Transcript L_GICA_PROPOSICIONAL

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Lógica Proposicional
Profesor: Amador Alejandro
Gonzáles Piscoya
CICLO 2011 – II
Agenda
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Proposiciones Simples
 Conectivos y proposiciones compuestas.
 Tablas de verdad
 Construcción de tablas de verdad para
proposiciones compuestas
 Formas derivadas del condicional
 Simbolización
Proposición
 Es un enunciado al
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
¿Son proposiciones?
cual se le puede
 ¿Qué hora es?
asociar el concepto
 Por favor, cierre la
de verdadero o falso, puerta
pero no ambos.
 El 6 de abril de 1876 fue
sábado
Ejemplos:
 La luna es cuadrada  Dice el Presidente:
 7 es un número primo “Todos en este país son
unos mentirosos y esto
 Las arañas son
es verdad”
mamíferos
Proposiciones compuestas
Conectivos
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Conocido el valor de verdad de ciertas
proposiciones, la lógica establece el valor
de verdad de otras relacionadas con éstas.
 A éstas últimas se les conoce como
proposiciones compuestas
Negación
 Si p es una
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 ¿Qué sucede con la
proposición, entonces
negación de p,
“no p” es la negación
siendo p verdadero?
de p y se denota por:  ¿Qué sucede con la
~p
negación de p,
siendo p falso?
Ejemplo:
p: Hoy es martes
~ p: Hoy no es martes
Negación
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Enseñando el camino
 Esto lo podemos
escribir de una
manera
Posibilidades para
“compacta”,
utilizando una tabla
p
 A esta tabla se le
llama “tabla de
V
certeza de la
negación”
F
la proposición p
~p
F
V
Negación
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Enseñando el camino
Como
sinónimosde no, se
las siguientes expresiones:
 No es cierto que ……..
 No es el caso que………
 Es falso que…………
 No sucede que…………….
utilizan
Conjunción
 Si p y q son
proposiciones, se
llama conjunción de p
y q a la proposición
compuesta “p y q “ y
se denota por:
pq
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Enseñando el camino
 Ejemplos:
p: Hoy es martes
q: La luna es cuadrada
r: mañana es miércoles
p  q :Hoy es martes y
la luna es cuadrada
p  r :Hoy es martes y
mañana es miércoles
Universidad Metropolitana
Conjunción
 Para construir la
tabla de p  q,
debemos considerar
las diferentes
alternativas de
valores de verdad
para p y para q:
 ¿Cuáles son ?
 Ambas verdaderas
 una V y la otra F
 ambas falsas
Enseñando el camino
pq
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Conjunción
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Enseñando el camino
Se toman como “sinónimos” de la conjunción:
 Además
 Pero
 Sin embargo
 Aunque
 También
 Aún
 A la vez
 No obstante
Conjunción: p ^ q
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Enseñando el camino









Luís estudia ,además de trabajar
Luís estudió pero no aprobó
Luís canta, sin embargo no baila
Luís jugó futbol aunque estaba lesionado
Luís juega futbol , también José
Luís salió, aún no llega
Luís cocina a la vez que canta
Luís viajará no obstante esté sin visa
Luís canta , no baila.
Conjunción: p ^ q
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Enseñando el camino
No siempre “y” denota una conjunción ………
Ejemplo:
 Silvia y Nelly son hermanas
Esta es una proposición (simple), en donde el “y”
permite establecer la relación
entre los
sujetos.
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Disyunción
 Si p y q son
proposiciones,
se llama
disyunción de
p y q a la
proposición
compuesta “p
o q” y se
denota por:
pq
Enseñando el camino
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Disyunción
 Seré cantante o futbolista
 p: Seré cantante
 q: Seré futbolista
Simbolización:
pq
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Condicional
 Si p y q son
proposiciones, se
llama condicional de p
y q a la proposición
compuesta “si p,
entonces q” y se
denota por:
pq
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Enseñando el camino
 Ejemplos:
 Si no llueve
(entonces) iremos a la
playa
 Si me gano la lotería
(entonces) me voy de
viaje
 Si no estudio
(entonces) no
aprobaré Lógica
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Condicional
 Veamos la tabla
del condicional:
pq
Enseñando el camino
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
 Conviene pensar en
una “promesa” ..... Si
no llueve (entonces)
iremos a la playa
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Condicional
 El condicional es falso,
sólo cuando el
antecedente es
verdadero y el
consecuente es falso;
es decir, cuando la
“promesa” no se
cumple.
Enseñando el camino
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
V
V
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Condicional
Enseñando el camino
 El condicional es muy
importante en
matemáticas, porque
los Teoremas se
expresan en forma
condicional.
 Un Teorema será un
condicional verdadero
con hipótesis verdadera
p
q
pq
V
V
V
Condicional
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Enseñando el camino
Algunas expresiones del lenguaje que indican la
presencia de un condicional
(p → q), son las
siguientes:
 p es condición suficiente para q
 Si p, q
 q sip
 Que p supone que q
 Cuando p, q
 q es condición necesaria para p
 En caso de que p entonces q
 q sólo si p
Condicional y Teoremas
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Enseñando el camino
 En los Teoremas, al antecedente del
condicional (p) se le llama Hipótesis y al
consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusión
 Los Teoremas requieren de una demostración;
es decir, partiendo de una hipótesis verdadera,
hay que demostrar que la Conclusión es
verdadera.
Tablas de verdad
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Recordemos que el valor de certeza de una
proposición compuesta depende de los
valores de certeza de las proposiciones
simples que la componen
 Para analizar los valores de certeza de una
proposición compuesta, representamos
todas las posibilidades de valores de verdad
de las proposiciones simples, en un arreglo
de tabla
Ejemplo con 2
proposiciones simples
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Enseñando el camino
 Construyamos la tabla de verdad para
la siguiente proposición :(pq)(p~q)
 4 filas de posibilidades
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
pq
V
F
F
F
p~q
F
V
V
V
(pq)(p~q)
F
F
F
F
Ejemplo con 3
proposiciones simples
 ¿Cuántas
posibilidades
tendremos?
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Enseñando el camino
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Ejemplo con 3
proposiciones simples
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Enseñando el camino
Hacer la tabla de certeza para: (rp)  ~(qp)
p
q
r
rp
qp
~(qp)
(r  p)  ~(qp)
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
En resumen
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Una tabla de verdad para proposiciones




compuestas que contienen:
1 proposición simple… tendrá 2 filas
2 proposiciones simples
4 = 22 filas
8 = 23 filas
3 proposiciones simples
4 proposiciones simples
16= 24 filas
……razonando inductivamente……..
 n proposiciones simples
2n filas
Formas de expresar un
condicional…….




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Enseñando el camino
Si es Chiclayano, es Peruano (p q)
Es Peruano, siempre que sea Chiclayano
Es Peruano si es Chiclayano
Es suficiente que sea Chiclayano para que sea
Peruano
 Siempre y cuando sea Chiclayano, será
Peruano.
 Es necesario que sea Peruano para ser
Cliclayano
TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN
COMO: p  q
Partes de un condicional
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Enseñando el camino
p q
antecedente
Condición
suficiente
consecuente
Condición
necesaria
Formas derivadas del
condicional
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Dado el condicional directo: p q, el condicional
~ p  ~q se llama contrario y lo
expresaríamos: “ si no p, entonces no q”
 Directo: p q
Si repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante
 Contrario: ~ p  ~q
Si no repruebo el examen, entonces no me
enojaré bastante
Formas derivadas del
condicional
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Dado el condicional directo: p q, el condicional
q  p se llama recíproco y lo expresaríamos:
“ si q, entonces p”
 Directo: p q
Si repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante
 Recíproco: q  p
Si me enojo bastante , entonces reprobaré el
examen
Formas derivadas del
condicional
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Dado el condicional directo: p q, el condicional
~ q  ~p se llama contrarrecíproco y lo
expresaríamos: “ si no q, entonces no p”
 Directo: p q
Si repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante
 Contrarrecíproco: ~ q  ~p
Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el
examen
Formas derivadas
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Directo
Recíproco
p
q
~p
~q
q
~q
Contrario
p
~p
Contrarrecíproco
recíprocos
contrarrecíprocos
contrarios
Ejemplo
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Hallar las formas derivadas del siguiente
condicional:
 Si un número es par, entonces es múltiplo
de 4. ……………………………………. ¿V
o F?
Falso (contraejemplo: 2)
Recíproco:
 Si un número es múltiplo de 4 entonces es
par. …………………………………..¿V o F?
Verdadero!
Ejemplo
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Directo: p q
Si un número es par, entonces es múltiplo
de 4.
Contrario: ~ p  ~ q
 Si un número no es par, entonces no es
múltiplo de 4
Verdadero!
Ejemplo
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Directo: p q
Si un número es par, entonces es múltiplo
de 4.
Contrarrecíproco: ~ q  ~ p
 Si un número no es múltiplo de 4,
entonces no es par
 Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y es
par (antecedente verdadero, consecuente falso)
Ejercicios
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
1. Escribir las formas derivadas para:
a) (r  ~q)  p.
b)Si yo digo sí, ella dice no.
2. Construye una proposición verdadera
que incluya un condicional, una
conjunción, una disyunción y una
negación (no necesariamente en ese
orden), que conste de las componentes
p, q y r con todas ellas falsas.
Ejercicios
Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
 Escribe el recíproco, el inverso y el
contrarrecíproco de cada una de las
proposiciones siguientes:





Si q, entonces r
~ p  (~ q )
~p~ (r  q )
El sol brilla si estás feliz.
Si tu automóvil no tiene aire acondicionado,
no tendrás amigos.