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Análise
Combinatória
Introdução
Foi a necessidade de calcular o número de
possibilidades existentes nos chamados jogos de
azar que levou ao desenvolvimento da Análise
Combinatória, parte da Matemática que estuda os
métodos de contagem. Esses estudos foram
iniciados já no século XVI, pelo matemático
italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido
como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre
de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos
que permitam contar - de uma forma indireta - o
número de elementos de um conjunto, estando
esses elementos agrupados sob certas condições.
ELEMENTOS DA COMBINATÓRIA
 Fatorial
 Princípio fundamental da contagem - PFC
 Permutações simples
 Permutações com elementos repetidos
 Arranjos simples
 Combinações simples
Fatorial
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o
fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como
sendo:
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4 . 3 . 2 . 1
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
a) 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
b) 4! = 4 .3 . 2 . 1 = 24
c) observe que 6! = 6 . 5 . 4!
d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7. 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
e) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5!
f ) 10! = 10 . 9 . 8!
Princípio fundamental da
contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n
etapas diferentes, e se a primeira etapa pode
ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de
k2 maneiras diferentes, e assim
sucessivamente, então o número total T de
maneiras de ocorrer o acontecimento é dado
por:
T = k1 . K2 . K3 . ... . kn
Aplicação
Questão 1
De quantos modos distintos podemos colocar 3
livros juntos em uma estante de biblioteca?
Solução:
Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil
serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4
algarismos. Qual o número máximo de veículos que
poderá ser licenciado?
Solução:
Solução:
Placa do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema
numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos
concluir que:
para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode
haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26
alternativas.
Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que
temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares.
Podemos então afirmar que o número total de veículos
que podem ser licenciados será igual a:
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 que resulta em
175.760.000
Permutações simples
Permutações simples de n elementos distintos são
os agrupamentos formados com todos os n
elementos e que diferem uns dos outros pela ordem
de seus elementos.
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as
seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB
e CBA.
Obs.: O número total de permutações simples de n
elementos distintos é dado por n!, isto é
Pn = n! onde n! = n (n-1) (n-2) ... .1 .
Exemplo:
Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas
ocuparem os lugares de um banco retangular de
cinco lugares.
Solução:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Anagrama
Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado
pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não
significado na linguagem comum.
Os possíveis anagramas da palavra DEUS são:
DEUS
DESU
EDUS
EDSU
UESD
UEDS
SEDU
SEUD
DUES
DUSE
EUDS
EUSD
UDES
UDSE
SDEU
SDUE
DSEU
DSUE
ESDU
ESUD
USDE
USED
SUDE
SUED
Total: 24
Calculando
temos:
4! . 3 . 2 . 1 = 24
Permutações com elementos
repetidos
Se entre os n elementos de um conjunto,
existem a elementos repetidos, b elementos
repetidos, c elementos repetidos e assim
sucessivamente , o número total de
permutações que podemos formar é dado por:
(a, b, c, ...)
Pn
n!
=
a! b! c! ...
Exemplo:
Determine o número de anagramas da palavra
MATEMÁTICA.(não considere o acento)
Solução:
Temos 10
elementos, com
repetição.
Observe que a
letra M está
repetida duas
vezes, a letra A
três , a letra T,
duas vezes.
(a, b, c, ...)
Pn
(a, b, c, ...)
Pn
(a, b, c, ...)
Pn
10!
=
2! 3! 2! ...
= 10 . 9 . 8 . 7 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
2.1.3.2.1.2.1
= 3628800 = 151 200
24
ARRANJOS SIMPLES
Dado um conjunto com n elementos , chama-se
arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento
de k elementos distintos dispostos numa certa
ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem
de colocação dos elementos. Assim, no conjunto
E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba
Representando o número total
de arranjos de n elementos
tomados k a k (taxa k) por An,k ,
teremos a seguinte fórmula:
A n,k
n!
=
(n – k)!
Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos
0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma
sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar
abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no
máximo) para conseguir abri-lo?
Solução:
As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira
posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e
para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de
arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem,
chegaremos ao mesmo resultado:
10 . 9 . 8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
Combinações simples
Denominamos combinações simples de n elementos
distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos
formados por k elementos distintos escolhidos entre
os n elementos dados. Observe que duas
combinações são diferentes quando possuem
elementos distintos, não importando a ordem em
que os elementos são colocados.
Exemplo:
No conjunto E = {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
Representando por Cn,k o número total de
combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) ,
temos a seguinte fórmula:
n!
C =
n
k ! (n – k)!
k
ou
n!
C =
n,k
k ! (n – k)!
o número acima é também
conhecido como Número Binomial e
indicado por:
k
n
n!
=
k ! (n – k)!
Exemplo:
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve
resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10
questões?
Solução:
Observe que a
ordem das
questões não
muda o teste.
Logo, podemos
concluir que tratase de um problema
de combinação de
15 elementos com
taxa 10.
Cn,k =
n!
k ! (n – k)!
15!
C15,10 =
10 ! (15 – 10)!
15!
C15,10 =
10 ! (5)!
15 . 14 . 13 . 12 . 11 . 10!
C15,10 =
10 ! (5)!
C15,10 = 360 360 = 3003 formas
120
Princípio aditivo de contagem
Paulo entrou numa lanchonete com muita sede. Veja
quais eram as bebidas disponíveis:
 4 opções de refrigerante: R1, R2, R3 e R4;
 3 opções de suco: S1, S2 e S3;
 2 marcas de água mineral: A1 e A2.
De quantas maneiras ele pode escolher uma bebida?
Refrigerante
R1, R2, R3 e R4
4 opções
ou
+
Suco
S1, S2 e S3
3 opções
ou
+
Água
A1 e A2
2 opções
Ele tem 9 formas diferentes (4 + 3 + 2 = 9) de escolher a
bebida (R1, R2, R3, R4, S1 ,S2, S3, A1, A2).
Esse problema ilustra o princípio aditivo de contagem.
Princípio multiplicativo de contagem
Ao abrir seu armário, hoje de manhã, Flávia encontrou
 3 pares de tênis: T1, T2 e T3;
 2 calças jeans: J1 e J2;
 4 camisetas: C1, C2, C3 e C4.
De quantas formas diferentes ela pode escolher um
conjunto tênis-jeans-camiseta para ir à escola?
Tênis
T1, T2, e T3
3 opções
3
e
Jeans
J1, e J2
2 opções
x
2
24 formas
e
x
camiseta
C1, C2, C3 e C4
4 opções
4
OBSERVAÇÃO
Os princípios aditivo e multiplicativo são a base para
resolução de problemas de cálculo combinatório. Por isso,
deve ficar muito clara a distinção entre os dois princípios.
Conjunção
ou
e
Faz ligação entre
hipóteses
etapas
Operação
adição
multiplicação
Agrupamentos ordenados ou
não-ordenados
Dependendo dos critérios usados, os agrupamentos
podem ser de dois tipos: ordenados ou nãoordenados. É importante saber diferenciá-los.
A partir de um grupo que tem 5 estudantes (A, B, C, D, E),
obter todas as maneiras de se formar uma comissão de 3
alunos. Analisar se os agrupamentos são ordenados ou
não-ordenados.
Para formar a comissão, é só escolher 3 entre os 5
estudantes. Veja as alternativas.
{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A,D, E},
{B, C, D}, {B, C, E), {B, D, E}, {C, D, E}
São 10 formas
diferentes. Nesse total,
não consideramos, por
exemplo, a comissão
{D, C, A}. Ela é a mesma
que {A, C, D}, que já foi
contada. No caso,
temos agrupamentos
não-ordenados.
Esta questão deve ser
respondida usando:
n!
Cn,k =
k ! (n – k)!
C5,3 =
5!
3 ! (5 – 3)!
C5,3 =
5 x 4 x 3!
3 ! x 2!
= 10
A partir do mesmo grupo de alunos (A, B, C, D, E), obter
todas as maneiras de se formar a diretoria do grêmio da
escola, composta de presidente (P), vice (V) e tesoureiro (T).
Agora, devemos escolher 3 alunos entre os 5 e, em seguida,
ordenar os escolhidos, conforme o cargo. É importante a
ordem da escolha. Cada solução é uma sequência do tipo (P,
V, T). Veja o cálculo através da permutação.
Presidente: 5 opções
Vice-Presidente: 4 opções
Tesoureiro: 3 opções
5 x 4 x 3 = 60 maneiras
As várias diretorias são formadas pêlos mesmos
estudantes. Em cada uma delas, no entanto, as pessoas
ocupam cargos diferentes. Concluímos que há 60
maneiras distintas de se formar a diretoria. São
agrupamentos ordenados.
Exercício
1. Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa sempre
entra por uma porta e sai por outra. De quantas formas
diferentes ela pode fazer isso?
Solução:
O percurso dela se compõe de 2 etapas: entrada e saída.
Vamos usar o princípio multiplicativo.
Para a 1a etapa, ela tem 4 opções, porque são 4 portas.
Escolhida a porta de entrada, ela tem 3 opções de saída,
porque ela não usa novamente a porta por onde entrou.
Conclusão: ela pode entrar e sair de 4 . 3 = 12 maneiras
diferentes.
2. Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse
salão pode estar aberto?
Solução:
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou
fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e
assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio
Fundamental da Contagem ( PFC ):
N = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a
todas as duas portas fechadas, teremos então que o
número procurado é igual a 64 - 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos
possíveis.
3. Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9,
quantos números naturais podem ser formados, de 3 ou 4
algarismos?
Solução:
Na 1a hipótese, são 3 etapas. Cada uma corresponde à
escolha de um algarismo. Em cada etapa, há 7 opções,
porque podemos repetir algarismos. Então:
7 x 7 x 7 = 343 números de três algarismos.
Na 2a hipótese, o raciocínio é o mesmo, ou seja, são 4
etapas. Cada uma corresponde à escolha de um
algarismo. Em cada etapa, há 7 opções, porque podemos
repetir algarismos. Então:
7 x 7 x 7 x 7 = 2 401 números de quatro algarismos.
Total = 343 + 2 401 = 2 744 números.
4. Utilizando os algarismos 1, 2, 4, 5, 7 e 9, quantos números
naturais maiores que 7000 e de 4 algarismos distintos
podemos formar?
Solução:
Para o 1o algarismo (1a etapa), são 2 opções (7 ou 9). Os
números formados devem ser maiores que 7 000. Para o 2o
algarismo (2a etapa), são 5 opções. Um dos seis
algarismos dados já foi usado na 1a posição. Para o 3o
algarismo (3a etapa), há 4 opções. Dois dos seis
algarismos já foram usados na 1a e 2a posições. Pelo
mesmo raciocínio, há 3 opções para o 4o algarismo (4a
etapa). Pelo princípio multiplicativo, podemos formar, no
total, 2 x 5 x 4 x 3 = 120 números nas condições dadas.
5. A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de
quantas maneiras diferentes podemos formar uma comissão
de 2 pessoas?
Solução:
n!
k ! (n – k)!
Cn,k =
C4,2 =
4!
2 ! (4 – 2)!
C4,2 =
4.3.2.1
2 ! (2)!
C4,2 =
4.3.2.1
2.1.2.1
6 comissões
= 6
6. Uma fábrica produz 3 modelos de automóveis, com 5
opções de cores. Cada um deles está disponível em 2
versões: duas portas e quatro portas. Quantas alternativas
diferentes tem um comprador para adquirir um automóvel,
levando-se em conta essas três variáveis?
Solução:
3 opções de modelos
5 opções de cores
2 opções de versão (duas
ou quatro portas)
3 x 5 x 2 = 30 alternativas
diferentes
7. Normalmente, o uniforme de um clube de futebol é
constituído por uma camisa, um calção e um par de meias.
Um clube tem 3 opções de camisa, 2 de calção e 2 de meias.
Quantas partidas ele pode jogar, no máximo, sem repetir o
uniforme?
Solução:
3 opções de camisa
2 opções de calção
2 opções de meias
3 x 2 x 2 = 12 partidas
8. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 tipos de
sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de refrigerante. De
quantas formas diferentes um cliente pode escolher
a) um comestível?
b) uma bebida?
c) um salgado e um refrigerante?
d) um sanduíche e uma bebida?
Solução:
e) um comestível e uma bebida?
a) um comestível?
O cliente pode escolher entre salgado ou sanduíche.
Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem
5 opções de salgado + 3 opções de sanduíche = 8 formas
b) uma bebida?
O cliente pode escolher entre suco ou refrigerante.
Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem
2 opções de suco + 4 opções de refrigerante = 6 formas
8. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 tipos de
sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de refrigerante. De
quantas formas diferentes um cliente pode escolher
c) um salgado e um refrigerante?
Solução:
O cliente pode escolher entre um salgado e um
refrigerante.
Este “e” caracteriza o Princípio multiplicativo de
contagem
5 opções de salgado x 4 opções de refrigerante = 20 formas
8. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 tipos de
sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de refrigerante. De
quantas formas diferentes um cliente pode escolher
d) um sanduíche e uma bebida?
Solução:
O cliente pode escolher entre um sanduíche e uma
bebida.
Este “e” caracteriza o Princípio multiplicativo de
contagem.
Na escolha da bebida, o cliente pode optar por suco
ou refrigerante.
Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem.
3 opções de sanduíche x (2 opções de suco + 4 opções
de refrigerante) = 18 formas
8. Numa lanchonete, há 5 tipos de salgado, 3 tipos de
sanduíche, 2 tipos de suco e 4 marcas de refrigerante. De
quantas formas diferentes um cliente pode escolher
e) um comestível e uma bebida?
Solução:
Para o comestível, o cliente pode escolher entre salgado ou
sanduíche.
Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem
O cliente pode escolher entre um comestível e uma bebida.
Este “e” caracteriza o Princípio multiplicativo de contagem.
Na escolha da bebida, o cliente pode optar por suco ou
refrigerante.
Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem.
(5 opções de salgados + 3 opções de
sanduíche) x (2 opções de suco + 4 opções de
refrigerante) = 8 x 6 = 48 formas
9. Numa prova de matemática, foram dadas 8 sentenças. Em
cada uma delas, o aluno deveria marcar uma das letras: V
(verdadeira) ou F (falsa). De quantas maneiras diferentes as 8
marcações podem ser feitas?
Solução:
Para cada sentença temos V ou F, ou seja, 2 opções.
Este “ou” caracteriza o Princípio aditivo de contagem
O aluno deve responder 8 sentenças.
28 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256 maneiras
10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se
todos os números de 4 algarismos.
a) Qual é o total de números formados?
b) Quantos não têm algarismo repetido?
c) Quantos têm pelo menos um algarismo repetido?
d) Quantos são pares?
e) Quantos são maiores que 6 000 e não têm algarismo
repetido?
Solução:
a) Qual é o total de
números formados?
São 4 etapas. Cada uma corresponde à escolha de um
algarismo. Em cada etapa, há 5 opções, porque podemos
repetir algarismos. Então:
5 x 5 x 5 x 5 = 625 números de quatro algarismos.
10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se
todos os números de 4 algarismos.
b) Quantos não têm algarismo repetido?
Solução:
Para o 1o algarismo (1a etapa), são 5 opções. Para o 2o
algarismo (2a etapa), são 4 opções. Um dos cinco
algarismos dados já foi usado na 1a posição. Para o 3o
algarismo (3a etapa), há 3 opções. Dois dos cinco
algarismos já foram usados na 1a e 2a posições. Pelo
mesmo raciocínio, há 2 opções para o 4o algarismo (4a
etapa). Pelo princípio multiplicativo, podemos formar, no
total, 5 x 4 x 3 x 2 = 120 números na condição dada.
10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se
todos os números de 4 algarismos.
c) Quantos têm pelo menos um algarismo repetido?
Solução:
625 números de quatro algarismos com a possibilidade
de ocorrer repetição.
120 números de quatro algarismos com a possibilidade
de não ocorrer repetição.
625 - 120 = 505 números de quatro algarismos com a
possibilidade de pelo menos um algarismo repetido.
10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se
todos os números de 4 algarismos.
d) Quantos são pares?
Solução:
São 4 etapas. Cada uma corresponde à escolha de um
algarismo. Nas 3 primeiras etapas, há 5 opções (cada
uma), porque podemos repetir algarismos. No entanto, na
quarta etapa (para ocupar a quarta posição) temos
apenas 4 opções, com os algarismos pares (2, 4, 6 e 8)
5 x 5 x 5 x 4 = 500 números de quatro algarismos.
10. Utilizando-se só os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, formam-se
todos os números de 4 algarismos.
e) Quantos são maiores que 6 000 e não têm algarismo
repetido?
Solução:
São 4 etapas.
Para a 1a etapa temos 2 opção (Com os algarismos 6 e 8)
Para a 2a etapa temos 4 opções (Com os algarismos 1, 2,
4 e 6 ou 8)
Para a 3a etapa temos 3 opções (dois algarismos já foram
utilizados na 1a e 2a etapa)
Para a 4a etapa temos 2 opções (três algarismos já foram
utilizados na 1a, 2a e 3a etapa)
2 x 4 x 3 x 2 = 48 números
11. No sistema de emplacamento de veículos, usam-se letras
e algarismos. Um exemplo é a placa PMG-0358. As 3 letras
são escolhidas entre as 26 do alfabeto; os algarismos são
escolhidos entre os 10 disponíveis. Suponha que haja placas
com quatro zeros (0000).
a) Quantas placas diferentes podem ser feitas?
b) Quantas têm as 3 letras e os 4 algarismos diferentes?
c) Quantas só têm vogais e algarismos maiores que 6?
d) Quantas têm 3 vogais diferentes e o primeiro e o último
algarismos iguais? Solução:
a) Quantas placas diferentes podem ser feitas?
Para a 1a letra, 26 opções, para a 2a letra, 26 opções e
para a 3a letra, 26 opções.
Para o 1o número, 10 opções, para o 2o número, 10
opções, para o 3o número, 10 opções e para o 4o número,
10 opções.
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175 760 000 placas
11. No sistema de emplacamento de veículos, usam-se letras
e algarismos. Um exemplo é a placa PMG-0358. As 3 letras
são escolhidas entre as 26 do alfabeto; os algarismos são
escolhidos entre os 10 disponíveis. Suponha que haja placas
com quatro zeros (0000).
b) Quantas têm as 3 letras e os 4 algarismos diferentes?
Solução:
Para a 1a letra, 26 opções, para a 2a letra, 25 opções e
para a 3a letra, 24 opções.
Para o 1o número, 10 opções, para o 2o número, 9 opções,
para o 3o número, 8 opções e para o 4o número, 7 opções.
26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78 624 000 placas
11. No sistema de emplacamento de veículos, usam-se letras
e algarismos. Um exemplo é a placa PMG-0358. As 3 letras
são escolhidas entre as 26 do alfabeto; os algarismos são
escolhidos entre os 10 disponíveis. Suponha que haja placas
com quatro zeros (0000).
c) Quantas só têm vogais e algarismos maiores que 6?
Solução:
Para a 1a letra, 5 opções, para a 2a letra, 5 opções e para a
3a letra, 5 opções (temos apenas 5 vogais no alfabeto).
Para o 1o número, 3 opções, para o 2o número, 3 opções,
para o 3o número, 3 opções e para o 4o número, 3 opções
(temos apenas 3 algarismos maiores que 6, os algarismos
7, 8 e 9).
5 x 5 x 5 x 3 x 3 x 3 x 3 = 10 125 placas
11. No sistema de emplacamento de veículos, usam-se letras
e algarismos. Um exemplo é a placa PMG-0358. As 3 letras
são escolhidas entre as 26 do alfabeto; os algarismos são
escolhidos entre os 10 disponíveis. Suponha que haja placas
com quatro zeros (0000).
d) Quantas têm 3 vogais diferentes e o primeiro e o último
algarismos iguais?
Solução:
Para a 1a letra, 5 opções, para a 2a letra, 4 opções e para a
3a letra, 3 opções (temos apenas 5 vogais no alfabeto).
Para o 1o número, 10 opções, para o 10o número, 10
opções, para o 3o número, 10 opções e para o 4o número, 1
opção (temos o primeiro e o último algarismo sendo
iguais).
5 x 4 x 3 x 10 x 10 x 10 x 1 = 60 000 placas
12. Chama-se anagrama de uma palavra, toda "palavra" (com
ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de
posição. Veja, por exemplo, alguns anagramas da palavra
AMOR:
AMOR, OMAR, MORA, MARO
Formam-se todos os anagramas de CARINHO.
a) Qual é o total de anagramas?
b) Quantos começam por vogal?
c) Quantos terminam em CA, nesta ordem?
d) Quantos têm o C e o A juntos, nesta ordem?
Solução:
a) Qual é o total de anagramas?
Existem 7 letras diferentes, portanto temos
7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 040 anagramas
12. Chama-se anagrama de uma palavra, toda "palavra" (com
ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de
posição. Veja, por exemplo, alguns anagramas da palavra
AMOR:
AMOR, OMAR, MORA, MARO
Formam-se todos os anagramas de CARINHO.
b) Quantos começam por vogal? Solução:
Existem 7 letras diferentes, portanto temos:
Existem 3 vogais diferentes, formando 3 opções para a 1a
letra do anagrama (1ª posição), sobrando seis posições
(para as demais letras), ocasionando uma permutação de
6 letras.
3 . 6! = 3 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 2 160 anagramas
12 . Chama-se anagrama de uma palavra, toda "palavra"
(com ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de
posição. Veja, por exemplo, alguns anagramas da palavra
AMOR:
AMOR, OMAR, MORA, MARO
Formam-se todos os anagramas de CARINHO.
c) Quantos terminam em CA, nesta ordem?
Solução:
Existem 7 letras diferentes (sete posições), sendo que
nas duas últimas não pode acontecer permutações,
sobrando 5 letras para serem permutadas (trocadas de
posição)
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 anagramas
12. Chama-se anagrama de uma palavra, toda "palavra" (com
ou sem significado) obtida, trocando-se suas letras de
posição. Veja, por exemplo, alguns anagramas da palavra
AMOR:
AMOR, OMAR, MORA, MARO
Formam-se todos os anagramas de CARINHO.
d) Quantos têm o C e o A juntos, nesta ordem?
Solução:
Este caso ocorre como se C e A fosse uma única letra.
Portanto teríamos 6 letras CA, R, I, N, H e O.
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 anagramas
13. O professor de Matemática propôs o seguinte problema:
"De um grupo de 5 colegas, de quantas maneiras você pode
convidar 3 para serem seus companheiros de viagem?".
Marcelo apresentou a seguinte solução:
1a etapa: escolher o primeiro ... 5 opções
2a etapa: escolher o segundo ... 4 opções
3a etapa: escolher o terceiro ... 3 opções
Total: 5 . 4 . 3 = 60 maneiras diferentes. Essa solução está
correta? Por quê?
n!
Não está correta. A
Cn,k =
k ! (n – k)!
solução dada
pressupõe que seja
5!
C5,3 =
importante a ordem
3 ! (5 – 3)!
em que foi feito o
5 x 4 x 3!
convite. A solução
C5,3 =
= 10
3 ! x 2!
passa por uma
combinação tomada
5 a 3.
14. Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5
tênis. Quantas são as disposições possíveis desde que os
calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na
sapateira?
Solução:
Para os três tipos de calçados, veja : P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Para os sapatos, veja P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Para os chinelos, veja P2 = 2! = 2 . 1 = 2
Finalmente para os tênis, veja P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Multiplicando estes quatro números temos:
P3 . P3 . P2 . P5 = 3! . 3! . 2! . 5! = 6 . 6 . 2 . 120 = 8640
8640 disposições possíveis.
15. Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em
cada barraca dormirão duas pessoas. Quantas são as opções
de distribuição das pessoas nas barracas?
Solução:
Também podemos resolver este exercício recorrendo
à formula da combinação simples:
C8,2 . C6,2 . C4,2 . C2,2 = 28 . 15 . 6 . 1 = 2 520
2 520 opções
16. Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São
Paulo (SP) disputam um campeonato. Levando-se em conta
apenas a unidade da federação de cada um dos clubes, de
quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato?
Solução:
Em outras palavras queremos saber o número de
permutações possíveis entre as unidades da federação
de RS, RJ, RS e SP.
Através do cálculo de P4 temos:
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
No entanto a UF do RS ocorre 2 vezes, devemos portanto
eliminar as duas permutações referentes a ela,
dividindo 24 por 2!, quando iremos obter 12 maneiras
diferentes de poder terminar o campeonato.
17. Existem 10 jogadores de futebol de salão, entre eles João
que por sinal é o único que joga como goleiro, nesta
condição quantos times de 5 pessoas podem ser escalados?
Solução:
C9,4 =
9!
4 ! (9 – 4)!
9 x 8 x 7 x 6 x 5!
C9,4 =
4 ! x 5!
C9,4 = 9 x 8 x 7 x 6 = 126
4x3x2x1
18. Um químico possui 10 (dez) tipos de substâncias. De
quantos modos possíveis poderá associar 6 [seis) dessas
substâncias se, entre as 10, duas somente não podem ser
juntadas porque produzem misturas explosivas?
Solução:
Das 10 substância, retirando apenas uma ...
C9,6 = 168
Agora sem as duas substâncias ...
C8,6 = 28
Como elas não podem se misturar
168 - 28 = 140 modos
19. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei,
apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que
2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1
levantador e 5 atacantes?
Solução:
Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10
atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem
não faz diferença, temos:
C2,1 = 2
C10,5 = 252
Teremos então 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.
20. Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por
questões de segurança, os planos são guardados em um
cofre protegido por muitos cadeados, de modo que só é
possível abri-los
Solução:
todos se houver pelo menos 6 cientistas presentes.
(a) Qual é o número mínimo possível de cadeados?
(b) Na situação do item (a), quantas chaves cada cientista
deve ter?
21. Num certo país, existem 20 cidades e todo par delas é
ligado por uma única estrada. Nessas condições, quantas
estradas existem?
Solução:
Cada duas cidades é ligada por uma única estrada.
Podemos escolher uma das cidades, digamos, a cidade
A, para o início de uma estrada. Desse modo, podemos
ligar a cidade A para 19 outras cidades. Ou seja, temos
20 x 19 = 380 estradas . Agora, observe que cada
uma dessas cidades é contada duas vezes. Portanto, o
número de estradas é dado por 380/2 = 190.
21. Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por
questões de segurança, os planos são guardados em um
cofre protegido por muitos cadeados, de modo que só é
possível abri-los todos se houver pelo menos 6 cientistas
presentes.
(a) Qual é o número mínimo possível de cadeados?
(b) Na situação do item (a), quantas chaves cada cientista
deve ter?
Solução:
(a) Pelos dados do problema, formado qualquer grupo
de 5 cientistas do projeto, existe um cadeado para o qual
nenhum deles possui a chave. Mas, em qualquer outro
grupo de seis elementos existe essa chave. Portanto, o
número de cadeados tem de ser no mínimo igual ao
número de maneiras de escolher 5 cientistas dentre os
11participantes do projeto, isto é, o número de cadeados
é no mínimo igual a . C11,5 = 462
21. Onze cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por
questões de segurança, os planos são guardados em um
cofre protegido por muitos cadeados, de modo que só é
possível abri-los todos se houver pelo menos 6 cientistas
presentes.
(a) Qual é o número mínimo possível de cadeados?
(b) Na situação do item (a), quantas chaves cada cientista
deve ter?
Solução:
Seja A um dos cientistas do projeto. Formado qualquer grupo de 5 cientistas,
selecionado dentre os 10 restantes, ex iste um cadeado para o qual A possui a
chave, embora os cinco cientistas não possam abrí-lo. Assim, A tem de possuir no
mínimo
C10,5 =252 chaves.