octava arriba de la frecuencia de corte, es decir, /o
= 2, entonces H(s) = [180-tan-1(/0.75)]
En las siguientes Figuras se muestran los puntos de las correcciones que
se deben hacer
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Múltiples raíces
Si una raíz o una pareja de raíces complejas tienen multiplicidad r,
entonces el término correspondiente tiene la forma Hr. Así tenemos:
|Hr(j)|dB = r*|H(j)|dB
Hr(j) = r*H(j)
Como estamos usando una hoja milimetrada, es necesario
introducir la definición de intervalo de década o llamado también
ciclo. Dado un valor de frecuencia específica dentro del ciclo 10n 
  10n+1 rad/s, su localización “l” dentro del ciclo es:
l  log 10

10
n
C. R. Lindo Carrión
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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia
Ejemplo
Localizar 320 rad/s, y 2000 rad/s
Solución
102
rad/s  320 rad/s 
103
rad/s  2000 rad/s 
103
rad/s, entonces: l 320
104
320
 log 10 2  0.5
10
rad/s, entonces: l 2000
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2000
 log 10
 0.3
3
10
40