Transcript Изтегли

Правоъгълен
триъгълник
Метрични
зависимости в правоъгълен
триъгълник
Приложение на метричните зависимости за
намиране елементите на правоъгълен
триъгълник
Метрични зависимости
Под метрични зависимости между
елементите
на
една
фигура
разбираме зависимостите между
дължините на отсечки от тази
фигура, измерени с една и съща
мерна единица.
С
b
Линейни елементи (отсечки) в
правоъгълния триъгълник и
буквени означения на
техните дължини:
a
hc


а1
b1
А
H
В


c
Забележка: Отсечките АН и ВН се
наричат
“ортогонални
(правоъгълни)”
проекции на катетите АС и ВС върху
хипотенузата АВ. По – нататък под
“проекция” ще разбираме ортогонална
проекция.


BC = a - катет
AC = b - катет
AB = c - хипотенуза
AН = b1 - проекция на катета
АС върху хипотенузата
BH = a1–проекция на катета
ВС върху хипотенузата
CH = hc – височина към
хипотенузата
Вече доказахме, че:
∆ABC ~ ∆ACH
∆ABC ~ ∆СВH
∆ACH ~ ∆СВH
по първи признак за подобност на
триъгълници
От подобността на ∆ABC и ∆ACH следва :
AB
AC
c
a




AC
AH
a
a1
a 2  a1c
1
b 2  b1c
2
hc  a1b1
3
От подобността на ∆ABC и ∆СВH следва :
AB
BC
c
b




BC
BH
b
b1
От подобността на ∆ACH и ∆СВH следва :
h
a
CH
AH

 c  1 
BH
CH
b1
hc
2
Като съберем почленно равенства (1) и (2), получаваме:
a 2  b 2  a1c  b1c  a1  b1 c  c.c  c 2 



c
a 2  b 2  c 2 4




Равенства (1) – (4) представляват метрични зависимости в
правоъгълния триъгълник, отразени със следните теореми:
Т1: Всеки катет в правоъгълен триъгълник е средногеометричен на
хипотенузата и проекцията му върху нея.
[ равенства (1) и (2) ]
Т2: Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е
средно геометрична на проекциите на катетите върху хипотенузата.
[ равенство (3) ]
Т3: Сборът от квадратите на катетите в правоъгълен триъгълник е
равен на квадрата на хипотенузата.
[ равенство (4) ]
Последната теорема носи името на древногръцкия философ и
математик Питагор (570-495 пр.н.е.), на когото традицията приписва
нейното откриване и доказване, въпреки че тя е известна дълго
преди това. Същестуват свидетелства, че още математиците във
Вавилон разбират тази зависимост.
Вярна е и обратната теорема:
Т4: Ако в един триъгълник сборът от квадратите на две страни е
равен на квадрата на третата страна, той е правоъгълен.
Обобщение на основните метрични
зависимости:
a 2  a1 c
b 2  b1 c
hc
2
 a1b1
a2  b2  c2
a1  b1  c
Във всяко от равенствата участват три отсечки. Ако две от тях са известни, с
помощта на съответната зависимост можем да намерим дължината на третата
отсечка. Следователно, когато решаваме задачи от правоъгълен триъгълник, е
необходимо да определим кои отсечки в триъгълника са известни, кои се търсят и да
преценим коя от метричните зависимости да използваме. Уместно е да избираме
метрични зависимости, в които само една от участващите отсечки е с неизвестна
дължина – след заместване те се превръщат в уравнение с едно неизвестно.
Последователността при намирането на неизвестните елементи на правоъгълния
триъгълник може да бъде различна.
Задача 1: Даден е ∆АВС с катети
a и b, хипотенуза c, проекции на
катетите a1 и b1 и височина към
хипотенузата hc .По дадени два от
елементите намерете останалите
четири:
а) a = 3 cm; b = 4 cm;
г) a = 8 cm; a1 = 6,4 cm;
б) b = 8 cm; c = 10 cm;
д) b1 = 5 cm; c = 20 cm;
в) a1 = 1,8 cm; b1 = 3,2 cm;
е) hc = 6 cm; a1 = 3 cm;
Решения:
б)
а)
a2  b2  c2
a 2  b 2  c 2  a 2  c 2  b 2  102  8 2  100  64  36
32  4 2  c 2
a  36  6cm
c 2  25  c  25  5cm
a2 9
  1,8cm
c 5
b1  a1  c  b1  c  a1  5  1,8  3,2cm
a 2  a1c  a1 
hc  a1b1  1,8.3,2  5,76  hc  5,76 
2
576 24

 2,4cm
100 10
Следващите стъпки са същите, както
при решението на подусловие а).
е)
д)
2
a1  b1  c  a1  c  b1  20  5  15cm
a 2  a1c  15.20  300
a
300 
3.100  10 3cm
hc
6 2 36
hc  a1b1  b1 
   12cm
a1
3
3
2
c  a1  b1  3  12  15cm
b 2  c 2  a 2  202  300  400  300  100
a 2  a1c  3.15  45  a  45  9.5  3 5cm
b
a 2  b 2  c 2  b 2  c 2  a 2  152  45  225 45  180
100  10cm
hc  a1b1  15.5  75
2
hc 
75 
25.3  5 3cm
b  180  36.5  6 5cm
Не винаги в задачите са приети буквените означения, които използвахме
за записване на метричните зависимости в правоъгълния триъгълник. Те
не са задължителни. Спокойно можем да използваме записването на
отсечките с буквите, с които са означени техните крайни точки.
Достатъчно е да сме наясно коя отсечка каква роля изпълнява в
разглеждания от нас правоъгълен триъгълник.
Задача 2: По данните на
чертежа
намерете
дължината на отсечката СН
От чертежа е ясно, че отсечките АН и ВН са проекции на катетите
върху хипотенузата, а неизвестната отсечка СН е височина към
хипотенузата. Метричната връзка между тези елементи се дава от
равенството:
СН2 = АН.ВН
СН2 = 25 . 144 = 3600
СН = √3600 = 60cm
Задача 3: По данните от чертежа
намерете ВС.
Задача 4: По данните от чертежа
намерете АВ.
Задача 4: Намерете дължината на отсечката х за всеки от
чертежите
Правоъгълният триъгълник може да се открие и в други
геометрични фигури и да ни помогне при намирането на различни
техни елементи.
Задача 1: Намерете радиуса на описаната около квадрата
АВСD окръжност, ако страната му е дълга 3 cm.
Упътване: Диаметърът на описаната окръжност е равен на диагонала на
квадрата. Разгледайте един от правоъгълните триъгълници, в които
диагоналът е страна и приложете за него подходяща метрична връзка.
Задача 2: Намерете лицето на квадрат с диагонал 4√2 cm.
Задача 3: Намерете периметъра на правоъгълника ABCD,
ако AB = 4 cm и AC = 5 cm.
Задача 4: Даден е правоъгълник ABCD, в който ъгъл BAC е
30° и BC = 2 cm. Намерете дължината на страната АВ.
Задача 5: Диагоналите на ромб са
6 cm и 8 cm. Намерете страната
на ромба.
Задача 6: Точка А е на разстояние
26 cm от центъра на окръжност с
радиус
10
cm.
Намерете
дължината на допирателната АТ.
Намиране на елементи на
правоъгълния триъгълник

Височини: Две от височините в правоъгълния триъгълник
съвпадат с катетите. Височината към хипотенузата можем да
намерим по следните начини:
- чрез метричната връзка hc2 = a1b1;
- чрез метричната връзка hc = ab/c, която следва от
изразите
за лицето чрез катетите и чрез хипотенузата и
височината към нея.

Медиани: Медианата към хипотенузата е равна на ½ от нея.
Другите две медиани можем да намерим като използваме
правоъгълните триъгълници, в които те са хипотенузи.

Радиус на описаната окръжност: От
прогимназията знаем, че центърът на
описаната окръжност съвпада със средата на
хипотенузата. Следователно,
c
R 
2
Радиус на вписаната окръжност:
От
свойството
на
външните
допирателни следват равенствата на
отсечките:
CM = CN = r; BN = BP; AM = AP
От тях следва:
a+b=CN+CM+(BN+AM)=CN+CM+(BP+AP)
= r+r+c = 2r+c
Следователно: a+b = 2r + c. Оттук:

abc
r
2
Задачи:
Задача 1. В правоъгълен триъгълник дължините на катетите са
a = 4 cm, b = 10 cm. Намерете височините на триъгълника.
Задача 2. В правоъгълен триъгълник катетите са a = 16 cm, b =
30 cm. Намерете медианите на триъгълника.
Задача 3. В правоъгълен триъгълник катетите са a = 14 cm, b =
48 cm. Намерете радиусите на описаната и вписаната
окръжности.
Задача 4. В правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл при върха
С са дадени AC = 6 cm, AB = 10 cm. От върха на правия ъгъл
са построени височината СН и ъглополовящата CL.
Намерете дължините на отсечките AH, HL и LB.
Начало