Transcript Задача 2.

РОТАЦИОННИ ТЕЛА
Съдържание:



Прав кръгов цилиндър
Прав кръгов конус
Пресечен кръгов конус
Прав кръгов цилиндър





ЕЛЕМЕНТИ:
Основи – еднакви кръгове, лежащи
в успоредни равнини.
Радиус ( r ) – радиусът на основите.
Ос
на
цилиндъра
(OO1)
–
перпендикулярна на равнините на
основите.
Образуващи ( l ) – всички отсечки,
успоредни на оста и с краища върху
окръжностите на основите.
Височина – разстоянието между
равнините на основите.( h = l = OO1)
СЕЧЕНИЯ:
 Успоредни – сечения с равнини,
успоредни
на
основите.
Представляват кръгове, еднакви с
основите. Центровете им лежат
върху оста на цилиндъра.
 Осни – сечения с равнини,
минаващи по оста на цилиндъра.
Представляват правоъгълници, две
от срещуположните страни на които
са диаметри на основите, а другите
две са образуващи на цилиндъра.
На чертежа е показано едно от
осните сечения – ABCD.
ПОВЪРХНИНА И ОБЕМ
S - лице на околната повърхнина
P - периметър на основата (дължина на окръжност)
B - лице на основата ( лице на кръг )
S1 - лице на повърхнината на цилиндъра
V - обем на цилиндъра
S  P.h  P.l
P  2r
B  r 2
S1  S  2 B  2rl  2r
2
V  B.h  B.l  r .h  r .l
2
2
ЗАДАЧИ:
Внимание! В решенията на задачите и в крайните резултати числото π
обикновено се записва като буквена константа и не се замества с
приблизителната му стойност 3,14. Заместване се прави в задачите с
практическо съдържание.
Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с
радиус r = 3 cm и образуваща l = 10 cm.
Отг. S1 = 78π cm2; V = 90π cm3
Задача 2. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с
радиус r = 4 cm и лице на осното сечение 96 cm2.
Отг. S1 = 126π cm2; V = 192π cm3
Задача 3. Радиусът на прав кръгов цилиндър е 50 cm, а развивката на
околната му повърхнина е квадрат. Намерете обема на цилиндъра.
Отг. V = 25.104π2 cm3
Задача 4. Варел с диаметър 60 cm и височина 120 cm е напълнен с вода
на височина 90 cm. Колко литра вода са необходими, за да се напълни
варелът?
Отг. ≈ 85 литра
Прав кръгов конус






ЕЛЕМЕНТИ:
Основа – кръг к ( О; r ).
Връх – т. Q, нележаща в равнината на
основата.
Радиус ( r ) – радиусът на основата.
Ос – отсечка, свързваща върха с центъра
на основата (на чертежа – OQ ) и
перпендикулярна на равнината на
основата.
Образуващи (образувателни) – всички
отсечки, на които единият край е върха на
конуса, а другият е върху окръжността на
основата. Те имат една и съща дължина l
( на чертежа – AQ и BQ ). Те образуват
околната повърхнина на правия кръгов
конус.
Височина ( h ) – разстоянието от върха до
равнината на основата. ( h = OQ )
обр
азу
ващ
а
връх
ос
радиус
основа
СЕЧЕНИЯ:
 Успоредни – сечения с равнини,
успоредни на основата.
Представляват кръгове с
център върху оста на конуса.
Ако k1 ( О1; r1 ) е успоредно
сечение на разстояние h1 от
върха , то:
r1
h1

r
h
 Осни – сечения с равнини, минаващи по оста на
конуса.
Представляват равнобедрени
основа–диаметър
на
конуса
образуващи.
Височина
към
(същевременно медиана и ъглополовяща ) е оста на конуса.
Познатите ни от 9-ти клас задачи
за решаване на равнобедрен и
правоъгълен триъгълник можем да
използваме за намиране на елементи на конуса, участващи в осното му
сечение.
триъгълници с
и
бедра–две
основата
им
Ако
разглеждаме
образуващите като наклонени, а
оста - като перпендикуляр от
върха
към
равнината
на
основата, то радиусите към
точките от окръжността на
основата
са
ортогонални
проекции
на
образуващите,
чиито край са тези точки. Чрез
познатите
ни
метрични
и
тригонометрични зависимости,
приложени за правоъгълния
триъгълник
със
страни
основните елементи на конуса,
може да се намират техните
дължини, както и ъгълът между
образуващите и основата.
Повърхнина и обем:
S - лице на околната повърхнина
B - лице на основата ( лице на кръг )
S1 - лице на повърхнината на конуса
V - обем на конуса
r – радиус на конуса
l – дължина на образуващата
h – височина на конуса
1
S 
.2r.l  rl
2
B  r 2
S1  S  B  rl  r 2
1
1
V 
B.h 
r 2 .h
3
3
Задачи:
Задача 1. Намерете повърхнината S1 и обема V на прав кръгов
конус с радиус 3 cm, образуваща 5cm и височина 4 cm.
Отг. S1 =24π cm2;
V = 12π cm3
Задача 2. Намерете повърхнината и обема на конус с радиус 5 cm и височина 12 cm.
( Упътване: Разгледайте един от еднаквите правоъгълни триъгълници AOQ или BOQ и с теорема на Питагор намерете хипотенузата му. Какъв елемент на конуса е тя? )
Отг. S1 = 90π cm2; V = 100π cm3
Задача 3. Образувателната на прав кръгов конус
е 12 cm и сключва с равнината на основата
ъгъл 60°. Намерете обема на конуса.
Отг. V = 72√3 cm3
Задача 4. Осното сечение на прав кръгов конус е равностранен
триъгълник с лице 4√3 cm2. Намерете околната повърхнина на
конуса.
Отг. S = 8π cm2
Прав пресечен кръгов конус




ЕЛЕМЕНТИ:
Основи – кръговете k1( O1; R ) и k2( O2; r ),
лежащи в успоредни равнини.
Ос – отсечката О1О2, перпендикулярна на
основите.
Образуващи ( образувателни ).
Всички образуващи на правия пресечен
конус са с равни дължини ( l ).
Височина – разстоянието между равнините
на основите (h ). Височина е всяка отсечка,
перпендикулярна на основите и с краища
върху тях. ( h = O1O2 ).
Осно сечение
Осно е сечението на пресечения конус с равнина, минаваща по
неговата ос.
Всяко осно сечение е равнобедрен трапец с основи, равни на диаметрите 2R и 2r и
бедро – образуващата l. Височината му е равна на височината на пресечения конус.
Построена както е показано на
чертежа, тя, заедно с образуващата AD = l и отсечката AP = R–r
са страни на правоъгълен триъгълник.
Повърхнина и обем
 Околна повърхнина S:
S   R  r l
 Повърхнина на пресечения конус (пълна повърхнина ) S1:
S1  S  R  r   R  r l  R  r
2
 Обем V:
2

1
2
2
V  h R  Rr  r
3
2

2
Задачи:
Задача 1. Намерете повърхнината S1 и обема V на пресечен конус с
радиуси на основите 4 cm и 1cm, образуваща 5 cm и височина 4 cm.
Отг. S1 = 42π cm2;
V = 28π cm3
Задача 2. Намерете обема на пресечен конус с
радиуси на основите 7cm и 2cm и образуваща
13 cm.
Упътване: Разгледайте правоъгълния триъгълник APD в осното сечение.
Една от страните му е елемент на пресечения конус, участващ във
формулата за обема, чиято дължина не знаете. Намерете я с помощта на теоремата на ……
Отг. V = 268π cm3
Задача 3. Намерете околната повърхнина на пресечен конус с радиуси на
основите 6cm и 2 cm, ако образуващата сключва с долната основа
ъгъл 60°. (Може да използвате чертежа.)
Отг. S = 64π cm2
Задачи от ротационни тела:
Задача 1. Намерете повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър с
радиус 3 cm и диагонал на осното сечение 10 cm.
Задача 2. Височината на прав кръгов цилиндър е с 10 cm по-голяма от
радиуса на основата, а лицето на пълната повърхнина е 144π cm2.
Намерете радиуса и височината на цилиндъра.
Задача 3. Периметърът на осното сечение на прав кръгов конус е 36 cm, а
образувателната е 13 cm. Намерете обема на конуса.
Задача 4. Радиусът на прав кръгов конус 3 cm, а образувателната сключва
ъгъл 45° с основата. Намерете околната повърхнина на конуса.
Задача 5. Образувателната на пресечен конус е 17 cm, височината му е
15 cm, а околната повърхнина - 544π cm2. Намерете радиусите на
основите му.
Упътване: От формулата за S след заместване намерете R + r. От правоъгълния триъгълник,
образуван от височината, образувателната и отсечката с дължина R – r намерете R – r .
Решете в система двете уравнения с неизвестни R и r.